新高考数学二轮复习讲义解密22 抛物线（2份，原卷版+解析版）

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1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
【方法技巧】
求圆锥曲线中的有关三角形的面积时，常联立直线与曲线的方程，根据韦达定理求出弦长.然后根据点到直线的距离公式，求出三角形的高，即可得出.
【核心题型】
题型一：定义法求焦半径
1．（2023·山西晋中·统考二模）设F为抛物线C：的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若，则（ ）
A．B．1C．D．4
2．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为3，O为坐标原点，则（ ）
A．B．6C．D．9
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，若的面积为，则（ ）
A．2B．4C．D．
题型二：定义法求焦点弦
4．（2021秋·陕西西安·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于A（点A在第二象限），两点，则（ ）
A．B．C．4D．5
5．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线交于点，，与抛物线C的准线交于点Q，若（O为坐标原点），，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）抛物线的焦点为，对称轴为，过且与的夹角为的直线交于，两点，的中点为，线段的中垂线交于点．若的面积等于，则等于（ ）
A．B．4C．5D．8
题型三：求距离的最值问题
7．（2023·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·山东德州·高三统考期末）曲线上有两个不同动点，动点到的最小距离为，点与和的距离之和的最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知点是抛物线上任意一点，则点到抛物线的准线和直线的距离之和的最小值为（ ）
A．B．4C．D．5
题型四：抛物线的对称问题
10．（2021·宁夏中卫·统考一模）已知抛物线C：（）的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆的切线，切点分别为点A，B.若，则p的值为（ ）
A．1B．C．2D．3
11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（ ）
A．B．C．2D．4
12．（2020·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为 ，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为6，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
题型五：抛物线的综合问题
13．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知抛物线上的一个动点P到抛物线的焦点F的最小距离为1．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过焦点F的直线l交抛物线C于两点，M为抛物线上的点，且，，求的面积．
14．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为2.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点向抛物线作两条切线，切点分别为，若直线与直线交于点，且点到直线､直线的距离分别为.求证：为定值.
15．（2023·江西赣州·统考一模）已知抛物线为其焦点，点在上，且（为坐标原点）.
(1)求抛物线的方程；
(2)若是上异于点的两个动点，当时，过点作于，问平面内是否存在一个定点，使得为定值？若存在，请求出定点及该定值：若不存在，请说明理由.
【高考必刷】
一、单选题
16．（2023·陕西商洛·统考一模）已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
17．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·河南·统考模拟预测）已知点是抛物线C：的焦点，过的直线交抛物线C于不同的两点M，N，设，点Q为MN的中点，则Q到x轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·河北石家庄·统考一模）截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（ ）
A．1B．2C．4D．8
20．（2023·福建泉州·统考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上．若，，则到的距离等于（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·全国·高三专题练习）以抛物线的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A，B两点，过B且平行于x轴的直线交C于点P，过A且平行于x轴的直线交l于点Q，且，则△PBF的周长为（ ）
A．16B．12C．10D．6
22．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
24．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点P在抛物线上，则下列说法中正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为4
B．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条
C．若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线上，则ODE的周长为
D．点H为抛物线C上的任意一点，，，当t取最大值时，GFH的面积为2
25．（2023·辽宁·校联考一模）抛物线的焦点为，准线为，经过上的点作的切线m，m与y轴、l、x轴分别相交于点N、P、Q，过M作l垂线，垂足为，则（ ）
A．B．为中点
C．四边形是菱形D．若，则
26．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知F是抛物线的焦点，点在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线，分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则（ ）
A．四边形面积的最大值为2
B．四边形周长的最大值为
C．为定值
D．四边形面积的最小值为32
27．（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线上的动点，为坐标原点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，则（ ）
A．的最小值为4
B．若线段AB的中点为M，则弦长AB的长度为8
C．若线段AB的中点为M，则三角形OAB的面积为
D．过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分，则直线GH的斜率为定值
三、填空题
28．（2023·全国·校联考一模）抛物线：的准线截圆所得的弦长为_________.
29．（2023·山西大同·校联考模拟预测）若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．
30．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知直线，抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点关于轴对称的点为.若过点的圆与直线相切，且与直线交于点，则当时，直线的斜率为___________.
31．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知抛物线为抛物线内一点，不经过点的直线与抛物线相交于两点，连接分别交抛物线于两点，若对任意直线，总存在，使得成立，则该抛物线方程为______.
四、解答题
32．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为，，Q在准线上，Q的纵坐标为，点M到F与到定点的距离之和的最小值为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F且斜率为2的直线l与C交于A、B两点，求的面积．
33．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为的面积为1．
(1)求的方程；
(2)过点作一条直线，交于两点，试问在上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
34．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线E：的焦点关于其准线的对称点为，椭圆C：的左，右焦点分别是，，且与E有一个共同的焦点，线段的中点是C的左顶点．过点的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．
(1)求C的方程；
(2)证明：．
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
x0＋eq \f(p,2)
－x0＋eq \f(p,2)
y0＋eq \f(p,2)
－y0＋eq \f(p,2)
通径长
2p