数学七年级下册（2024）第十章 三角形10.2 三角形的内角和外角示范课ppt课件

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1.理解并掌握三角形的外角的概念．2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和及三角形的内角和．（重点）4.会利用三角形的外角性质解决问题.
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，
它们的和是180 °.
2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°, 则∠ACB= ，∠ACD= .
问题：发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.这节课让我们一起来探讨吧.
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
定义如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.
每一个三角形都有6个外角．
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
证明：过C作CE平行于AB，
∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
解：∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
【例1】如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
【例2】如图，∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°，
(1) 求∠B的度数；
解：(1) 在△ABC中，
∵ ∠BCD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),∠BCD=92°，∠A=27°，(已知)
∴∠B=∠BCD-∠A=92°-27°=65°；
(2) 在△BEF中，
∵ ∠BFD=∠B+∠BED(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),∠BED=44°(已知)，∠B=65°，(已知)
∴∠BFD=44°+65°=109°.
(2) 求∠BFD的度数；
【例3】如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：连接AD并延长于点E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.
解法二：延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51° +20°+30°=101°.
解法三: 连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
总结：解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
1.填空（1）一个三角形最多有 个直角， 因为 ；（2）一个三角形最多有 个钝角， 因为 ；（3）一个三角形至少有 个锐角， 因为 .
三角形内角和等于180 °
问题：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
三个内角都是锐角的三角形
有一个内角是直角的三角形
有一个内角是钝角的三角形
底和腰不相等的等腰三角形
1.如果三角形三个外角度数之比是3：4：5，则此三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
2.已知，如图，△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是（　　） A．∠BAC＜∠ADC B．∠BAC=∠ADC C．∠BAC＞∠ADC D．不能确定
3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于 （ ）
A.26°B.63°C.37°D.60°
4.（1）如图，∠BDC是________ 的外角,也是 的外角； (2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
解：根据三角形外角的性质有∠ADC= ∠B+ ∠BCE,∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 °.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
5 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180º-40º-70º=70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180º.
6. 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
7. 如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.