新高考数学二轮复习讲义解密19 直线和圆（2份，原卷版+解析版）

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1．直线方程的五种形式
2．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4圆的定义与方程
5．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．(最重要)
dr⇔相离．
(2)代数法：eq \(――――→,\s\up7(判别式),\s\d5(Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(>0⇔相交,＝0⇔相切,0)，
O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0)
【方法技巧】
处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
【核心题型】
题型一：待定系数法求直线方程
1．（2022·北京·统考模拟预测）已知圆，直线l过点且倾斜角为，则“直线l与圆C相切”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则直线l的方程是 （ ）
A．B．或
C．D．或
题型二：已知两直线位置求参数或者范围
4．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·吉林·统考二模）已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．8D．9
题型三：直线的定点问题
7．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·贵州毕节·统考一模）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
题型四：直线有关的对称问题
9．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）若为圆上的动点，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·北京平谷·统考模拟预测）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（ ）
A．最大值为B．最小值为C．最小值为D．最大值为
11．（2023·陕西西安·校考模拟预测），，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知点，，若直线关于的对称直线与圆：交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型五：几何法求圆的方程
13．（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）已知点是圆上的任意一点，点，分别为圆上的两个不同的动点，且，点为线段的中点，则的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
14．（2023·全国·高三专题练习）已知是圆上两点，且．若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与直线相切，则面积最大的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型六：待定系数法求圆的方程
16．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
17．（2023·全国·高三专题练习）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2023·全国·高三专题练习）如图，点A，B，D在圆Γ上，点C在圆Γ内，，若，且与共线，则圆Γ的周长为（ ）
A．B．C．D．
题型七：几何法求弦长
19．（2023·全国·模拟预测）若直线与直线被圆截得的弦长之比为，则圆C的面积为（ ）
A．B．C．D．
20．（2023秋·河南·高三校联考期末）在平面直角坐标系中，已知圆被轴截得的弦长为2，且与直线相切，则实数的值为（ ）
A．B．C．3D．
21．（2022秋·四川广安·高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为，则正实数的值为（ ）
A．8B．4C．1D．
题型八：圆或者直线上的点的距离问题
22．（2023·福建福州·统考二模）已知，关于直线对称的圆记为，点E，F分别为，上的动点，EF长度的最小值为4，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
23．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点P是圆O：上一动点，若直线l：上存在点Q，满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
题型九：直线和圆的综合问题
25．（2023·重庆·统考二模）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且相交于点，，相交于点，．以，为直径的圆，圆为圆心的公共弦所在的直线记为．
(1)若，求；
(2)若，求点到直线的距离的最小值．
26．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为.
（i）求直线的斜率；
（ii）设面积为，求的最大值.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：上点与圆上点M的距离的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过点（Q与A，B不重合），证明：动直线l过定点，并求出该定点坐标.
【高考必刷】
一、单选题
28．（2023·重庆·统考二模）已知点，圆，若在圆上存在唯一的点使得，则可以为（ ）
A．B．C．D．
29．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
30．（2023·陕西安康·统考二模）已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
31．（2023·贵州贵阳·统考一模）已知直线，直线，其中实数，则直线与的交点位于第一象限的概率为（ ）
A．B．C．D．
32．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知双曲线的离心率为3，斜率为的直线分别交F的左右两支于A，B两点，直线分别交F的左、右两支于C，D两点，，交于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
33．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知点，圆，过点的直线与圆交于，两点，则的最大值为（ ）
A．B．12C．D．
34．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知O为平面点角坐标系的原点，点，B为圆上动点，记经过A、B的直线为l，以O为圆心与l相切的圆的面积为，经过O、A、B三点的圆的面积为，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
35．（2023·湖南·模拟预测）已知圆：与圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆与x轴相切，则
B．直线与圆始终有两个交点
C．若，则圆与圆相离
D．若圆与圆存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为
36．（2023·湖北·统考模拟预测）已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（ ）
A．若直线l与圆M相切，则
B．当时，四边形的面积为
C．直线经过一定点
D．已知点，则为定值
37．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆，点为直线上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心到直线的最大距离为8
B．若直线平分圆的周长，则
C．若圆上至少有三个点到直线的距离为，则
D．若，过点作圆的两条切线，切点为，，当点坐标为时，有最大值
38．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知为圆上的两点，为直线上一动点，则（ ）
A．直线与圆相离
B．当为两定点时，满足的点有2个
C．当时，的最大值是
D．当为圆的两条切线时，直线过定点
三、填空题
39．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知椭圆，圆，直线与圆相切于第一象限的点A，与椭圆C交于两点，与轴正半轴交于点.若，则直线的方程是__________.
40．（2023·河南郑州·统考一模）经过点以及圆与交点的圆的方程为______．
41．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，设直线与两坐标轴的交点分别为，若圆上有且只有一个点满足，则的值为__________.
42．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线上的动点，P到y轴的距离为，到圆上动点Q的距离为，则的最小值为______．
四、解答题
43．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，过点引圆：的一条切线，切点为，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得的面积为？若存在，求点A的个数；否则，请说明理由.
44．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求：
(1)求圆心为的圆的标准方程；
(2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值；
(3)若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程．
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方
程
标准式
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心为(a，b)
半径为r
一般式
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
方法
位置
关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|