河南省洛阳市部分学校2025届高三上学期1月质量检测数学试题

这是一份河南省洛阳市部分学校2025届高三上学期1月质量检测数学试题，共11页。试卷主要包含了已知钝角调足，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则（ ）
A．1B．2C．2D．5
2．已知命题：“是的充分不必要条件”；命题：“”．则下列正确的是（ ）
A．和都是假命题B．和都是假命题
C．和都是假命题D．和都是假命题
3．已知函数为奇函数，则（ ）
A．B．1C．2D．3
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知装满水的无盖圆柱容器的底面圆周的半径为，高为，圆柱的侧面积为，在圆柱里面放入两个半径为的铁球，则圆柱中剩余水的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知钝角调足，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线与的斜率之和为2，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．4
8．已知函数的定义域为，当时，；且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．互不相等的一组样本数据成等差数列，公差为，则下列选项中正确的是（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的上四分位数和下四分位数之差为
C．从这5个数中任选3个数，这3个数成等差数列的概率为
D．若的标准差为2，可得
10．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的单调递增区间为
C．函数的图象和函数的图象关于直线对称
D．若将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，可得
11．已知函数，则（ ）
A．当时，函数在上单调递减
B．当时，，使得
C．当时，，使得
D．当时，若函数在上的最小值小于，可得的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知过原点的直线与圆相交于两点，若，则直线的方程为_________．
13．在中，内角所对的边分别为，若的面积与的外接圆的面积之比为，则_________．
14．在中，为的中点，为的中点，过点作一直线分别与边相交于两点，设，则的最小值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知是函数的极值点．
（1）求函数在区间上的值域；
（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，,,．为上的动点，且满足．
（1）当时，证明：；
（2）记平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，若，求的值．
17．（本小题满分15分）
为庆祝新中国成立75周年，国庆长假期间，某小型景区对游客开展抽奖免门票活动．活动规则如下：盒子里有5个一模一样的小球，只有一个小球上写着免门票．游客从盒子里摸出一个小球，若该小球上写有免门票，则景区免掉该游客的门票．然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽奖．
（1）小王家一共有4口人来到该景区旅游，记这4人中免门票的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差；
（2）当小王选好一个小球后（此时小王还不知道小球上是否写着免门票），景区工作人员（他知道小球上是否写着免门票）会从盒子里取出一个没有写着免门票的小球给小王看，此后小王选择是否重新从盒子里余下的球中摸出一个球换取开始选好的球，再看是否能免门票．请问小王作出哪种选择更容易免门票？请说明理由．
18．（本小题满分17分）
已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，焦距为4．过点的直线与双曲线相交于两点，点关于轴对称的点为点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）证明：直线过定点；
（3）若直线的斜率为，求直线的方程．
19．（本小题满分17分）
定义：设为数列，为定值，若对任意给的正数，总存在正整数，使得当时，都有，则称数列收敛于，定值称为数列的极限，并记作，读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于”．
例如，设，对任意给的正数，取为比大的正整数，有，可得当时，有，可得．
已知数列满足，且当'时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求；
（3）求和．
2025届高三第一学期1月质量检测·数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．AC 10．ACD 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．【答案】（1）（2）
【解析】（1）由，
又由是函数的极值点，有，可得，有，
有，令，有或，可得函数的减区间为，增区间为，，
又由，
又由函数的图象可知，函数在区间上的值域为；
（2）由函数的减区间为，增区间为，
又由，
若函数有3个零点，则实数的取值范围为．
16．【答案】（1）详见解析（2）
【解析】（1）∵，∴，
∵，∴，，
∵，∴是等边三角形，
∵，∴，
∵，是等边三角形，∴，
∵平面，平面，∴，
∵，平面，∴平面，
∵平面平面，∴；
（2）因为平面，以为坐标原点，向量方向分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
有，
由，有，
由，可得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，由，
有，取，可得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，由，
有，取，可得平面的一个法向量为，
又由，，有，
又由，有，
又由，有，解得．
17．【答案】（1）分布列见解析，（2）小王重新摸球后更容易免门票，理由见解析
【解析】（1）的取值可能为0，1，2，3，4，由，
有，，
，，
，
随机变量的分布列为：
有；
（2）小王不重新摸球免门票的概率为，
设这5个球分别记为，小球上面写有免门票，
若小王开始摸到小球，小王换球免门票的概率为0；若小王开始摸到小球或或或，小王换球免门票的概率为．可得小王换球后免门票的概率为，
又由，可知小王重新摸球后更容易免门票．
18．【答案】（1） （2）详见解析 （3）或
【解析】（1）设双曲线的焦距为，
由题意有，解得，故双曲线的标准方程为；
（2）设直线的方程为（显然直线的斜率存在），点的坐标分别为，联立方程消去后整理为，
有，
由点的坐标为及对称性，若直线过定点，定点必定在轴上，设直线所过定点的坐标为，
有，有，有，
整理为，
有，化简可得，
故直线过定点；
（3）由直线过定点，直线的斜率为，直线的方程为，
联立方程消去后整理为，可得，
，
故直线的方程为或．
19．【答案】（1） （2）0 （3）0，0
【解析】（1）取，有，
联立方程，解得，
当时，由及，两式作差有，可得数列的奇数项是公差为2的等差数，偶数项也是公差为2的等差数列，
可得，
，可得，
故数列的通项公式为；
（2）对任意给的正数，取为比大的正整数，有，可得当时，有，可得；
（3）当时，由，有，有，
对任意给的正数，取为比大的正整数，有，可得当时，有，可得，
由，可得对任意给定的正数，总存在正整数，当时，都有，
有
，
又由对任意给的正数，取为比大的正整数，有，可得当时，有，
取正整数且，当时，，有，可得．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
A
B
A
C
B
0
1
2
3
4