河南中考数学真题汇编 图形的变化 专练

这是一份河南中考数学真题汇编 图形的变化 专练，共21页。

2．（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1．第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D′处，如图3．当点D′恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为 ．
3．（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE=35a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为 ．
二．旋转的性质（共2小题）
4．（2021•河南）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D．将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（ ）
A．（23，0）B．（25，0）C．（23+1，0）D．（25+1，0）
5．（2024•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为 ，最小值为 ．
三．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
6．（2019•河南）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）
四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2024•河南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（ ）
A．12B．1C．43D．2
五．相似形综合题（共1小题）
8．（2019•河南）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α＝60°时，BDCP的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时ADCP的值．
六．解直角三角形的应用（共1小题）
9．（2023•河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共5小题）
10．（2024•河南）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．
（1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB．
（2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：3≈1.73）．
11．（2022•河南）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67）．
12．（2021•河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cs37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．
13．（2020•河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
14．（2019•河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67，3≈1.73）
八．简单几何体的三视图（共2小题）
15．（2023•河南）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三种视图都相同
16．（2020•河南）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）
A．B．C．D．
九．简单组合体的三视图（共3小题）
17．（2024•河南）信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ）
A．B．
C．D．
18．（2021•河南）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
19．（2019•河南）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图相同B．左视图相同
C．俯视图相同D．三种视图都不相同
图形的变化答案
一．翻折变换（折叠问题）（共3小题）
1．解：∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，
∴AD＝AB＝CD＝CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴，
由折叠得FB＝CB，FE＝CE，
设CD交y轴于点G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，则BF＝OG＝m，
∵A（﹣2，0），F（0，6），
∴OA＝GD＝2，OF＝6，
∴OB＝m﹣2，
∵∠BOF＝∠EGF＝90°，
∴OB2+OF2＝BF2，
∴（m﹣2）2+62＝m2，
解得m＝10，
∴AD＝OG＝CD＝10，
∴FG＝10﹣6＝4，FE＝CE＝10﹣2﹣GE＝8﹣GE，
∵GE2+FG2＝FE2，
∴GE2+42＝（8﹣GE）2，
解得GE＝3，
∴E（3，10），
故答案为：（3，10）．
2．解：①点D′恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设A′C交AB边于点E，如图，
由题意：△ADC≌△A′DC≌△A′D′C，A′C垂直平分线段DD′．
则∠D′A′C＝∠DA′C＝∠A＝60°，A′C＝AC＝1．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
∴BC＝AC•tanA＝1×tan60°=3．
AB＝2AC＝2，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CE，
∴CE=32．
∴A′E＝A′C﹣CE＝1−32．
在Rt△A′D′E中，
∵cs∠D′A′E=A′EA′D′，
∴A′EA′D′=12，
∴A′D′＝2A′E＝2−3．
②点D′恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图，
由题意：△ADC≌△A′DC≌△A′D′C，∠ACD＝∠A′CD＝∠A′CD′=13∠ACB＝30°；
则∠D′A′C＝∠DA′C＝∠A＝60°，A′C＝AC＝1．
∵∠D′A′C＝60°，∠A′CD′＝30°，
∴∠A′D′C＝90°，
∴A′D′=12A′C=12×1=12．
综上，线段A′D′的长为：12 或 2−3．
故答案为：12 或 2−3．
3．解：分两种情况：
①当点B′落在AD边上时，如图1．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，
∴∠BAE＝∠B′AE=12∠BAD＝45°，
∴AB＝BE，
∴35a＝1，
∴a=53；
②当点B′落在CD边上时，如图2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．
∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，
∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′=35a，
∴DB′=B′A2−AD2=1−a2，EC＝BC﹣BE＝a−35a=25a．
在△ADB′与△B′CE中，
∠B′AD=∠EB′C=90°−∠AB′D∠D=∠C=90°，
∴△ADB′∽△B′CE，
∴DB′CE=AB′B′E，即1−a225a=135a，
解得a1=53，a2=−53（舍去）．
综上，所求a的值为53或53．
故答案为53或53．
二．旋转的性质（共2小题）
4．解：延长A′D′交y轴于点E，延长D′A′，由题意D′A′的延长线经过点C，如图，
∵A（1，2），
∴AD＝1，OD＝2，
∴OA=AD2+OD2=12+22=5．
由题意：△OA′D′≌△OAD，
∴A′D′＝AD＝1，OA′＝OA=5，OD′＝OD＝2，∠A′D′O＝∠ADO＝90°，∠A′OD′＝∠DOD′．
则OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，
∴△A′OE为等腰三角形．
∴OE＝OA′=5，ED′＝A′D′＝1．
∵EO⊥OC，OD′⊥EC，
∴△OED′∽△CEO．
∴ED′OD′=EOOC．
∴12=5OC．
∴OC＝25．
∴C（25，0）．
故选：B．
5．解：∵BE⊥AE，
∴∠BEA＝90°，
∴点E是在以AB为直径的圆上运动，
∵CD＝1，且CD是绕点C旋转，
∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，
∵AB=2AC＝32，
∴当cs∠BAE最大时，AE最大，当cs∠BAE最小时，AE最小．
①如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最大，
∵∠ADC＝∠CDE＝90°，
∴AD=AC2−CD2=22，
∵AC=AC，
∴∠CEA＝∠CBA＝45°，
∴DE＝CD＝1，
此时AE＝22+1，即AE的最大值为22+1，
②如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最大，AE最小，
同理可得AD＝22，DE＝1，
此时AE＝22−1，即AE的最小值为22−1，
故答案为：22+1；22−1．
三．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
6．解：∵A（﹣3，4），B（3，4），
∴AB＝3+3＝6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝6，
∴D（﹣3，10），
∵70＝4×17+2，
∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，
∴点D的坐标为（3，﹣10）．
故选：D．
四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=12AC，
∵点E为OC的中点，
∴CE=12OC=14AC，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CEAC，即EF4=14，
∴EF＝1，
故选：B．
五．相似形综合题（共1小题）
8．解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
∵∠PAD＝∠CAB＝60°，
∴∠CAP＝∠BAD，
∵CA＝BA，PA＝DA，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠CAO＝60°，
∴BDPC=1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，
故答案为1，60°．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
∵∠PAD＝∠CAB＝45°，
∴∠PAC＝∠DAB，
∵ABAC=ADAP=2，
∴△DAB∽△PAC，
∴∠PCA＝∠DBA，BDPC=ABAC=2，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠OAB＝45°，
∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
∵CE＝EA，CF＝FB，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC＝45°，
∵∠PAO＝45°，
∴∠PAO＝∠OFH，
∵∠POA＝∠FOH，
∴∠H＝∠APO，
∵∠APC＝90°，EA＝EC，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，
∴∠H＝∠BAH，
∴BH＝BA，
∵∠ADP＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AH，
∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，D，C，B四点共圆，
∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，
∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD=22a，
∴ADCP=aa+22a=2−2．
解法二：在Rt△PAD中，∵E是AC的中点，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPC＝∠ECP，
∵∠CEF＝45°＝∠EPC+∠ECP，
∴∠EPC＝∠ECP＝22.5°，
∵∠PDA＝45°＝∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC＝22.5°，
∴AD＝DC，
设PD＝a，则AD＝DC=2a，
∴ADCP=2aa+2a=2−2
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD=22a，
∴PC＝a−22a，
∴ADPC=aa−22a=2+2．
六．解直角三角形的应用（共1小题）
9．（2023•河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
【分析】由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，易知∠EAF＝∠BAH，可得tan∠EAF=EFAF=tan∠BAH=23，进而求得EF=223m，利用EG＝EF+FG即可求解．
解：由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，
则∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°，
∴∠EAF＝∠BAH，
∵AB＝30cm，BH＝20cm，
则tan∠EAF=BHAB=23，
∴tan∠EAF=EFAF=tan∠BAH=23，
∵AF＝11m，
则EF11=23，
∴EF=223，
∴EG＝EF+FG=223+1.8≈9.1m．
答：树EG的高度约为9.1m．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共5小题）
10．（1）证明：如图，设AD与圆交于M，
连接BM．
则∠AMB＝∠APB．
∵∠AMB＞∠ADB，
∴∠APB＞∠ADB；
（2）解：∵∠APH＝60°，PH＝6m，
∵tan∠APH=AHPH，
∴AH=PH⋅tan60°=6×3=63（m），
∵∠APB＝30°，
∴∠BPH＝∠APH﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，
∵tan∠BPH=BHPH，
∴BH=PH⋅tan30°=6×33=23（m），
∴AB=AH−BH=63−23=43≈4×1.73≈6.9(m)，
答：塑像AB的高约为6.9m．
11．解：延长EF交DC于点H，
由题意得：
∠DHF＝90°，EF＝AB＝15米，CH＝BF＝AE＝1.5米，
设FH＝x米，
∴EH＝EF+FH＝（15+x）米，
在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，
∴DH＝FH•tan45°＝x（米），
在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，
∴tan34°=DHEH=xx+15≈0.67，
∴x≈30.5，
经检验：x≈30.5是原方程的根，
∴DC＝DH+CH＝30.5+1.5≈32（米），
∴拂云阁DC的高度约为32米．
12．解：根据题意可知：∠DAB＝45°，
∴BD＝AD，
在Rt△ADC中，DC＝BD﹣BC＝（AD﹣4）m，∠DAC＝37.5°，
∵tan∠DAC=DCAD，
∴tan37.5°=AD−4AD≈0.77，
解得AD≈17.4m，
∴BD＝AD≈17.4m，
答：佛像的高度约为17.4 m．
13．解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝16+x，
∵∠ABE＝22°，
∴AE＝BE•tan22°，即x＝（16+x）×0.40，
∴x≈10.7（m），
∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；
（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，
∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3（m），
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
14．解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55m，
∴tan∠CAE=CEAC，
∴AC=CEtan34°=550.67≈82.1m，
∵AB＝21m，
∴BC＝AC﹣AB＝61.1m，
在Rt△BCD中，tan60°=CDBC=3，
∴CD=3BC≈1.73×61.1≈105.7m，
∴DE＝CD﹣EC＝105.7﹣55≈51m，
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．
八．简单几何体的三视图（共2小题）
15．解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
16．解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意；
B、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；
C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；
D、主视图是长方形，左视图是可能是正方形，也可能是长方形，故本选项符合题意；
故选：D．
九．简单组合体的三视图（共3小题）
17．解：这个茶叶盒的主视图为：
故选：A．
18．解：该几何体的主视图有三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的．
故选：A．
19．解：图①的三视图为：
图②的三视图为：
故选：C．
题号
4
6
7
15
16
17
18
19
答案
B
D
B
A
D
A
A
C