湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了 已知函数 且 且 ，， 下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题单位：恩施州高中教育联盟咸丰一中 命题人：杨金煜 谢勇 谢辉
考试满分：150 分 考试用时：120 分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出两个集合后可求它们的交集.
【详解】 ，故 ，
故选：C.
2. 设命题 ，则 的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由全称命题的否定即可得解.
【详解】因为命题 为全称命题，
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所以该命题的否定为 .
故选：B.
3. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断充分性，举例说明判断必要性，进而求解.
【详解】由 ，得 ，所以充分性成立；
当 时，满足 ，但不满足 ，所以必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式的解集得出 关系，再解分式不等式即可.
【详解】由不等式 的解集为 ，
可得 ， ，即 ，
所以不等式 可化为 ，即 ，
所以可得 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 ，
故选：C
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5. 已知函数 ，则函数 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案.
【详解】 ，所以 AD 选项错误，
，所以 C 选项错误.
综上所述，B 选项正确.
故选：B
6. 当生物死亡后，机体内原有的碳 14 含量会按确定的比率（称为衰减率）衰减，大约每经过 5730 年衰减
为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.如果 是某生物刚死亡时机体内碳 14 的质量，那么经过 年后，
其机体内碳 14 所剩的质量 .考古学家经常利用生物机体内碳 14 的含量来推断古生物死亡
的大致时间.现考古发现某生物机体内碳 14 的含量是刚死亡时的 ，根据以上知识推断该生物的死亡时间
距今约（ ）（参考数据： ， ）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】C
【解析】
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【分析】由生物机体内碳 14 所剩的质量 ，生物机体内碳 14 的含量是刚死亡时的 ，
列出方程 ，利用对数运算求出 .
【详解】因为生物机体内碳 14 所剩的质量 ，且生物机体内碳 14 的含量是刚死亡时的 ，
则 ，所以 ，则 ，
则 ，又 ，
又 ， ，
所以 ，
解得 ，
所以该生物的死亡时间距今约 年.
故选：C.
7. 已知函数 的定义域为 ， ，当 时，恒有 .若
，则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析条件可得 为奇函数且 为 上的增函数，根据奇函数可得 ，结合自变量
的大小可得答案.
【详解】令 ，则 ，∴ .
令 ，则 ，∴ ，故 为奇函数.
当 时， ，
∵当 时，恒有 ，
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∴ ，即 ，
∴ 为 上的增函数.
∵ ，且 ，
∴ ，即 .
故选：B.
8. 已知函数 且 且 ，
，则实数 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件构造新函数 得到它在 上是增函数，再利用分段函数的
单调性列式求解即可.
【详解】因为 且 ，
不妨设 ，则 ，
则 ，
所以 ，
令函数
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则 为 上的增函数，则
解得 .
故选：D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若扇形的圆心角为 ，弧长为 ，则该扇形的面积为
C. 若 是第二象限角，则 是第一或第四象限角
D. 若 ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数值、扇形面积、象限角、同角三角函数的基本关系式等知识对选项进行分析，从而
确定正确答案.
【详解】A 选项， ，
所以 ，所以 A 选项错误.
B 选项， 对应的弧度为 ，所以扇形的半径为 ，
所以扇形的面积为 ，所以 B 选项正确.
C 选项， 是第二象限角，则 ， ，
所以 是第一或第三象限角，C 选项错误.
D 选项，若 ，两边平方可得：
由于 ，所以 ，即 或 。
当 时， ，此时 ，
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当 时， ，此时 ，
综上，若 ，则 （ ），
所以 D 选项正确.
故选：BD
10. 已知函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A
B. 若方程 有两个不等实根，则
C. 若方程 有四个不等实根 ，则
D. 方程 所有实数根的和为 10
【答案】ACD
【解析】
【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解.
【详解】画出函数 的图象，
对于 A，由 的图象可知其关于直线 对称，
所以 ，故 A 选项正确；
对于 B，如图 1，当方程 有两个不等实根时， 或 ，故 B 选项错误.
对于 C，若方程 有四个不等实根 ，
由前分析知 ，根据对称性可知 ，
而 是方程 的两个不等实根，所以 ，
所以 ，故 C 选项正确.
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对于 D，方程 可化为 ，
则 ，
令 ，则 ，即 的图象关于直线 对称，
由 A 选项知， 的图象也关于直线 对称，而 ，
下面仅讨论当 时两个函数图象公共点的情况：
，
如图 2，当 时，函数 单调递减， 单调递增，所以没有公共点；
当 时，联立 和 ，得 0，
即 ，所以曲线 和 在 上仅有一个公共点；
当 时，联立 和 ，得 （舍去）或
，
所以曲线 和 在 上仅有一个交点；
故 的图象与 的图象在 上有两个公共点，
根据函数对称性， 的图象与 的图象在 上也有两个公共点.
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综上， 的图象与 的图象共有五个公共点，且关于直线 对称，
如图 3，所以方程 所有实数根的和为 10，故 D 选项正确.
故选：ACD.
11. 已知函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则函数 的最小值为 0 B. 若 且 ，则
C. 函数 的图象关于点 中心对称 D. 若 是 的三边，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式判断 AB；利用函数定义域不对称判断 C；利用函数单调性、结合放缩法与作差法
判断 D.
【详解】对于 A，当 时，函数 ，
当且仅当 1，即 时，等号成立，
所以函数 的最小值为 0，故 A 选项正确；
对于 B，由 ，得 ，
即 （当且仅当 4 时，等号成立），故 B 选项正确；
对于 C，由 的定义域为 且 ，可知 的定义域不关于点 对称，
所以函数 的图象不关于点 中心对称，故 C 选项错误；
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对于 D， 在 上单调递增， 是 的三边，
则 ， ，
所以 ，故 D 选项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 函数 称为 Gauss 函数，表示不超过实数 的最大整数，例如： ， .若函
数 ，则 ______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题中定义求出的值，即可求得的值.
【详解】因为 ，
所以 ； ，
.
故答案为： .
13. 已知 是圆心在原点，半径为 2 的圆上一点，点 从 开始，在圆上按逆时针方向做匀速圆周
运动，角速度为 ，则 2s 时点 的坐标为______________.
【答案】
【解析】
【分析】记点 是角 终边上的一点，求出角 ；经过 2s，记点 是角 终边上的一点，根据三
角函数定义，即可求出点 的坐标.
【详解】记点 是角 终边上的一点，
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则 ， ，则 ；
经过 2s，记点 是角 终边上的一点，
由题意 ，
则 ， ，
即点 的坐标为 .
故答案为：
14. 正实数 x，y 满足 ，则 的最小值为______________.
【答案】 ##2.5
【解析】
【分析】构造函数 ，利用单调性可得 ，再利用均值不等式即可求解.
详解】由 ，有 ，
令函数 ，因为 和 都是增函数，则 是增函数，
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）若 ，求 的值；
（2）计算： .
【答案】（1）3；（2）7
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【解析】
【分析】（1）根据对数运算性质先求出 ，再由指数运算法则，即可求出结果；
（2）根据对数运算和指数幂的运算法则，即可求出结果.
【详解】（1） ，
.
（2）原式
.
16. 已知 .
（1）若 ，求 的值；
（2）已知 的三个内角分别为 ，且 ，若 ，求 的
值.
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
（2）利用诱导公式求得正确答案.
【小问 1 详解】
，
因 ，所以 ，
.
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
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因为 的三个内角分别为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 .
17. 已知函数 .
（1）若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围；
（2）当 时，判断函数 在区间 上的零点个数并证明.
【答案】（1）
（2）唯一一个零点，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得 对任意 恒成立；讨论 ， 两种情况，即
可求出结果；
（2）当 时， ，先根据复合函数单调性的判断方法，判断其单调性，
再由零点存在性定理，即可判断出零点个数.
【详解】（1）因为函数 的定义域为 ，
所以 对任意 恒成立；
当 时，不等式可化为 ，解得 ，不符合题意；
当 时，只需 ，
解得 ，
所以实数 取值范围为 .
（2） 在区间 上有唯一一个零点，证明如下：
第 13页/共 18页
当 时， ，
令 ，所以函数 在区间 上单调递增.又因为
在区间 上单调递增，
所以 在区间 上单调递增，
而 ，又 ，所以 ，
因为 ，
又 ，所以 ，
所以 ，结合 在区间 上单调递增.
所以 在区间 上有唯一一个零点.
18. 矩形 的周长为 20，设 .
（1）求矩形 面积的最大值及此时 的值；
（2）当矩形 为正方形时，将矩形 分割成如图 1 所示的四个全等的直角三角形和一个正方形
，若正方形 的边长为 1，求 ；
（3）若 ，如图 2，把矩形 沿某条直线折叠，使得 重合，记为 ，折叠后，折痕与
原矩形边 分别交于点 的面积为 ，求 的最小值.
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【答案】（1）最大值为 25，此时
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式可求最大值；
（2）设 ，根据正余弦的平方关系可求该角的正余弦，故可求正切或者根据勾股定理
可求 的长，从而求得角的正切值；
（3）利用面积差或等积法可得 ，再结合基本不等式可求最小值
【小问 1 详解】
设 ，由题意， ，
所以矩形 的面积 ，当且仅当 时，等号成立，
所以矩形 面积的最大值为 25，此时 .
【小问 2 详解】
设 ，由题意， ，
即 ，又 ，
所以 ，
所以 .
另解：设 ，则 ，
在 中， ，解得 ，
所以 ，
所以 .
【小问 3 详解】
因为 ，所以 ，设 ，
第 15页/共 18页
所以 ，即 ，
易知直线 PQ 过矩形中心，所以梯形 APQD 的面积为 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故 的最小值为 .
另解：因为 ，所以 ，设 ，
所以 ，即 ，
易证 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故 的最小值为 .
19. 中国桥梁建筑的奇迹——四渡河大桥位于湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县，该桥主桥是一座特大单
跨双铰钢桁架加劲梁悬索桥，两座桥墩之间的钢索构成的曲线形态在数学上被称为悬链线，悬链线在建筑
和工程等领域有着广泛的应用.悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝、两根电线
杆之间的电线、横跨深涧的观光索道的电缆等，这类悬链线对应的函数表达式为 是
非零常数，无理数 2.71828…）
（1）当 时，悬链线对应的函数又称为双曲正弦函数，记为 ；当 时，悬链
线对应的函数又称为双曲余弦函数，记为 .求证： ；
（2）若 为偶函数且在 上单调递增，请写出一组符合条件的 a，b 的值，并说明理由；
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（3）在（2）的条件下，关于 的不等式 的解集 ，求
实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2） （答案不唯一），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义计算求证即可；
（2）利用指数函数的单调性及函数单调性的定义求解即可；
（3）利用函数的单调性转化为 ，再由解集为 的子集，列出不等式求解即可.
【小问 1 详解】
证明：由题意， ，
所以 ，
【小问 2 详解】
因为 为偶函数，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 ，
此时 ，任取 且 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
要使 在 上单调递增，则 ，可以取 .（答案不唯一）
【小问 3 详解】
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由（2）可知， ，
所以原不等式可化为 .
又因为 是单调递增的函数，且 ，
所以原不等式可化为 .
由题意， 即 ，
当 时，上式恒成立，即不等式的解集为 ，不符合题意；
当 时，解得 ，即不等式的解集 .
因为 ，所以 ，所以 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义
理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能
力是关键，对能力要求很高.
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