人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲与练第28讲 圆锥曲线存在性问题（2份，原卷版+解析版）

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第28讲 圆锥曲线存在性问题【典型例题】【例1】（江西省智慧上进2023届高三上学期入学摸底考试数学（文）试题）已知抛物线C：上一纵坐标为4的点M到其焦点F的距离为5，过点的直线与C相交于A，B两点．(1)求C的标准方程；(2)在x轴上是否存在异于点N的定点P，使得点F到直线PA与直线PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．【例2】（2021·山东·高三开学考试）已知椭圆C：.(1)求椭圆C的离心率和长轴长；(2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.【例3】（2022·江苏·高二专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，以原点为圆心､椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作直线交椭圆于两点（直线与轴不重合）.在轴上是否存在点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.【例4】（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）已知点在圆上运动，点在轴上的投影为，动点满足(1)求动点的轨迹方程(2)过点的动直线与曲线交于两点，问：是否存在定点，使得的值是定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，右焦点F与点的连线与其一条渐近线平行.(1)求双曲线C的方程；(2)经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A､B，试问是否存在一定点P，使恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【例6】（2022·福建厦门·高二期末）已知椭圆的右顶点为点A，直线l交C于M，N两点，O为坐标原点．当四边形AMON为菱形时，其面积为．(1)求C的方程；(2)若；是否存在直线l，使得A，M，O，N四点共圆？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【例7】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，过定点的直线交椭圆于两点，其中.(1)若椭圆短轴长为且经过点，求椭圆方程；(2)对（1）中的椭圆，若，求面积的最大值，并求此时直线的方程；(3)若直线与轴不垂直，问：在轴上是否存在点使得恒成立？如果存在，求出的关系；如果不存在，说明理由.【例8】（2022·江苏盐城·高二期末）平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为．(1)求椭圆C的方程；(2)直线上是否存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q；若不存在，请说明理由．【例9】（2022·安徽省宣城市第二中学高二期末）圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，直线与交于点，试问：是否存在一个定点，当变化时，为等腰三角形【例10】（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）从圆：上任取一点向轴作垂线段为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线．（当为轴上的点时，规定与重合）．(1)求的方程，并说明是何种曲线：(2)若圆与轴的交点分别为在左侧），异于，直线交直线于，垂足为，线段的中点为，求证：是等腰三角形．【例11】（2022·四川成都·三模（理））已知椭圆的离心率为，且经过点，椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4．(1)求椭圆C和抛物线E的方程；(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．【例12】（2022·辽宁辽阳·二模）已知椭圆：的左焦点为，上顶点为.直线与椭圆交于另一点，且，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程.(2)过点，且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，作，垂足为.是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.【例13】（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且有，(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l不经过P（0，1）点且与椭圆E相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为，若，垂足为M，判断是否存在定点N，使得为定值，若存在求出点N，若不存在，说明理由．【例14】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））设圆的圆心为，点与点关于原点对称，P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交线段于点M，记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知点，曲线C上是否存在点B，使得在y轴上能找到一点D满足为等边三角形？若存在，求出所有点B的坐标；若不存在，请说明理由．【例15】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型专练】1.（2022·北京市十一学校高三阶段练习）椭圆：的离心率为，，是椭圆的左､右焦点，以为圆心､为半径的圆和以为圆心､为半径的圆的交点在椭圆上.(1)求椭圆的方程和长轴长；(2)已知直线与椭圆有两个不同的交点，，为轴上一点.是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由.2．（2022·上海徐汇·二模）在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；(3)过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．3．（2022·辽宁大连·一模）已知椭圆的焦距为2，且经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．4.（2022·天津市第七中学模拟预测）已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，若过的动直线与曲线相交于两点．(1)说明曲线的形状，并写出其标准方程；(2)是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2022·全国·高三专题练习）一个焦点在直线上，且离心率.(1)求该椭圆的方程；(2)若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证：轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有；(3)在（2）的条件下，能否为等腰直角三角形？并证明你的结论.6．（2022·宁夏·平罗中学三模（理））已知椭圆：的左、右焦点，恰好是双曲线的左右顶点，椭圆上的动点满足，过点的直线交椭圆C于，两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆上是否存在点使得四边形（为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021·四川巴中·高二期末（文））已知椭圆的左､右焦点分别为､，M是椭圆的上顶点，且是面积为1的等腰直角三角形.(1)求椭圆E的方程；(2)已知直线与椭圆E交于A，B两点，判断椭圆E上是否存在点P，使得四边形OAPB恰好为平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.8．（2022·广东清远·高二期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，，直线，的交点D既在椭圆C上，也在直线上.(1)求椭圆C的方程；(2)过直线上的动点A的直线l与椭圆C只有一个公共点B，判断x轴上是否存在点P，使得.若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.9．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）已知椭圆的长轴长为，且过点(1)求的方程：(2)设直线交轴于点，交C于不同两点，，点与关于原点对称，，为垂足.问：是否存在定点，使得为定值？10．（2022·全国·高三专题练习）圆的离心率为，且过点，点分别为椭圆的左顶点和右顶点.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在定点，对任意过点的直线（在椭圆上且异于两点），都有.若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.11．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的纵坐标为4，．(1)求抛物线的方程；(2)过点作直线交抛物线于两点，试问抛物线上是否存在定点使得直线与的斜率互为倒数？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由．12．（2021·江苏·高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左顶点为，右焦点是．点是椭圆上的点（异于左、右顶点），为线段的中点，过作直线的平行线．延长交椭圆于，连接交直线于点．①求证：直线过定点． ②是否存在定点、，使得为定值，若存在，求出、的坐标；若不存在说明理由．13．（2022·辽宁·建平县实验中学高二阶段练习）已知椭圆C：，、为椭圆的左、右焦点，焦距为2，P（－）为椭圆上一点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点（0，－）的直线l与C交于A，B两点；线段AB的中点为M，在轴上是否存在定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022·河南·郑州四中高二阶段练习（理））在平面直角坐标系中，双曲线的左、右两个焦点为、，动点P满足．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由．15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足．(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点且斜率不为零的直线交椭圆于不同的两点、，则在轴上是否存在定点，使得平分？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的焦距为8，且椭圆经过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于、两点，试问在直线上是否存在一点，使得为正三角形？若存在，求出相应的直线的方程；若不存在，说明理由．17．（2021·重庆国维外国语学校高二期中）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.(1)求椭圆的方程；(2)已知椭圆的右焦点与点关于直线对称，问：是否存在过右焦点的直线与椭圆交于两点，使的重心恰好在直线上？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.18．（2022·全国·高三专题练习）已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）为曲线上不同两点，为坐标原点，线段的中点为，当△面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.19．（2022·全国·高三专题练习）已知椭的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点，，交轴于点，为线段的中点，且为垂足.问：是否存在定点，使得的长为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在定点，使得直线，关于轴对称，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由.21．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的其中一个焦点是抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过左焦点且斜率不为零的动直线与椭圆交于两点，试问在轴上是否存在一个定点，若设焦点到两直线距离分别为，则？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.