第7章 幂的运算 章节测试卷2024-2025学年苏科版（2024）七年级数学下册

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2024-2025学年苏科版（2024）七年级下学期第7章 幂的运算 章节测试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一．选择题：（本大题共8题，每题3分，满分24分）1．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查利用科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键；本题是绝对值小于的数，然后可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，然后即可求解．【详解】解：，故选：D；2．计算的值等于（   ）A．4 B． C．5 D．【答案】A【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．先逆用同底数幂相乘将化成，再逆用积的乘方法则计算，即可求解．【详解】解：．故选：A．3．下列各式运算正确的是（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可得到答案．【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意；B、，故该项正确，符合题意；C、，故该项不正确，不符合题意；D、，故该项不正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．已知，求的值是（   ）A．9 B．8 C．6 D．5【答案】A【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方法则和同底数幂的除法法则，进行计算即可．【详解】解：∵，∴；故选A．5．已知，则a，b，c按从小到大的顺序排列是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了负整数指数幂，乘方的运算，据此相关性质内容先化简，再结合有理数的大小比较，进行作答即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故选：C．6．观察下列单项式：按此规律，第n个单项式是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由各单项式的系数和字母因数的规律，即可求解．本题主要考查了单项式规律题，解题的关键是：找到各单项式的系数和字母因数的规律．【详解】解：各单项式的系数为，，，，，，第个单项式系数为，各单项式字母因数为，，，，，，第个单项式字母因数为，第个单项式为，故选：A．7．的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了有理数的大小比较和幂的乘方，先根据幂的乘方进行变形，再比较即可，能正确根据幂的乘方进行变形是解题的关键．【详解】解：，，，∵，∴，∴，故选：B．8．《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查数字类规律探究，根据，得到，利用进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴；故选B．第Ⅱ卷二．填空题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）9．计算： ．【答案】32//【分析】本题考查了幂的运算，逆用同底数幂相乘法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．10．已知，，，为正整数，则 ．【答案】【分析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方知识的逆运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．逆运用同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方知识进行求解．【详解】解：∵，∴，即，，又∵，∴原式，故答案为：．11．如果成立，则 ．【答案】2或【分析】本题考查的是零指数幂、有理数的乘方，根据零指数幂、有理数的乘方计算即可，熟记是解题的关键．【详解】解：当即时，，当即时，，综上所述：或时，故答案为：或．12．已知是正整数，若，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，解一元一次方程，先由合并同类项和幂的乘方法则得，然后转化为一元一次方程，再解方程即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．13．若，则的值是 ．【答案】【分析】本题考查了积的乘方公式逆用，熟悉掌握运算法则是解题的关键．由可推出，得到，运算求解即可．【详解】解：∵∴∴∴解得：故答案为：14．若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ．【答案】【分析】本题考查幂的运算，根据已知条件得到，进而得到，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故答案为：．15．若am=20，bn=20，ab=20，则= ．【答案】1【分析】先根据可得，再结合可得，由此结合可得，由此可得，进而可求得答案．【详解】解：∵，∴，即，∵，∴，∴，又∵，∴，，∴，∴，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键．16．观察下列等式：…现有一组数：，如果，那么这组数据的和为 （用含S的代数式表示）．【答案】【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用该规律计算是解题的关键．通过观察，然后根据题中所给规律可进行求解．【详解】解：由…..；可知：；∵，∴；故答案为．17．我们定义：三角形，四边形；若，则 ．【答案】【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式．【详解】解：，，．故答案为： ．18．阅读材料，回答下列问题：材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即：．材料二：等式成立试求：（1） ．（2） ．【答案】 220 333300【分析】（1）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案；（2）先利用将变形为，再利用进行计算即可得到答案．【详解】解：（1），，原式，故答案为：220；（2），，原式，故答案为：333300．【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键．三．解答题：（本大题共10题，19-23题每题8分，24-26题每题10分，27-28题每题12分，满分96分）19．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键；（1）根据同底数幂的乘法法则、积的乘方运算法则计算，最后合并同类项即可；（2）根据幂的乘方以及积的乘方运算法则计算即可；（3）根据积的乘方以及幂的乘方运算法则计算即可；（4）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算，最后合并同类项即可【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．20．计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；（2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；（3）根据多项式乘以多项式的法则计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）原式．21．解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方法则是解答本题的关键．（1）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则变形，得出关于x的一元一次方程求解；（2）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则变形，得出关于x的一元一次方程求解．【详解】（1）解：原方程可化为，整理，得，所以，解得．（2）解：原方程可化为，整理，得，即，所以，解得．22．已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法的运算：（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可；（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴.23．已知，(1)求的值；(2)试说明：．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题主要考查同底数幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）逆用同底数幂的乘除法运算法则进行计算即可；（2）逆用同底数幂的乘除法运算法则得，故可得结论．【详解】（1）解：（2）解：因为，所以，所以．24．解答下列问题：(1)若，求的值；(2)已知为正整数，且，求的值；(3)若，，用含的代数式表示．【答案】(1)27；(2)32；(3)．【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解此题的关键．（1）由题意可得，再将式子变形为，整体代入计算即可得解；（2）将式子变形为，整体代入计算即可得解；（3）由题意可得，代入计算即可得解．【详解】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴；（3）解：∵，，∴，∴．25．若am=an(a>0且a≠1,m,n是正整数)，则m=n.你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗?试试看，相信你一定行!①如果2×8x×16x=222，求x的值；②如果(27−x)2=38，求x的值．【答案】（1）3；（2）−.【分析】首先分析题意，分析结论的使用条件即只须有am=an（a>0且a≠1，m，n是正整数），可知m=n，即指数相等，然后在解题中应用即可．【详解】(1)∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，∴1+3x+4x=22，解得，x=3；故答案为3.(2)∵(27−x)2=3−6x=38，∴−6x=8，解得x=−；故答案为−.【点睛】此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题关键在于掌握运算法则.26．阅读下列材料，回答问题．下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较和的大小．当时，，即当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．解：，，，，．即指数相同时，底数越大值越大．(1)比较和的大小；(2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“【分析】本题主要考查了实数的大小比较以及乘方的运用，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则．（1）先把底数9写成底数是3的幂，然后比较指数的大小，从而比较这两个数的大小；（2）先逆用幂的乘方法则，把幂写成指数相同的幂，然后根据底数越大，幂就越大，进行比较即可．【详解】（1）解：（1）∵，∴，∴；（2）解：∵， 又，∴，即∴，故答案为：．27．【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作．【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ；【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有，例如．（2）小明发现也成立，并证明如下设：，则因为，所以，所以，根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程．（3）猜想，并说明理由．【答案】（1）3，0；（2）42；（3）2，理由见解析【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键．（1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可；（2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可；（3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可．【详解】解：（1），，，，故答案为：3，0；（2）设：，则，，，，故答案为：42；（3）猜想，理由如下：设：，则，，，．故答案为：2．28．阅读材料．对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下：设，，则，，∴，由对数的定义，得，又∵，∴．请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题．(1)将指数式转化为对数式为 ．(2)计算： ．(3)求证：（，，，）．(4)直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)见解析(4)【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系；（1）根据对数式的定义转化即可；（2）根据对数式的定义进行计算，即可求解；（3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论；（4）根据公式：和的逆用，计算可得结论．【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为，故答案为：．（2）解：∵，∴（3）证明：设，，则，，∴，由对数的定义得，又∵，∴；（4）