湖南省百师联盟2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省百师联盟2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了 若双曲线 ， 在数列 中， 为其前 项和， 已知抛物线 等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为 120 分钟，满分 150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线一般式方程求出斜率，即可计算得出倾斜角.
【详解】易知直线 的斜率 ，
设倾斜角为 ，易知 ,
所以 ，可得 .
故选：D.
2. 椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 、 的值，即可得出该椭圆的离心率的值.
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【详解】在椭圆 中， ， ，所以 ，所以 ， ，
所以，该椭圆的离心率为 .
故选：B.
3. 已知正方体 的棱长为 2， ， ， 分别为向量 ， ， 的单位向量.下列用
， ， 表示的向量中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量 加法法则与减法法则逐一验证即可.
【详解】对于选项 A：因为 ， ， ， ，A 错误；
对于选项 B： ，故 B 错误；
对于选项 C： ，故 C 正确；
对于选项 D： ，故 D 错误.
故选：C.
4. 在等差数列 中， 为其前 项和.若 ， ，则 （ ）
A. 210 B. 420 C. 198 D. 105
【答案】A
【解析】
【分析】列方程组求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的前 项和公式可求得结果.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，所以
解得 ，所以 .
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故选：A.
5. 若双曲线 ： 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则 的
离心率为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列式求出离心率.
【详解】令双曲线 的半焦距为 c，双曲线 的渐近线方程为 ，
依题意，圆 的圆心 到直线 的距离为 ，
则 ，所以离心率 .
故选：B
6. 在数列 中， 为其前 项和.若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 与 的关系式，求得 ，进而得到数列 是等比数列，再用公式计算即可.
【详解】因为 ，所以当 时， .两式相减，得 ， .
因为 ，且当 时， ，所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，所以 .
故选：C.
7. 给定一个点 和一个向量 ，那么过点 ，且以向量 为法向量的平面 可以表示为集合
，即在空间直角坐标系 中，若 ， ，设 ，则平面
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的方程为 .根据以上信息，解决下面问题：已知平面 的方程为
，直线 是两平面 与 的交线，则直线 与平面 所成角的
正弦值为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求解平面法向量，利用待定系数法求解 的方向向量为 ，即可利用向量的夹角
公式求解.
【详解】由题意可知，平面 的一个法向量为 ，
平面 的一个法向量为 ，
平面 的一个法向量为 .
又直线 是平面 与平面 的交线，设直线 的方向向量为 ，
则 取 ，则 .
设 与平面 所成的角为 ，则 .
故选:D.
8. 若 是函数 的极小值点，则 的极大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先对函数 求导，因为 是极小值点，所以
，
求出 a 的值，再由 a 的取值和单调性即可求出 取得极大值，即可求的结果.
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【详解】因为 ，所以 .
又 是函数 的极小值点，所以 ，解得 或 .
当 时， 恒成立，函数 单调递增，不符合题意，舍去.
当 时， ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
是 的极小值点，所以 ， .
由以上分析知，当 时， 取得极大值，且 .
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知等差数列 的首项 ，公差 ，在 中每相邻两项之间都插入 个数，使它们和原数
列的数一起构成一个新的等差数列 ，以下说法正确的有（ ）
A.
B. 当 时，
C. 当 时， 是数列 中的项
D. 若 是数列 的项，则 的值不可能为 7
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式即可判断选项 A 与选项 B；直接让 ，解得 ，即可判断选
项 C；利用等差数列概念即可判断 D.
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【详解】对于 A，由题意得 ，A 正确；
对于 B，当 时，数列 的首项为 2，公差为 ，故 ，B 正确；
对于 C，由 B 选项可知 ，令 ，解得 ，所以 是数列 的第 8 项，C 正确；
对于 D，插入 个数，则 ， ， ， ，…，所以等差数列 中的项在等
差数列 中对应的项的序号是以 1 为首项， 为公差的等差数列，即 ，若 是数列
的项，令 ，当 时， ，D 错误.
故选：ABC.
10. 已知抛物线 ： 与双曲线 ： 有相同的焦点，点 在抛物线 上，
则下列结论正确的有（ ）
A. 双曲线 的离心率为 3
B. 双曲线 的渐近线方程为
C.
D. 点 到抛物线 的焦点的距离为 8
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据双曲线方程求出其焦点坐标，即可判断 A，B；依题即可求出 的值，判断 C 项，利用抛物线
的定义即可判断 D 项.
【详解】对于 A，在双曲线 ： 中， ， ，故 ，则 ，则双曲线 的离
心率为 3，故 A 正确；
对于 B，由 可得双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，故 B 正确；
对于 C，由上分析，可得抛物线 中， ，即得 ，故 C 错误；
对于 D，由抛物线的定义，可得点 到抛物线 的焦点的距离等于点 到抛物线 的准线
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的距离，即 ，故 D 正确.
故选：ABD.
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， ， ， ，则下列说
法正确的有（ ）
A.
B. 三棱锥 的体积最大值为 1
C. 若 ，则点 到直线 的距离为
D. 三棱锥 外接球球心轨迹的长度近似为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意直接建立空间直角坐标系，利用空间向量证明选项 A 是否正确；求出三棱锥 体
积的表达式，利用二次函数即可得到选项 B 中最大值；利用点到线的距离公式即可求得点 到直线 的
距离为 ，故 C 正确；先等量转化找出外接球球心，再利用轨迹方程即可求得近似值，得出选项 D 正确
.
【详解】
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.设 ，
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则 ， ， ， ， .
对于选项 A：因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，A 正确.
对于选项 B：三棱锥 的体积 ，
所以当 时，三棱锥 的体积取得最大值 ，B 错误.
对于选项 C：若 ，则 ， ， ，所以 ， ，
所以点 到直线 的距离 ，C 正确.
对于选项 D：设 ， 的中点分别为 ， ，过点 作平面 的垂线 ，过点 作与棱 垂直
的平面 ，直线 与平面 交于点 ，
则点 为外接球的球心，显然点 的轨迹长度与点 的轨迹长度相等.因为 ，
，
所以 .
在平面 内，点 的轨迹方程为 ，且 ， ，
故点 的轨迹长度近似为 ，即三棱锥 外接球球心轨迹的长度近似为 ，D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知数列 满足： （m 为正整数）， ，若 ，则 m 的所有可能
取值之和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由 结合递推关系式，分情况讨论，分别求出 的值即可．
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【详解】当 时，则 ，可知 或 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ；
综上所述， 或 ，即 m 的所有可能取值之和 ．
故答案为：
13. 直线 ： 与椭圆 ： 交于 ， 两点，椭圆 上顶点为点 ，则 的面积
为______.
【答案】
【解析】
【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出 ，并求出点到直线的距离
求高，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】设点 ， .由 消去 ，整理得 ，
，所以 ， ，
所以 .
椭圆 的上顶点 ，点 到直线 的距离 ，
所以 的面积 .
故答案为： .
14. 若曲线 的一条切线方程为 ，则 ______.
【答案】
【解析】
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【分析】求导，根据斜率可得 ，即可代入 求解.
【详解】设 ，则 .
设切点为 ，由题意，得 ，即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 的圆心在直线 上，且点 ， 在圆 上.
（1）求圆 的标准方程；
（2）若倾斜角为 的直线 与圆 相交于 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）利用圆的弦的中垂线经过圆心，结合题设求出圆心和半径，即得圆的方程；
（2）由弦长 求出圆心到弦 距离，设直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式列
方程，解之即得.
【小问 1 详解】
因为点 ， ，所以直线 的斜率为 ，
所以线段 的垂直平分线的斜率为 1.因线段 的中点为 ，
则线段 的垂直平分线的方程为 .
由 解得 故圆心 ，半径 ，
故圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
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（可以一起）如图，因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率为 .
因为弦长 ，所以圆心 到直线 的距离 .
设直线 的方程为 ，则点 到直线 的距离 .
由 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 .
16. 如图，在长方体 中， ， 是 的中点， 是 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面 和平面 的法向量，根据法向量
垂直证明面面垂直即可；
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（2）求出平面 的法向量，结合（1）中求得的平面 法向量，根据面面角的向量求解方法可求得
答案.
【小问 1 详解】
如图，以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ， ，
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平面 的一个法向量为 .
设平面 的一个法向量为 ，则
，即 ，
令 ，则 ， ，所以 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 .
17. 已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调性；
（2）若函数 在 处取得极小值，求实数 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在 时，对函数求导后分解因式，根据导函数的正负即可判断原函数的单调性；
（2）对函数求导后，对 ， ， ， 的情况进行讨论，由题意即得参数 的取值范
围.
【小问 1 详解】
当 时， ，
则 ，
令 ，解得 或 ．
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令 ，解得 ，所以 在 上单调递减；
令 ，解得 或 ，即 在 ， 上单调递增．
综上，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
【小问 2 详解】
由 求导得 ，
① 当 时， 恒成立，
令 ，解得 ，即 在 上单调递减；
令 ，解得 ，即 在 上单调递增，
故 时，函数 在 处取得极小值，符合题意；
②当 时，令 ，解得 ， ，且 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以函数 在 处取得极小值，符合题意．
③ 当 时，令 ，解得 ，此时 恒成立且 不恒为 0，
单调递增，故函数 无极值，不符合题意．
④ 当 时，令 ，解得 ， ，且 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以函数 在 处取得极大值，不符合题意．
综上，实数 的取值范围是 ．
18. 已知圆 ，定点 ，D 是圆 A 上的一动点，线段 DB 的垂直平分线交半径
DA 于点 E．
（1）求点 E 的轨迹方程；
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（2）若直线 m 与点 E 的轨迹交于 M，N 两点，与圆 相交于 P，Q 两点，且
，求 面积的最大值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据题意分析可知 ，结合椭圆的定义求轨迹方程；
（2）由题意分析可知圆心 到直线 m 的距离 ，设直线 m 的方程为 ， ，
联立方程结合韦达定理求 ，进而可求 的面积，并利用基本不等式求最大值.
【小问 1 详解】
圆 的圆心为 ，半径为 4．
因为 D 是圆 上的一个动点，线段 DB 的垂直平分线交半径 DA 于点 E，
则 ，可得 ，
因此 E 点的轨迹是以 为焦点的椭圆，
其中 ，
所以点 E 的轨迹方程为 ．
【小问 2 详解】
圆 的圆心为 ，半径为 2，
由题意可知：圆心 到直线 m 的距离 ，
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结合点 E 的轨迹方程可知：直线 m 的斜率可以不存在，但不为 0，
设直线 m 的方程为 ， ，
可得 ，整理得 ，即 ，
联立方程 ，消去 x 得 ，
则 ，
可得 ，
则 ，
所以△OMN 面积为 ，
且 ，可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以△OMN 面积的最大值为 1.
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求
最值（注意：有时需先换元后再求最值）．
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19. 已知等比数列 的各项都是正数， 是 的前 项和， ， .
（1）求数列 的通项公式及其前 项和 ；
（2）若 ，求 值.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）代入等比数列的基本量，即可求解；
（2）分情况讨论，求出 ，运用等差数列和等比数列求和，结合错位相减计算即可.
【小问 1 详解】
设等比数列 的公比为 ，则 .
由 ， ，得 ，即 ，解得 或 （舍去）.
所以 ，
【小问 2 详解】
由（1）知， ，所以 .
因为 ，
所以当 时， ，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ，当 时， ，所以 .
当 时，由 ， ，
得当 时， ， ， ，…， ， 构成以 为首项， 为公差，项数
第 17页/共 18页
为 的等差数列.
因为 ，所以当 时， ， .
当 时， ， .
当 时， ， ，…， 构成了
组等差数列，
且这 组等差数列的首项分别为 ，公差分别为 ，项数分别为 ， ，…， .
设每组等差数列的所有项的和为 ，
则 .
所以 ，
设 ，则 ，
两式相减，得 ，
所以 ，
所以 .
当 时，均满足上式，所以 .
【点睛】关键点点睛：
（1）分析可知 构成了 组等差数列，且这 组
等差数列的首项分别为 ，公差分别为 ，项数分别为 ， ，…， .，根据等差数列
公式计算；
（2）当数列是“等差等比”形式时，其前 n 项和用“错位相减法”求和.
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