湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：2025 年 1 月 16 日 15:00-17:00 时长：120 分钟
试卷满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知直线 与直线 相互垂直，则实数 a 的值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据两条直线垂直的结论即可求解.
【详解】因为直线 与直线 相互垂直，
所以 ，解得 .
故选：A.
2. 圆 与圆 的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含
【答案】C
【解析】
【分析】求出两圆圆心距，结合圆与圆的位置关系可得出结论.
【详解】圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
两圆的圆心距为 ，所以 ，所以两圆的位置关系为外切.
故选：C.
3. 为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为 0.8，现采用
随机模拟的方法估计该树苗种植 3 棵恰好 3 棵都成活的概率.先由计算机产生 1 到 5 之间取整数值的随机数，
指定 1 至 4 的数字代表成活，5 代表不成活，再以每 3 个随机数为一组代表 3 次种植的结果.经计算机随机
模拟产生如下 20 组随机数：
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.据此估计，该树
苗种植 3 棵恰好 3 棵都成活的概率为（ ）
A. 0.45 B. 0.5 C. 0.512 D. 0.55
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意利用古典概型求解概率即可.
【详解】由题意得共有 20 组随机数，分别为 ，
，
恰好 3 棵都成活的随机数有： 共 10 个，
故估计种植 3 棵恰好 3 棵都成活的概率为： ，故 B 正确.
故选：B
4. 已知 是过抛物线 的焦点的弦，若 ，则 中点的横坐标为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的焦点弦长公式，即可求得线段 的中点的横坐标，得到答案.
【详解】设 ，由已知 ，
由焦半径公式可得
所以 ，所以 .
故选：B.
5. 已知数列 的首项 ，且满足 ，则 （ ）
A. 63 B. 32 C. 31 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】根据递推公式可证明 是等比数列，求得其通项公式可求 .
【详解】由 可得 ，且 ，
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所以 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
故 ，则 .
故选：C
6. 在空间直角坐标系中，有 ， ， 三点，则点 C 到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出 与 的坐标，再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解．
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以点 C 到直线 的距离为 .
故选：D.
7. 已知圆 ，直线 ，若直线 l 被圆 C 截得的
弦长的最大值为 a，最小值为 b，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线 所过定点，再借助圆的弦长公式求出最长弦与最短弦即可得解.
【详解】圆 圆心 ，半径 ，
直线 l 为 ，由 得 l 恒过定点 ，
当 l 过圆心 C 时，截得弦长最大为直径，即 ，
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当 时，截得弦长最短，而 ，则 ，
所以 .
故选：D
8. 如图，椭圆 ，双曲线与 ， 与 有共同的
焦点 ， ，它们在第一象限的交点为 P，且 ，若 的离心率 ，则 的离心率
（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 利 用 余 弦 定 理 与 椭 圆 与 双 曲 线 的 定 义 可 得
，可求 的值.
【详解】设 ，则 ，故 .
由题意，椭圆、双曲线半焦距为 c，故 ，
在 中，令 ， ，则 ，故 ，
由余弦定理得： ，
即 ，
两边同除以 并整理得： ，
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把 ， 代入求得 ，
故选：A.
【点睛】方法点睛：利用椭圆与双曲线定义结合余弦定理可求得 的关系式可求解.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 柜子里有 2 双不同的鞋，从中随机地一次性取出 2 只，记事件 A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件 B＝“取
出的鞋都是一只脚的”，事件 C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的
是（ ）
A. 该试验的样本空间共有 6 个样本点
B. 事件 A 与事件 C 互为对立事件
C.
D 事件 B 与事件 C 相互独立
【答案】AC
【解析】
【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可.
【详解】记两双鞋子分别为 ， ， ， ，则 ，
， ， ，则 ，故 A 正确；
A 与 C 互斥但不对立；故 B 错误；
，故 C 正确；
，
所以事件 B 与事件 C 不相互独立，故 D 错误.
故选：AC.
10. 如图，在四面体 中，设 ， ， ，下列条件能证明 的是（ ）
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A
B. ， ，
C. ，
D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】依题意要证 ，即证 ，结合数量积的运算律判断 A、C、D，将
四面体放入长方体中，即可判断 B.
【详解】因为 ，
要证 ，即证 .
对 A 选项：由 ，则 ，所以 成立，故 A 正确.
对 B 选项：将四面体 放入长方体中，使 与 ， 与 ， 与 分别为相对面的
对角线长，
显然 与 不一定垂直，如图长方体的底面不为正方形时 与 不垂直，故 B 错误.
对 C 选项：因为 ， ，
即 和 ，平方得 ， ，
即 和 ，
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所以 ，所以 ，
即 ，故 C 正确.
对 D 选项：由 得 ，即 ①，
由 得 ，即 ②，
由①②得 ，所以 ，即 ，故 D 正确.
故选：ACD
11. 若等差数列 的前 n 项和为 ，首项为 ，公差为 d，设 ， ，且 ，则下
列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则当且仅当 时， 有最大值
B. 若 ，则当且仅当 时，数列 的前 n 项和 有最大值
C. 若 ，则 的取值范围为
D. 若函数 的对称轴方程为 ，则 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意可判断出数列 中各项的符号，即可得 A 正确，再根据 的表达式可判断 B 正确，
利用不等关系计算可得 ，可知 C 错误，由等差数列前 n 项和的函数性质可判断 D 正确.
【详解】对 A 选项， ， ，则 ，所以当且仅当 时， 有最大值，A 正确；
对 B 选项： ， ，则 ，
， 且 ，
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当且仅当 时，数列 的前 n 项和 有最大值，B 正确；
对 C 选项： ， ，且 ， ，
所以 ，则 ，C 错误；
对 D 选项：由已知可得 ， ，且 ， ，
所以 ，而 ，故 ，即 D 正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知等比数列 的前 n 项和为 ，满足 ， ，则 __________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用给定条件计算出公比，再利用公式法求和即可.
【详解】设公比为 ，因为 ，所以 ，
故 ，得到 的公比 ，所以 .
故答案为：2
13. 如图，两条异面直线 m，n 所成的角为 ，在直线 m，n 上分别取点 A，M 和 B，N，使 且
.已知 ， ， ，则线段 的长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量运算来求得正确答案.
【详解】设 ， ，
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由于两条异面直线 所成角为 ，
且 且 ，则 与 的夹角为 或 ，
，
即 ，
，
则 ，所以 ，
所以 （负根舍去）.
故答案为：
14. 已知双曲线 的两个焦点分别为 ， （ 在 上方），A，B 都在双曲线
C 的下支上， 是正三角形，点 到直线 的距离为 ，则双曲线 C 的实轴长的取值范围是
__________.
【答案】
【解析】
【分析】先由双曲线及正三角形的对称性可得 关于 轴对称，从而推出直线 的斜率，再与渐近
线斜率进行比较建立关于 的不等式关系，再由点 到直线 的距离可求出 的值，再结合
进行转换即可求出 的取值范围，进而求出实轴长取值范围.
【详解】假设点 A 在 y 轴左侧，由双曲线及正三角形的对称性可得 关于 y 轴对称，
所以直线 的倾斜角为 ，斜率为 ，直线 与双曲线 C 的下支有交点，
所以 ，得 .
因为 ，所以点 到直线 的距离为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，即 C 的实轴长的取值范围是 .
故答案为： .
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【点睛】关键点点睛：求实轴长取值范围关键是找到关于 的方程和建立关于 的不等式关系，进而求得范
围.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知椭圆 的短轴长为 2，且过点 .
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若经过椭圆 C 的右焦点 作倾斜角为 的直线 l，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，
求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知易求得 ，将 代入椭圆方程可求得 ，可求椭圆 C 的方程；
（2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得 ， ，进而利用
弦长公式求得弦长 ，利用点到直线的距离公式求得三角形 边上的高，可求面积.
【小问 1 详解】
由椭圆的定义，可知 ，得 ，
将点 代入 ，得 ，
所以椭圆 C 的标准方程为 .
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【小问 2 详解】
由已知可得椭圆的右焦点为 ，直线 l 的方程为 ，
联立椭圆方程，得 ， ，
设 ， ，所以 ， ，
则 ，
点 到直线 的距离 ，
故 .
16. 甲、乙两名同学组成“梦队”与 AI 人工智能进行比赛.每轮比赛均由甲、乙分别与 AI 挑战一次，已知甲
每次挑战成功的概率为 ，乙每次挑战成功的概率为 .在每轮比赛中，甲和乙成功与否互不影响，
各轮结果也互不影响.“梦队”在两轮比赛中挑战成功 4 次的概率为 .
（1）求 P 的值；
（2）求“梦队”在两轮比赛中，挑战成功至少 2 次的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分步乘法计数原理求解即可.
（2）利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可.
【小问 1 详解】
设 ， ， 分别表示甲两轮挑战成功的次数分别为 0，1，2 的事件，
， ， 分别表示乙两轮挑战成功的次数分别为 0，1，2 的事件，
则 ， ，
， ， ， .
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设“梦队”在两轮比赛中挑战成功 4 次为事件 ，
则 ，解得 （舍去负根）.
【小问 2 详解】
由（1）知 ， ， ，
设“梦队”在两轮比赛中挑战成功至少 2 次为事件 D，
则 .
17. 在四棱锥 中，侧面 是边长为 2 的正三角形，M 是 的中点，底面 为矩形，
且侧面 底面 ， 与平面 所成角的正切值为 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质定理得 平面 ，从而得 ，然后由线面垂直的判定定理
证明线面垂直；（2）取 中点 O，连接 ，证明 平面 ，以 O 为原点，过 O 平行于 的
直线为 x 轴， ， 为 y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由二面角的空间向量法求得余弦值．
【小问 1 详解】
因为底面 为矩形，则 ，
又因为侧面 底面 ，侧面 底面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
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又侧面 为正三角形，M 是 的中点，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
取 中点 O，连接 ，则 ，
又因为侧面 底面 ，侧面 底面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
以 O 为原点，过 O 平行于 的直线为 x 轴， ， 为 y，z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ，
则 ， ，
平面 的一个法向量是 ，
因为 与平面 所成角的正切值为 ，所以其正弦值为 ，
所以 ，解得 ，
， .
设平面 的一个法向量是 ，
则 ，取 ，则 ， ，
所以 为平面 的一个法向量，
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， ， ， ，
设平面 的一个法向量是 ，
则 ，取 ，则 ， ，
所以 为平面 的一个法向量，
，
设平面 与平面 所成夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 所成夹角的余弦值为 .
18. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ， ， .
（1）求 和 的值，再猜想数列 的通项公式，并证明；
（2）求数列 的前 n 项和 ；
（3）若数列 满足 ，求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1） ， ，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出数列中项的值，再利用等差中项判断数列类型，求解通项公式即可.
（2）对给定数列分类讨论，去掉绝对值后利用等差数列求和公式求解即可.
（3）利用错位相减法求和即可
【小问 1 详解】
，
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令 得 ，令 得 ，
猜想数列 的通项公式为 ，证明如下：
由 ，移项得 ，
即 ，故数列 为等差数列，
又 ， ，故公差 ，
因此，数列 的通项公式为 .
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
当 时， ，故 .
当 时， ，故
，
综上所述， .
小问 3 详解】
由题意得 ，
故 （1）,
两边乘以 2 得： （2），
（1）－（2）得
所以 .
19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 表示过点 的直线，直
线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线
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都是该直线族中的某条直线.
（1）若圆 是直线族 的包络曲线，求 的取值范围；
（2）对于给定的实数 ，若点 不在直线族 的任意一
条直线上，求 的取值范围（用 表示）和直线族 的包络曲线 ；
（3）在（2）的条件下，过曲线 上任意两点 A，B 分别作曲线 的切线 ， ，其交点为 P.已知点
，探究 是否总成立？请说明理由.
【答案】（1）
（2） ，
（3）成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）圆心到直线的距离为 ，所以 .，根据设 ， ，其
中 为参数，则得到答案.
（2）易知方程 无解，根据判别式可得 ，证明可得直线族 的包络
曲线 为 ；
（3）求出 两点处曲线 的切线 的方程，解得 ，根据平面向量夹角的表达式即可
得 ，即 ；
【小问 1 详解】
有已知得圆心到直线的距离为 ，所以 .
设 ， ，其中 为参数，则
【小问 2 详解】
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点 不在直线族 的任意一条直线上，所以无论 m 取何值时，
无解.
即 .
若该方程无解，则 ，即 .
所以对于给定的实数 ， 的取值范围为 ，
直线族 的包络曲线 为 .
证明如下：在 上任取一点 ，
设 在 A 点处的切线方程为 ，
与 联立得 ，
由相切得 ，即 ，则 ，（此处已经学过导数的可以直接用导数）
故 在 A 处的切线方程为 ，
即 .在直线族 中，
令 ，则 ，即 与 完全等价，
所以直线族中的每一条直线都是抛物线 的切线，抛物线的每一条切线都是该直线族中的某条直线，
所以该曲线上的每一点处的切线都是直线族 的直线.直线族 的包络曲线 为 .
【小问 3 详解】
已知 ，设 ， ，
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则 ， ， ， .
由（2）知 在点 处的切线方程为 .
同理 在点 处的切线方程为 ，
联立 可得 ，所以 .
因此
，同理 .
所以 ，
，即 ，可得 ，
所以 成立.
【点睛】关键点点睛：利用向量夹角的坐标表示是探究第 3 问的关键.
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