湖南省郴州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省郴州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷（Word版附解析），共17页。
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共 6 页，有四道大题，共 19 道小题，满分 150 分.考试时
间 120 分钟.
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题
卡的指定位置.
3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题
卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
4．考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交.
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求）
1. 已知抛物线 ，则抛物线 的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的抛物线方程直接求出焦点坐标.
【详解】抛物线 的焦点坐标是 .
故选：A
2. 已知倾斜角为 的直线的方向向量为 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先得到直线的斜率，从而求出直线的方向向量.
【详解】因为直线的倾斜角为 ，所以直线的斜率 ，
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又直线的方向向量为 ，所以 .
故选：C
3. 已知数列 的前 项和 ，则 （ ）
A. 10 B. 6 C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用第 项与前 项的关系求出答案.
【详解】数列 的前 项和 ，所以 .
故选：D
4. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导函数，再根据 计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，则 ，
所以 .
故选：A
5. 在 正 项 等 比 数 列 中 ， 若 为 方 程 的 两 个 实 根 ， 则
（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】利用韦达定理求出 ，再利用对数运算及等比数列性质计算得解.
【详解】由 为方程 的两个实根，得 ，
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在正项等比数列 中， ， ，
所以 .
故选：B
6. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，若 ，则 （
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理求解即得.
【详解】依题意， ， ，而 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 .
故选：C
7. 在平行六面体 中， ， ，则异面
直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取空间向量的一个基底 ，利用空间向量求出异面直线的夹角余弦值.
【详解】在平行六面体 中， ，
，而 ， ，
则 ，
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，
，
，因此 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：A
8. 已知双曲线 的右焦点为 ，以点 为圆心，半径为 的圆与双曲线的一条渐
近线的两个交点为 ．若 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出点 到渐近线的距离，结合圆的性质可得 ，进而求出离心率.
【详解】由对称性，不妨令渐近线为 ，右焦点 ，
则点 到直线 距离 ，
由 ，得 ，
所以该双曲线的离心率 .
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故选：D
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知公差为 的等差数列 ，其前 项和为 ，且 ，则下列说法正确的为（ ）
A. B. 为等差数列
C. 当 取得最小值时， D. 为递减数列
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列前 项和公式，结合等差数列性质可得 ，再逐项分析
判断.
【详解】在等差数列 中， ，
则 ， ，公差 ，
对于 A， ，A 错误；
对于 B， ，则 ， ，
为等差数列，B 正确；
对于 D，由 ，得 为递增数列，D 错误；
对于 C，数列 前 6 项都为负，从第 7 项起都为正，因此当 取得最小值时， ，C 正确.
故选：BC
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10. 已知直线 与圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 恒过定点
B. 当直线 与圆 相切时，切线方程是
C. 当 时，圆 上恰有四个点到直线 的距离等于
D. 圆 上的一点 到直线 的最大距离是
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出直线所过定点判断 A；由直线 与圆相切判断 B；求出圆心到直线距离判断 CD.
【详解】对于 A，直线 恒过定点 ，A 正确；
对于 B，圆 的圆心 ，半径 ，点 到直线 的距离为 2，
即直线 过点 与圆 相切，因此直线 可以是 ，B 错误；
对于 C，当 时，直线 ，点 到此直线距离为 ，
因此圆 上恰有四个点到直线 的距离等于 ，C 正确；
对于 D，点 到直线 距离的最大值为 ，
因此圆 上的一点 到直线 的最大距离是 ，D 正确.
故选：ACD
11. 在棱长为 2 的正方体 中，点 是线段 上的动点，点 是线段 的中点．则下
列说法正确的是（ ）
A. 若点 是 的中点，则过 、 、 三点的正方体的截面的周长是
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B. 三棱锥 的体积是定值
C. 直线 与平面 所成的线面角的正弦值是
D. 异面直线 与 所成的角的最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】做出截面，求出截面周长，即可判断 A，根据锥体的体积公式判断 B，建立空间直角坐标系，利用
空间向量法判断 C、D.
【详解】对于 A：连接 、 ，取 的中点 ，连接 、 ，
则 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 ，所以 四点共面，则截面周长为 ，故 A 正确；
对于 B： ，即三棱锥 的体积是定值，故 B 正确；
对于 C、D：如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
设 ，
所以 ，又平面 的法向量为 ，
设直线 与平面 所成的线面角为 ，则 ，故 C 错误；
因为 ， ，设异面直线 与 所成的角为 ，
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则 ，
所以当 时， ，又 ，所以 ，
即异面直线 与 所成的角的最大值是 ，故 D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题 C、D 选项的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量法定量计算.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知圆 ，圆 ，则两圆 公共弦所在直线的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】将两圆相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程.
【详解】设两圆交点为 ， ，
则 两点坐标是方程组 的解，
两式相减得 ，即 ，
所以 两点坐标均满足此方程，
所以 即为两圆的公共弦所在直线的方程，
故答案为：
13. 已知抛物线 ，过抛物线焦点的直线 与抛物线交于 两点，则
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______．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出直线与 轴 交点坐标，即可得到抛物线方程，再设 ， ，联立直线与
抛物线方程，消元、列出韦达定理，再由焦点弦公式计算可得.
【详解】直线 过点 ，又抛物线 的焦点坐标为 ，
所以 ，解得 ，所以抛物线 ，设 ， ，
由 ，消去 可得 ，显然 ，
所以 ，则 .
故答案为：
14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2．反复进行上述两种
运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 ．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷
猜想”等）．如取正整数 ，根据上述运算法则得出 ，共需经
过 8 个步骤变成 1（简称为 8 步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 满足：
（ 为正整数）， ，若 ，记数列 的前 项和为 ，则 ______
．
【答案】4725 或 4746
【解析】
【分析】根据给定的运算法则，逆推进出前 4 项，再结合数列周期性求出 .
【详解】由 ，得 ， 或 ，
若 ，则数列 是周期数列，其周期为 3，
因此 ；
若 ，则数列 去掉前 3 项后是周期数列，其周期为 3，
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因此 .
故答案为：4725 或 4746
【点睛】思路点睛：由“角谷猜想”的运算法则，利用逆推的方法求出前 4 项，再利用周期性求和.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知圆 经过 三点．
（1）求圆 的标准方程；
（2）求过点 且被圆 截得的弦长为 2 的直线 的方程．
【答案】（1） ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，联立方程组，求出圆 一般方程，即可得到圆的标准方程；
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，再根据圆的弦长公式，即可求得斜率，从而得到直线方程.
【小问 1 详解】
设圆 的一般方程为 ，将三点坐标代入得：
，解得
所以圆 的一般方程为： ，
则圆 的标准方程为： .
【小问 2 详解】
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为： ，
此时直线 与圆 有两个交点 ，则被圆 截得的弦长为 2，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ， 即：
由（1）圆心 ，圆心 C 到直线的距离为 ，
由 得： ，解之得
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所以直线 的方程为： ，即：
综上所述，直线 的方程为： 或 .
16. 已知函数 （ 为常数）在 处的切线与直线 垂直．
（1）求 的值；
（2）已知点 是函数 图象上的一点，求点 到直线 的距离的最小值．
【答案】（1）2. （2） ；
【解析】
【分析】（1）求出函数 的导数，利用切线与已知直线垂直求出 的值.
（2）由（1）求出函数 ，平移直线 与曲线相切，求出切点坐标，再利用点到直线距离
求出最小值.
【小问 1 详解】
函数 的定义域为 ，求导得 ，则 ，
由曲线在 处的切线与直线 垂直，得 ，
所以 的值是 2.
【小问 2 详解】
由（1）知， ，平移直线 与函数 的图象相切，设切点为 ，
则切线的斜率 ，解得 ，切点为 ，
所以点 到直线 的距离的最小值为 .
17. 如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ，点 为线段 上靠近 的三等分点．
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（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 和平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合余弦定理，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角的余弦值.
【小问 1 详解】
在四棱锥 中， ，
由余弦定理，得 ，
则 ，而 ，则 ， ，
由 平面 平面 ，得 ，又 平面 ，
因此 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）知，直线 两两垂直，以 原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐
标系，
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则 ， ，
显然平面 的一个法向量 ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 和平面 夹角 ， ，
所以平面 和平面 夹角的余弦值 .
18. 已知正项数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ．求证： ．
【答案】（1）
（2）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）由 与 的关系，及等差数列通项公式即可求；
（2）由（1）求出 ，利用裂项相消法求 ，即可证明.
【小问 1 详解】
由题意，当 时， ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，
由 得 ，
两式相减得 ，
整理得 ，因为 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 6，公差为 4 的等差数列，
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所以 .
【小问 2 详解】
由（1）可知， ，
所以 ，
所以
.
因为 ， 所以 ，
所以 ，即 .
19. 已知双曲线 为双曲线 的左、右焦点，渐近线方程为 ，
点 为双曲线在第一象限上的一点，且 的面积为 ．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2） 、 为双曲线 的左右顶点，直线 上一点 ，以 为圆心，半径为 的圆与直线 交于
两点，直线 、 与双曲线 分别交于另一点 、 ．
①证明： 为定值；
②探究：直线 是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）
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（2）①证明见解析；②直线 恒过定点 ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由渐近线方程得到 ，再由余弦定理、三角形面积公式及双曲线的定义得到方程组，
求出 ， ，即可得解；
（2）①设 ，即可表示出 、 的坐标，再由斜率公式计算可得；②设直线 的方程为
， ， ，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，根据 ，
求出 、 的关系，即可得解.
【小问 1 详解】
双曲线 的渐近线为 ，
设 ，由渐近线方程为 ，所以 ，则 ，
由 ，在 中由余弦定理可得 ，
又点 为双曲线在第一象限上的一点，所以 ，
即 ，所以 ，
又 的面积为 ，即 ，所以 ，
又 ，解得 ， ，
所以双曲线方程为 ；
【小问 2 详解】
①由（1）可得 、 ，
设 ，则 ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 为定值 ；
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②直线 恒过定点 ，理由如下：
设 ， ，显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 ，可得 ，
显然 且 ，则 ， ，
所以 ，
又 ，
，
所以 ，即 ，所以 ，
即直线 的方程为 ，所以直线恒过点 .
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再
根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
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