人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲与练第24讲 圆锥曲线弦长面积问题（2份，原卷版+解析版）

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第24讲 圆锥曲线弦长面积问题考点分析考点一：弦长公式设，根据两点距离公式．注意：①设直线为上，代入化简，得;②设直线方程为，代入化简，得考点二：三角形的面积处理方法①底·高 （通常选弦长做底，点到直线的距离为高）②水平宽·铅锤高或③在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为． 题型目录题型一：求弦长题型二：弦长的范围问题题型三：三角形四边形面积问题题型四：三角形四边形面积范围问题典型例题题型一：求弦长【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（       ）A． B． C． D．【例2】（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（       ）A． B． C． D．【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)当求此时直线的方程；【例4】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．(1)求椭圆的方程；(2)过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值．【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．2．（2022·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.3．（2022·河北保定·高一阶段练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．题型二：弦长的范围问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求的方程；(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.(1)求椭圆E的离心率；(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.【例3】（2022·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点分别是 ，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是_________【题型专练】1．（2022·青海·模拟预测（理））已知椭圆C：，圆O：，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求的取值范围．2．（2022安徽高三开学考试）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．题型三：三角形四边形面积问题【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆与椭圆具有共同的焦点，，点P在椭圆上，，______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．①椭圆过点；②椭圆的短轴长为10；③椭圆的离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)求的面积．【例2】（2022·广东·开平市忠源纪念中学模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积．【例3】（2022·湖南师大附中三模）若椭圆与椭圆满足，则称这两个椭圆为“相似”，相似比为m.如图，已知椭圆的长轴长是4，椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似比为.(1)求椭圆与椭圆的方程；(2)过椭圆左焦点F的直线l与、依次交于A、C、D、B四点.①求证：无论直线l的倾斜角如何变化，恒有.②点M是椭圆上异于C、D的任意一点，记面积为，面积为，当时，求直线l的方程.【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：＋＝1，过A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积.【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，由E的上､下顶点，左､右焦点构成一个边长为的正方形.(1)求E的方程；(2)过E的右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程.【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于、，且是线段的中点，是椭圆左焦点，求的面积．2．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．(1)求椭圆的离心率；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程．4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的短轴长为2，离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，点为椭圆的上顶点，过点作互相垂直的两条直线（的斜率为正数）和，直线与以短轴为直径的圆和椭圆分别相交于点，，直线与圆和椭圆分别相交于点，，且的面积是面积的倍，求直线和的方程．5．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：离心率以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆的标准方程；(2)是椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于点且点的中点横坐标为求的面积．6．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知抛物线与椭圆有公共的焦点，的左､右焦点分别为，该椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)已知点为椭圆上一点，过点的直线与椭圆交于异于点的两点，若的面积是，求直线的方程.题型四：三角形四边形面积范围问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆交于M，N两点，当______，面积最大，并且最大值为______.记，当面积最大时，_____﹐_______.Р是椭圆上一点，，当面积最大时，______.【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的长轴长为，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求（O为原点）面积的最大值．【例3】（2022·浙江·温岭中学高二期末）已知椭圆，已知点，椭圆上有两点，且在线段上，(1)求的最小值；(2)若是点关于轴的对称点，连结并延长交直线轴于点，求面积的取值范围.【例4】（2022·广东·高三阶段练习）椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于A，两点，且以为直径的圆过原点.(1)求椭圆的方程；(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.【例5】（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））设椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q为椭圆C上任意两点，且，若的周长为8，面积的最大值为2．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C内切于矩形ABCD（椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD面积的最大值．【题型专练】1．（2022·安徽·高三开学考试）如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)记的面积为S，求S的最大值.2．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）已知椭圆的C：经过点，离心率为．(1)求椭圆C的方程：(2)过椭圆C上的点的直线l与x，y轴的交点分别为M和N，且，过原点O的直线m与t平行，且与C交于B，D两点，求△ABD面积的最大值3．（2022·河南·高三开学考试（文））已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求面积的最大值．4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．(1)求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；(2)过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．5．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）已知的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A、B两点，直线与x轴相交于点H，过点A作，垂足为D．(1)求椭圆C的标准方程；(2)①求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；②证明直线BD过定点E，并求出点E的坐标．6．（2022·山东青岛·高三开学考试）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.