新高考数学一轮复习题源解密练习专题07 数列（2份，原卷版+解析版）

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2023真题展现
考向一 等差数列
考向二 等比数列
考向三 数列综合
真题考查解读
近年真题对比
考向一 等差数列
考向二 数列递推公式
考向三 数列的求和
考向四 数列综合
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 等差数列
1．（2023•新高考Ⅰ•第7题）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
考向二 等比数列
2．（2023•新高考Ⅱ•第8题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（ ）
A．120B．85C．﹣85D．﹣120
考向三 数列综合
3．（2023•新高考Ⅰ•第20题）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通项公式；
（2）若{bn}为等差数列，且S99﹣T99＝99，求d．
4．（2023•新高考Ⅱ•第18题）已知{an}为等差数列，bn，记Sn，Tn为{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn．
【命题意图】
考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查等差、等比数列的性质；考查数列的求和方法，考查根据数列的递推公式求通项公式，考查数列和其他知识结合等综合知识．
【考查要点】
数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．
【得分要点】
1．解决等差、等比数列有关问题的几点注意
1等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；
2对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；
3注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；
4当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系.
2．数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有：
（一）公式法
①等差数列的前n项和公式：Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
②等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))
③数列前项和重要公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）等差数列中，；
（6）等比数列中，.
二分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
三裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.
四错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn；
(2)基本步骤
(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；
②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；
③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误．
五倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.
考向一 等差数列
5．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
考向二 数列递推公式
6.（多选）（2021•新高考Ⅱ）设正整数n＝a0•20+a1•21+…+ak﹣1•2k﹣1+ak•2k，其中ai∈{0，1}，记ω（n）＝a0+a1+…+ak，则（ ）
A．ω（2n）＝ω（n）B．ω（2n+3）＝ω（n）+1
C．ω（8n+5）＝ω（4n+3）D．ω（2n﹣1）＝n
考向三 数列的求和
7．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n次，那么Sk＝ dm2．
考向四 数列综合
8．（2021•新高考Ⅱ）记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）求使Sn＞an成立的n的最小值．
9．（2021•新高考Ⅰ）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝
（1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
（2）求{an}的前20项和．
10．（2022•新高考Ⅰ）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：++…+＜2．
11．（2022•新高考Ⅱ）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．
（1）证明：a1＝b1；
（2）求集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的个数．
重点考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和，考查错位相减、裂项相消等求和方法。有时考查数列的创新问题，实际应用问题，与不等式的综合问题，考查划归与转化思想，运算求解能力。考查形式多样。
一．数列的函数特性（共4小题）
1．（2023•河南模拟）已知数列{an}的通项公式为，则当an最小时，n＝（ ）
A．9B．10C．11D．12
2．（2023•西固区校级一模）数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝ ．
3．（2023•南岗区校级三模）已知数列{an}的通项公式是an＝2n﹣1，记bm为{an}在区间[m，2m）（m∈N*）内项的个数，则b5＝ ，不等式bm+1﹣bm＞2062成立的m的最小值为 ．
4．（2023•海淀区校级模拟）已知点列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pk（xk，yk） （k∈N*，k≥2）满足P1（1，1），与（i＝2，3，4…k）中有且只有一个成立．
（1）写出满足k＝4且满足P4（3，2）的所有点列；
（2）证明：对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得+＝2k；
（3）当k＝2n﹣1且P2n﹣1（n，n）（n∈N*，n≥2）时，求 的最大值．
二．等差数列的性质（共4小题）
5．（2023•安庆二模）已知等差数列{an}满足+＝4，则a2+a3不可能取的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．D．
6．（2023•江西模拟）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，且成首项为0.114的等差数列，若直线OA的斜率为0.414，则该数列公差等于（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
7．（2023•阿拉善盟一模）已知{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，则“对任意的n∈N*且n≠3，Sn＞S3”是“a4＞a3”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．充要条件
8．（2023•青羊区校级模拟）下列结论中正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，c＜d＜0，则
B．若x＞y＞0且xy＝1，则
C．设{an}是等差数列，若a2＞a1＞0，则
D．若x∈[0，+∞），则
三．等差数列的通项公式（共3小题）
9．（2023•武功县校级模拟）已知数列{an}为等差数列，a4＝2，a7＝﹣4，那么数列{an}的通项公式为（ ）
A．an＝﹣2n+10B．an＝﹣2n+5C．an＝﹣n+10D．an＝﹣n+5
10．（2023•凉山州模拟）在等差数列{an}中，a2+a4＝2，a5＝3，则a9＝（ ）
A．3B．5C．7D．9
11．（2023•雁塔区校级模拟）已知数列为等差数列，且a1＝1，，则a2023＝（ ）
A．B．C．D．
四．等差数列的前n项和（共2小题）
12．（2023•玉树州模拟）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝44，则a4+a6+a8＝（ ）
A．12B．13C．14D．15
13．（2023•陈仓区模拟）在等差数列{an}中，a6，a18是方程x2﹣8x﹣17＝0的两个根，则{an}的前23项的和为（ ）
A．﹣184B．﹣92C．92D．184
五．等比数列的性质（共4小题）
14．（2023•玉林三模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则＝（ ）
A．12B．36C．31D．33
15．（2023•河南模拟）已知数列{an}为等比数列，an＞0，n∈N*，且，则实数λ＝（ ）
A．2B．C．3D．
16．（2023•镇江三模）已知a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，且2和8为其中的两项，则a5的最小值为（ ）
A．﹣64B．﹣16C．D．
17．（2023•吴忠模拟）已知{an}是等比数列，若a3a7＝3a5，且a8＝﹣24，则a10＝（ ）
A．96B．﹣96C．72D．﹣72
六．等比数列的通项公式（共5小题）
18．（2023•河南模拟）在等比数列{an}中，若a5＝2，a3a8＝a7，则{an}的公比q＝（ ）
A．B．2C．D．4
19．（2023•南江县校级模拟）在等比数列{an}中，a1+a3＝2，a5+a7＝18，则a3+a5＝（ ）
A．3B．6C．9D．18
20．（2023•山西模拟）已知正项等比数列{an}满足a3﹣a1＝2，则a4+a3的最小值是（ ）
A．4B．9C．6D．8
21．（2023•鼓楼区校级模拟）已知等比数列{an}满足，则a1+a3＝（ ）
A．B．C．D．3
22．（2023•鼓楼区校级模拟）英国数学家亚历山大•艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位．一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列．八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列．已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l．若，则k﹣l＝（ ）
A．400B．500C．600D．800
七．等比数列的前n项和（共3小题）
23．（2023•周至县一模）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若a3a5＝64，且a5+2a6＝8，则S6＝（ ）
A．128B．127C．126D．125
24．（2023•陈仓区模拟）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且，则a1a2+a2a3+⋯+a10a11＝（ ）
A．B．C．D．
25．（2023•赣州一模）若等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且0＜a9＜1＜a8，则下列正确的是（ ）
A．q＞1B．0＜a1＜1
C．Sn的最大值为S8D．Tn的最大值为T8
八．数列的应用（共5小题）
26．（2023•甘肃模拟）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连成串，解开九连环最少需要移动341次．它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环．”九连环有多种玩法，在某种玩法中：已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次，记an（3≤n≤9，n∈N*）为解下n个圆环需要移动圆环的最少次数，且an＝an﹣1+2an﹣2+m（n≥3，n∈N*），则解下8个圆环所需要移动圆环的最少次数为（ ）
A．54B．90C．170D．256
27．（2023•池州模拟）如图的形状出现在南宋数学家杨部所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”．角垛”的最上层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球设各层球数构成数列{an}．该数列从第二项起每一项与前一项的差构成等差数列，则该“三角垛”中第8层小球个数为（ ）
A．21B．28C．36D．45
28．（2023•浉河区校级模拟）三潭印月被誉为“西湖第一胜境”，所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个等边三角形，记为△A1B1C1，设△A1B1C1的边长为a1，取△A1B1C1每边的中点构成△A2B2C2，设其边长为a2，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列{an}，若{an}的前6项和为，则△A1B1C1的边长a1＝（ ）
A．62B．61C．31D．30
29．（2023•石家庄二模）中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列．现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，…，按此规律，则第50层小球的个数为（ ）
A．2400B．2401C．2500D．2501
30．（2023•保定二模）我们知道地球和火星差不多在同一轨道平面上运动，火星轨道在地球轨道之外．当地球和火星与太阳在同一条直线上，这一天文现象称为“冲日”，简称“冲”．假设地球和火星都做近似匀速圆周运动，火星绕太阳一周约需687天，地球绕太阳一周约需365.25天，则相邻两次“冲日”之间间隔约为 天．（结果精确到个位）
九．数列的求和（共7小题）
31．（2023•贵州模拟）已知Sn是数列{an}的前n项和，S3＝273，，当数列的前n项和取得最大值时，n的值为（ ）
A．30B．31C．32D．33
32．（2023•徐州模拟）若数列{an}满足，，则{an}的前n项和为 ．
33．（2023•郑州模拟）已知数列{an}满足a1＝1，，数列的前n项和为Sn，若k为大于1的奇数，则Sk＝ ．
34．（2023•武鸣区校级二模）已知数列{an}满足a1+a2+…+an﹣1﹣an＝﹣2（n≥2且n∈N*），且a2＝4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．
35．（2023•保定二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，若对任意的正整数n都有2Sn＝2nan﹣n2+n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{（﹣）}的前n项和为Tn，若s≤Tn﹣≤t恒成立，求t﹣s的最小值．
（2）随着Tn的增大而增大，由此求出的最大值和最小值，两数之差即为t﹣s的最小值．
36．（2023•河北三模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝7，S5＝55．
（1）求an和Sn；
（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
（2）bn＝＝＝﹣，进而求出Tn．
37．（2023•岳麓区校级模拟）已知正项数列{an}满足：a1＝3，且an（﹣1）＝2（﹣1）an+1，n∈N*．
（1）设bn＝an﹣，求数列{bn}的通项公式；
（2）设cn＝+，求数列{cn}的前n项和Tn，并确定最小正整数n，使得Tn为整数．
一十．数列递推式（共8小题）
38．（多选）（2023•开福区校级三模）已知数列{an}的前n项和是Sn，则下列说法正确的是（ ）
A．若Sn＝an，则{an}是等差数列
B．若a1＝2，an+1＝2an+3，则{an+3}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列
39．（多选）（2023•重庆模拟）对于数列{an}，若a1＝1，，则下列说法正确的是（ ）
A．a4＝3B．数列{an}是等差数列
C．数列{a2n﹣1}是等差数列D．a2n＝2n﹣1
40．（2023•贵阳模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，当n≥2时，有（n﹣2）an﹣（n﹣1）an﹣1+a1＝0．
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若a1＝20，S4＝56，求Sn的最大值．
41．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知数列{an}满足：an＝若a10＝，则m＝（ ）
A．8B．9C．10D．11
42．（2023•泸县校级模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝Sn，则an＝ ．
43．（2023•河北三模）在数列{an}中，已知a1＝1，an+1＝，则a8＝ ，当n为偶数时an＝ ．
44．（2023•2月份模拟）记数列{an}的前n项和为Tn，且a1＝1，an＝Tn﹣1（n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设m为整数，且对任意n∈N*，m≥，求m的最小值．
45．（2023•武功县校级模拟）设Sn是数列[an}的前n项和，．
（1）求{an}的通项；
（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
一十一．数列与函数的综合（共3小题）
46．（2023•新余二模）已知数列{an}中，a1≠0，，且a3、a11是函数f（x）＝2x2+19x+20的两个零点，则a7＝ ．
47．（多选）（2023•湖北二模）已知数列{an}满足a1＝0，，前n项和为Sn，则下列选项中正确的是（ ）（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099）
A．an+an+1≥ln2
B．S2020＜666
C．
D．{a2n﹣1}是单调递增数列，{a2n}是单调递减数列
48．（2023•赤峰模拟）①函数f（x）对任意x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，数列{an}满足，令．
②数列{an}中，已知，对任意的p，q∈N*都有ap+q＝ap+aq，令．
在①、②中选取一个作为条件，求解如下问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）数列{an}是等差数列吗？请给予证明．
（2）设Tn＝b1+b2+…+bn，，试比较Tn与Mn的大小．
一十二．数列与不等式的综合（共6小题）
49．（2023•海淀区校级三模）已知等比数列{an}，对任意n∈N*，an•an+1＞0，Sn是数列{an}的前n项和，若存在一个常数M＞0，使得∀n∈N*，|Sn|＜M，下列结论中正确的是（ ）
A．{an}是递减数列
B．{an}是递增数列
C．
D．一定存在，当n＞N0时，
50．（2023•黑龙江一模）已知数列{an}前n项和，数列{bn}满足为数列{bn}的前n项和．若对任意的n∈N，n≥1，不等式恒成立，则实数λ的取值范围为 ．
51．（2023•陈仓区模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，2a2+a5＝21，S9＝99．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：．
52．（2023•全国四模）已知数列{an}的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若，求满足条件的最大整数n．
53．（2023•岳阳模拟）已知数列{an}的前n项和为．
（1）证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
54．（2023•温州模拟）设Sn为正项数列{an}的前n项和，满足2Sn＝+an﹣2．
（I）求{an}的通项公式；
（II）若不等式（1+）≥4对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设bn＝（其中r是自然对数的底数），求证：．
一十三．等差数列与等比数列的综合（共6小题）
55．（2023•锡山区校级一模）设等比数列{an}的首项为a1＝2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足（t∈R，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）试确定t的值，使得数列{bn}为等差数列；
（3）当{bn}为等差数列时，对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入bk个2，得到一个新数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求T100．
56．（2023•广东模拟）已知正项等比数列{an}和其前n项和Sn满足a5﹣a1＝2S4，a2•a3＝a4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）在am和am+1之间插入m个数，使得这m+2个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为bm，求满足bm＞50的正整数m的最小值．
57．（2023•苏州三模）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a2＝3，且a3，a5，a8成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前2023项和．
58．（2023•鲤城区校级模拟）已知等差数列{an}满足（n+1）an＝n2﹣8n+k，数列{bn}是以1为首项，公比为3的等比数列．
（1）求an和bn；
（2）令cn＝，求数列{cn}的最大项．
59．（2023•葫芦岛二模）已知{an}是各项为正数的等比数列，{bn}为公差是2a1的等差数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．
（1）若an＞bn，求n的取值范围；
（2）若a1＝1，求集合中元素的个数．
60．（2023•河西区三模）设{an}是各项均为正数的等差数列，a1＝1，a3+1是a2和a8的等比中项，{bn}的前n项和为Sn，2bn﹣Sn＝2（n∈N*）．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}的通项公式cn＝（n∈N*）．
（i）求数列{cn}的前2n+1项和S2n+1；
（ii）求．
常见的裂项技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
②根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
③指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），设，易得，
于是
（7）
④对数型
⑤幂型
（1）
（2）
（3）
⑥三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
则
⑦常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
；
（9）
；
（10）．
（11）．