湖南省怀化市2024-2025学年高二上学期1月期末质量检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省怀化市2024-2025学年高二上学期1月期末质量检测数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了 函数 的极值为， 设 ， 分别为双曲线 C等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据直线得出斜率，再结合倾斜角及斜率的关系求出倾斜角即可.
【详解】由 可得该直线的斜率 ，故该直线的倾斜角为 ，
故选:B.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合 A，再根据交集运算求解.
【详解】由题意可知 ，
因 ，所以 .
故选：C.
第 1页/共 16页
3. 首项为 1 的数列 满足 ，则 （ ）
A. 2 B. 5 C. 21 D. 26
【答案】D
【解析】
【分析】利用递推关系式逐个求解可得答案.
【详解】由题意可得 ， ， ，
故选：D.
4. 已知平面 的法向量 ， ，则点 P 到平面 的距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量法计算点到平面距离公式计算即可.
【详解】由题意可得点 P 到平面 的距离 ，
故选：B
5. 函数 的极值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数极值的定义求解即可.
【详解】由题知 的定义域为 ，且 .
当 时， ；
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
第 2页/共 16页
故 的极小值为 ，无极大值，
故选：A
6. 过点 作圆 的切线，则切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出直线方程，借助切线的性质计算即可得.
【详解】由 ，可知该圆是以 为圆心，3 为半径的圆，
当过点 的直线斜率不存在，即为 时，与圆显然不相切；
设过点 的圆的切线为 ，即 ，
故圆心到切线的距离 ，解得 ，
故选：C
7. 设 为椭圆 的左焦点，A，B 是 C 上的两个动点，若 周长的取值范
围为 ，则 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义求出 周长范围，再与给定范围比对即可得解.
【详解】令椭圆 右焦点为 ， ，
周长
，当且仅当 共线时取等号，则 ，即 ，
第 3页/共 16页
又 ，因此 ，
则 ，解得 ，所以 C 的离心率为 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：涉及有椭圆的一个焦点，取另一焦点，结合椭圆的定义求解是关键.
8. 记数列 的前 n 项和为 ，已知 ， ， ，则 （ ）
A. 17 B. 19 C. 17 或 18 D. 18 或 19
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的递推公式探讨数列特性，进而求出 ，再按奇偶求解得 值.
【详解】由 ，得 ，两式相除得 ，
由 ，得 ，因此当 n 为偶数时， ；当 n 为奇数时， ，
则
，于是 ，
当 为奇数时，由 ，解得 ；当 为偶数时，由 ，解得 ，
所以 的值为 18 或 19.
故选：D
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错得 0 分.
9. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为 1，2，3，4 的 4 个小球，从中依次不放回摸出
两个球.设事件 “第一次摸出球的编号为奇数”，事件 “摸出的两个球的编号之和为 5”，事件 “摸
出的两个球中有编号为 2 的球”，则（ ）
A. B. 事件 A 与事件 B 为独立事件
C. D. 事件 B 与事件 C 为互斥事件
【答案】AB
【解析】
第 4页/共 16页
【分析】根据古典概型计算判断 A，独立事件乘法公式计算判断 B，根据概率性质计算判断 C，应用互斥事
件的定义判断 D.
【详解】对于 A：由古典概率的计算易得 ，故 A 正确；
对于 B：因为 ， ， ，
所以 ，即事件 A 与事件 B 为独立事件，故 B 正确；
对于 C：因为 ，故 C 错误；
对于 D：当摸出的两个球编号为 2，3 时，事件 B 与事件 C 同时发生，故 D 错误，
故选:AB
10. 设 ， 分别为双曲线 C： 的左、右焦点， 为 上一点，则（ ）
A. 的焦距为 4
B. 当 时， 为直角三角形
C. 当 时， 为直角三角形
D. 当 时， 为直角三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】先求 ，再求焦距判断 A，代入求坐标结合焦点坐标及向量运算判断 B，C，应用双曲线
定义求边长判断 D.
【详解】因为 ，所以 C 的焦距为 ，故 A 错误；
由 可得 ，从而 或 ，
又因为 ， ，显然此时 为直角三角形，故 B 正确；
由 可得 ，
取 ， ， ，
第 5页/共 16页
因为 ，所以 ，
因此 为直角三角形，故 C 正确；
由 ， ，得 ， ，
又因为 ，所以 ，
因此 为直角三角形，故 D 正确，
故选：BCD.
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 在区间 上单调递增
B. 点 是曲线 的对称中心
C. 曲线 与 x 轴相切
D. 当 在区间 恒成立时， 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性可以判断 A，由 可判断 B，利用导数的几何意义及
可以判断 C，利用不等式解集可以判断 D.
【详解】由题意可得 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
函数 在区间 上单调递减，由复合函数单调性可得 在区间 上单调递减，故 A
错误；
第 6页/共 16页
因为 ，所以 ，
即 的图象关于点 中心对称，故 B 正确；
因为 ，所以 ，
又 ，所以 的图象与 轴相切，故 C 正确；
由 ，得 ，
所以 即
所以 ，所以 ，故 D 正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知正项等比数列 满足 ，则其公比 _____.
【答案】3
【解析】
【分析】根据等比数列的基本量关系和公式求解即可.
【详解】依题意可得 ， ，代入原式得 .
即 ，解得 或 ，当 时，与题意矛盾舍去，故 .
故答案为：3.
13. 已知函数 是偶函数，则 _______.
【答案】6
【解析】
【分析】因为函数为偶函数，对函数变形，由奇函数 奇函数=偶函数，即可求得 a 的值.
【详解】由题意可得 ，
第 7页/共 16页
因为 是奇函数，所以 为奇函数，
因此 ，即 ，经检验适合题意.
故答案为：6.
14. 已知抛物线 ： ， ， ， ，过点 M 的直线 与 交于 A，B 两点，其
中点 A 在第一象限，若四边形 为梯形，则其面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】设 为 ，直曲联立，借助韦达定理，得到 .求出 坐标，再算面
积即可.
【详解】设 为 ， ， ，
与 C 联立可得 ，即 ，
则 ，
整理得 ，
故 .
若四边形 为梯形，由对称性，不妨设上底为 ，且 ，
由梯形上下底平行得， ，故 ，
即点 在线段 的中垂线上，故 的横坐标为 1，
解得 ，故 ，
梯形 的面积 .
故答案 ： .
第 8页/共 16页
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用等差数列性质公式计算即可.
（2）运用分组求和，结合等差等比数列求和公式计算即可.
【小问 1 详解】
设 的公差为 d，因为 ，所以 ，
又 ，则 ，
故 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）可得：
16. 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ， ， .
（1）求 c；
第 9页/共 16页
（2）求 和 的值.
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理求解；（2）利用同角三角函数关系式，结合二倍角的正余弦公式以
及两角和的正弦公式求解.
【小问 1 详解】
因为 ，由正弦定理可得 ，
由余弦定理可得 ，
故 .
【小问 2 详解】
因为 且 为 内角，故 ，
故 ，
故 ，
故 .
17. 如图，四棱锥 的底面 为平行四边形，P 在底面的射影在四边形 内部，平面
平面 ，平面 平面 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
第 10页/共 16页
（2）
【解析】
【分析】（1）运用面面垂直的性质，结合平行四边形性质和线面平行判定可解；
（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和面的法向量，结合向量夹角公式计算即可.
【小问 1 详解】
如图，设平面 平面 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
因为底面 为平行四边形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 ，故 平面 .
【小问 2 详解】
以 为坐标原点， ， 方向分别为 x 轴，y 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
可得 ， ， ，
设平面 ，平面 的法向量分别为 ， ，
故 ，不妨令 ，则 ，
第 11页/共 16页
，不妨令 ，则 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18. 在平面直角坐标系 中，A，B 分别为椭圆 C： 的左，右顶点，P，Q 是 C 上的两个动点，
，直线 与 y 轴交于点 .
（1）当 P 是 C 的上顶点时，求点 Q 的坐标；
（2）求 t 的最小值.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）通过已知点坐标求直线斜率，再根据垂直关系得到另一直线斜率从而确定直线方程，最后联
立直线方程与椭圆方程求解交点坐标.（2）先求出 、 点坐标，再根据三点共线得出 关于 的表达式，
最后结合基本不等式求 的最小值.
【小问 1 详解】
由题 ，当 P 是 C 的上顶点时， ，
则直线 斜率 ，
因为 ，所以直线 的斜率 ，则直线 ： ，
联立 ，可得 ，
所以 所以 ，所以 ，
第 12页/共 16页
即点 Q 的坐标为 .
【小问 2 详解】
由题设直线 （斜率存在且不为 0）： ，
则直线 ： ，
联立 ，可得 ，所以 ，
所以 ，即 ，
联立 ，可得 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ， ， 共线，所以 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值 .
第 13页/共 16页
19. 已知函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）已知数列 满足 ，且 .
（i）证明：数列 为等比数列，并求 的通项公式；
（ii）设 的前 项积为 ， 为整数，若对任意的正整数 都有 ，求 的最小值.
参考数据： ， ， .
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析， ；（ii）2
【解析】
【分析】（1）依题意可得 ，当 时可知 单调递增，不符合题意，当 时，利用导数
说明函数的单调性，即可求出参数的值；
（2）（i）将 两边取倒数，即可得到 ，结合等比数列的定义及通
项公式计算可得；（ii）首先可得 ，则问题转化为 ，由（1）可得 ，当且仅当
等号成立，即可得到 ，再利用放缩法及等比数列求和公式计算可得.
小问 1 详解】
函数 的定义域为 ，
由题意可得 .
若 ，则 单调递增，当 时， ，不符合题意；
若 ，则 ，令 ，解得 ，
故当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
此时 为 最小值，
第 14页/共 16页
若 ，则有 ，不满足题意，
若 ，则 ，故 .
【小问 2 详解】
（i）因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，故 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，得 ，
经检验 时同样成立，故 .
（ii）由 ，且 ，可得 ，
则 即 ，
而 ，
又 ，
由（1）可得 ，则 ，当且仅当 等号成立，
故 ，
故
，
故 ，所以 ，则 ，故 最小值为 .
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由（1）可得 ，当且仅当 等号成立，从而得到
第 15页/共 16页
，再就是利用放缩法得到 .
第 16页/共 16页