2025高考数学专项讲义第04讲平面向量系数和(等和线、等值线)问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第04讲平面向量系数和(等和线、等值线)问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)，共60页。学案主要包含了“x+y”或“λ+μ”型综合，“+”或“+”型综合，“-”或“-”型综合，系数和的综合应用等内容，欢迎下载使用。
（5类核心考点精讲精练）
平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。
平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。
近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用
知识讲解
如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
考点一、“x+y”或“λ+μ”型综合
1．（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
【答案】A
【法一：系数和】，分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时
故选 .
【法二：坐标法】详见解析版
2，（衡水中学二模）边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ）
分析:如图，设，由等和线结论，.此为的最小值；
同理，设，由等和线结论，.此为的最大值.
综上可知.
在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，
若，则的最大值为( )

如图，正六边形，是内（包括边界）的动
点，设，则的取值范围是____________
如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设
则的取值范围是____________
3．在中，，，，M是外接圆上一动点，若，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
4．（22-23高三上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高一下·广东珠海·期末）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
考点二、“+”或“+”型综合
已知是内一点,且,点在内(不含边界),若,则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是__________
若点在以为圆心,6为半径的弧上,且,则的取值范围为______
设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________
1．在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为
A．B．C．D．
2．（2023·安徽淮南·一模）已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是
A．B．C．D．
3．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是
A．B．C．D．
4．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点三、“-”或“-”型综合
如图,已知为锐角三角形的外心,,且,求的取值范围？
1．（2023·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最小值为（ ）
A．B．1C．-1D．
考点四、“-”或“-”型综合
1．（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·安徽六安·高三阶段练习）在直角梯形中，，∥，，、分别为、的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，（如图所示），若，其中，则的取值范围是 ．
1．（2023·四川·校联考三模）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是
A．B．C．D．
考点五、系数和（等和线）的综合应用
1．如图所示，△ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，且PN＝2PM，则△ABC面积的最大值为 ．
5．5．2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为 .
3．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且，则 ；为的内心，三点共线，且，轴上点满足，，则的最小值为 ．
1．（2024高三·全国·专题练习）在中，三个内角分别为A，B，C，，，，H为的垂心．若，则 ．
2．（22-23高二下·广东汕尾·期末）如图，在中，点D在线段上，且，E是的中点，延长交于点H，点为直线上一动点（不含点A），且（）．若，且，则的面积的最大值为 ．

3．（20-21高一·江苏·课后作业）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 .
1．（2023高三·全国·专题练习）在正方形中，与交于点，为边上的动点（不含端点），，则的最小值为 .
2．（2023高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为 ．
3．（22-23高一下·四川眉山·阶段练习）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边相交于点M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为 ．
4．（2023高三·全国·专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则2x＋2y的最大值为

5．（2023高三·全国·专题练习）如图，在中，为边上不同于，的任意一点，点满足.若，则的最小值为 .

6．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，．则的取值范围为 ．

7．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 ．
8．（23-24高一下·天津·期中）如图，在中，与BE交于点，，则的值为 ；过点的直线分别交于点设，则的最小值为 .

9．（21-22高三上·河南郑州·阶段练习）如图，在扇形中，，，点为的中点，点为曲边区域内任一点（含边界），若，则的最大值为 ．
10．（22-23高三下·上海宝山·开学考试）如图所示，，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是
11．（2024高三下·全国·专题练习）如图，平面内有三个向量，，，其中 ，，且，，若，则 .
12．（22-23高二上·上海宝山·阶段练习）设点在以为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含、两个端点），，且，则的取值范围为 .
13．（19-20高一上·黑龙江牡丹江·期末）如图，扇形的半径为1，圆心角，点P在弧BC上运动，，则的最大值为 .
14．（22-230高三上·浙江台州·期末）如图，已知正方形，点E，F分别为线段，上的动点，且，设（x，），则的最大值为 .
15．（22-23高三·浙江·阶段练习）已知，与所成角为，点P满足，若，则的最大值为 .
16．（22-23高一下·重庆万州·期中）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是 ．
17．（21-22高三下·浙江杭州·阶段练习）已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为 ．
18．（22-23高一下·湖北孝感·期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为 .
19．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣.如图，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为 .

（23-24高一下·安徽宿州·期中）由三角形内心的定义可得：若点为内心，则存在实数，使得.在中，，若点为内心，且满足，则的最大值为
第04讲 平面向量系数和（等和线、等值线）问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（5类核心考点精讲精练）
平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。
平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。
近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用
知识讲解
如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
考点一、“x+y”或“λ+μ”型综合
1．（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
【答案】A
【法一：系数和】
分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时
故选 .
【法二：坐标法】
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
2，（衡水中学二模）边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ）
分析:如图，设，由等和线结论，.此为的最小值；
同理，设，由等和线结论，.此为的最大值.
综上可知.
在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，
若，则的最大值为( )

解：如图所示：
过作的垂线，垂足为，则，当三点共线时，高线最长，即
如图，正六边形，是内（包括边界）的动
点，设，则的取值范围是____________
解：连接因为正六边形，由对称性知道
，设与交于点，与交于点，
当在上时，在上射影最小为；
当与重合时，在上射影最大为；
则
设则
则
如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设
则的取值范围是____________
解：设圆与直线相切于点，过作于，作直线，且直线与圆相切与，连，则过圆心，且，由图可知，对圆内任意一点
在直线上的射影长度满足：，
又，
所以
而，所以
3．在中，，，，M是外接圆上一动点，若，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【解析】以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M的坐标为，
由，
可得利用正弦函数的图像及性质即得解.
【详解】以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设M的坐标为，过点B作 轴
又
当时，
故选：C
【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图像和性质，以及直角三角形问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
4．（22-23高三上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由可得，再结合余弦定理，面积公式可求出、、边上高，内切圆半径，最后根据平行线等比关系即可求解.
【详解】，由在内切圆上，
故，
假设，由于，，
则，且为上一点，，，三点共线，
由平行线等比关系可得，要使，即与之间的比例最小，则在内切圆的最高点，如图所示，
由，
因为，所以，
设边上高为，内切圆半径为，
由，
所以，，
可得的最小值为，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是转化得到，令，观察到分母的系数相加为1，则可得到为上一点，再结合平行线等比关系以及图象可得到比例最小的具体位置
5．（22-23高一下·广东珠海·期末）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理与勾股定理得是直角三角形，进而可以建立直角坐标系，根据点的坐标得向量的坐标，由向量的坐标运算可得的表达式，进而利用三角函数求最值即可.
【详解】因为在中，，，，
由余弦定理得，
所以，则，所以，
故以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
，
易得，则，，
设的坐标为，则，
又，
所以，
则，得，，
所以，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系，利用向量的线性运算法则得到的关系式，从而利用三角函数的性质得解.
考点二、“mx+ny”或“mλ+nμ”型综合
已知是内一点,且,点在内(不含边界),若,则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为是内一点,且，所以为的重心
在内(不含边界),且当与重合时,最小,
此时
所以,即
当与重合时,最大,此时
所以,即
因为在内且不含边界
所以取开区间,即.
已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是__________
答案:
【解析】如图,取中点为,
显然,当与重合时,取最小值1.
将平行移动至与相切处,
为切点时,取最大值.
延长交于,易知.
由等和线及平行截割定理,.
所以的最大值为.
故的取值范围是.
若点在以为圆心,6为半径的弧上,且,则的取值范围为______
【解析】令,
则,
即,
其中.
由知点在线段上,如下图:
由于在中,,
且点在线段上(含端点,
因此,其中是边上的高.
可得.
可得.
所以,.
再由
可知.
设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________
解:如图,取中点,则
此时的等和线为平行于的直线显然,当点与点重合时,最小为1,当点与重合时,最大,
由于,
所以,
于是的最大值为
所以的取值范围是.
1．在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可根据条件画出图形，根据图形设，且，则又可用表示为：所以根据平面向量基本定理得到：，所以，最大值为1，所以的最大值为．
【详解】如图，设，，
则：；
又；
；
；
的最大值为．
故选B．
【点睛】考查共线向量基本定理，两角和的正弦公式，正弦函数的最大值，以及平面向量基本定理．
2．（2023·安徽淮南·一模）已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据三点共线得到，也就是，再利用得到，最后利用基本不等式求的最小值.
【详解】
因为三点共线，故，因为，所以，又为重心，故，而不共线，所以，也即是.
，由基本不等式可以得到：
，当且仅当等号成立，故的最小值为，故选D.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
3．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．
【详解】因为是内一点，且
所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时

所以，即
当M与C重合时，最大，此时

所以，即
因为在内且不含边界
所以取开区间，即
所以选B
【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题．
4．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求得，外接圆的半径，设，，，根据，结合和
三点共线，得到，进而求得，利用基本不等式和函数的性质，即可求得取值范围.
【详解】因为中，，
由余弦定理可得，
即，且，
设，
则，，
所以，
同理可得，，
解得，所以，
又因为，，所以，
因为三点共线，可得，
因为，所以，所以，
同理可得，所以
所以，
设，可得，
令，可得，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为；
又由，，可得，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以的取值范围是.
故选：B.
考点三、“x-y”或“λ-μ”型综合
如图,已知为锐角三角形的外心,,且,求的取值范围？
解:
作圆的直径,则点在劣弧上运动.于是.其中.
考虑到问题涉及的代数式为,为了利用向量分解的系数和的几何意义,
将条件转化为.
此时可知连接向量的终点与向量的终点的直线即等系数和线,于是.
依次作出其余等系数和线,可得的取值范围是.
1．（2023·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最小值为（ ）
A．B．1C．-1D．
【答案】C
【解析】以A为原点，直线AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，求出圆的标准方程，可得的坐标的参数形式，再由用坐标表示，这样就可表示为的三角函数，由三角函数恒等变换可求得其最小值．
【详解】以A为原点，直线AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，
直线，圆C与直线BD相切，所以圆C的半径，圆C的方程为，
设点，即，
又，
∴，
所以.
即时，取得最小值．
故选：C．
【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是建立平面直角坐标系，把向量用两种不同方法表示，从而把表示为参数的三角函数，利用三角函数知识求得最小值．
考点四、“mx-ny”或“mλ-nμ”型综合
1．（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，将由点坐标转化后数形结合求解
【详解】以点为坐标原点， 方向为x,y轴正方向建立直角坐标系，则，
，设，则，解得，
故，即，
数形结合可得当时，取最小值2，
当直线与圆相切时，，取得最大值 .
故选：B
2．（2022春·安徽六安·高三阶段练习）在直角梯形中，，∥，，、分别为、的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，（如图所示），若，其中，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】如图以为轴建立直角坐标系，设，则可表示出的坐标，可列出关于的不等式组，表示出，利用三角函数恒等变换公式化简，从而可求得结果
【详解】如图以为轴建立直角坐标系，则，，，，，，所以，，
设，
因为
所以，
所以，
解得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
故答案为：
1．（2023·四川·校联考三模）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可表达出，进而用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.
【详解】
分别以所在直线为轴，轴，方向为正方向建立直角坐标系，知,
设，由得：，即 ,
则，
由可得：，则，故.
则的取值范围是 .
故选：C
考点五、系数和（等和线）的综合应用
1．如图所示，△ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，且PN＝2PM，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】5
【分析】根据题意设作为该平面的一组基底，根据向量运算的三角形法则及共线向量定理分别表示出，即可求得AP：PM，BP：PN的值，再设PM＝2t，求得PN，PA，PB，设△APN的面积为x，运用余弦定理和面积公式，结合二次函数的最值可得x的最大值，进而得到所求△ABC的面积的最大值．
【详解】设
则, ,
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
∴存在实数λ、μ，使
故.
而
∴，
解得 ，
故
即AP：PM＝4：1，BP：PN＝3：2，
设PM＝t，则PN＝2t，PA＝4t，PB＝3t，t＞0，
设△APN的面积为x，∠APN＝α，
在△APN中，AN＝2，AP＝4t，PN＝2t，
可得csα＝＝，sinα＝，
则
当，即t＝时，x取得最大值，
而△ABP的面积为x，△BPM的面积为，
则△ABC的面积为，
则△ABC的面积的最大值为×＝5．
故答案为：5．
2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意，利用平面向量基本定理，数形结合与临界值法，即可求解.
【详解】过点作，分别交于点，
过点作，交的延长线于点，
过点作，交的延长线于点，如图，
由
可知，点在线段上运动（不含端点）.
当点与点重合时，，可知.
当点与点重合时，，可知.
故的取值范围为.
故答案为：
3．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且，则 ；为的内心，三点共线，且，轴上点满足，，则的最小值为 ．
【答案】 4
【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出，在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；
第二空：由为的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出及，代入中利用基本不等式求最值即可.
【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为，
椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
不妨设点在双曲线的右支上，
由双曲线的定义：，
由椭圆的定义：，
可得：，
又，由余弦定理得：
，
即，
整理得：，
所以：；
②为的内心，
所以为的角平分线，则有，同理：，
所以，
所以，即，
因为，
所以，故，
为的内心，三点共线，
即为的角平分线，则有，又，
所以，即，
因为，
所以，故，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：4，.
【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，
（1）直接法：由题意知道利用公式求解即可；
（2）一般间接法：由题意知道或利用的关系式求出，在利用公式计算即可；
（3）齐次式方程法：建立关于离心率的方程求解.
1．（2024高三·全国·专题练习）在中，三个内角分别为A，B，C，，，，H为的垂心．若，则 ．
【答案】
【分析】根据余弦定理可求解余弦，即可根据同角关系求解正切，进而运用定理4的结论，即可求解.
【详解】因为，，，所以，
由余弦定理可得，
由以及为锐角，可得，故．
同理，．于是．
接下来证明定理4：O是（非直角三角形）的垂心．
证明：O是（非直角三角形）的垂心
，
由定理4得，
故，
化简得．所以．
故答案为：
2．（22-23高二下·广东汕尾·期末）如图，在中，点D在线段上，且，E是的中点，延长交于点H，点为直线上一动点（不含点A），且（）．若，且，则的面积的最大值为 ．

【答案】
【分析】因为是的中点，得到，设，所以，根据三点共线，求得，得到，得到，
延长于，使得，延长于点，使得，结合相似，求得得到为等腰三角形，且，得出，进而取得的面积的最大值.
【详解】因为是的中点，可得，
设，所以，
因为三点共线，所以，解得，所以
所以，所以，所以，所以，
延长于，使得，延长于点，使得，如图所示，
则，且相似比为，所以,
所以，所以，所以，所以，
因为，所以，
所以为等腰三角形，且，所以，
因为，所以，
所以.
所以的面积的最大值为.

【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：
（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；
（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解.
3．（20-21高一·江苏·课后作业）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置，进行适当的推理与运算，即可求出实数x的取值范围.
【详解】解：如图所示，在线段BD上取一点G，使得，
设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a；
过点G作GH∥DE，分别交DF､AE于K､H，
连接FH，则点K､H为临界点；
GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，
，
所以FH∥BC；
所以FHBC，
所以，
所以KGHK，
KGHGDE.
所以实数x的取值范围是().
故答案为：().

【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的线性运算问题，也考查了推理与运算能力，是难题，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置.
1．（2023高三·全国·专题练习）在正方形中，与交于点，为边上的动点（不含端点），，则的最小值为 .
【答案】
【详解】解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，
所以，因为，所以，
从而，所以，设，
则，
所以，从而在上↘，在上↗，
故，所以的最小值为.
解法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，
所以，因为，所以，从而，
所以
，
当且仅当时等号成立，结合可解得：，所以的最小值为.
解法三：，设，则，如图，设，则三点共线，因为，所以，即，从而，所以，当在上（不含端点）运动时，显然，所以，当且仅当时取等号，容易验证满足的点在上，所以的最小值为.

2．（2023高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据平面向量基本定理及向量共线定理即可求解.
【详解】当点P位于B点时，过点B作，交的延长线于G，H，
则，且，
，，
所以.
故答案为：.
3．（22-23高一下·四川眉山·阶段练习）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边相交于点M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】根据三角形重心及加法、数乘运算得到，由向量共线的推论得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，
又共线，如下图，则，即，故，
而，则，

所以，
仅当，即时等号成立，
所以目标式最小值为4.
故答案为：4
4．（2023高三·全国·专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则2x＋2y的最大值为

【答案】
【分析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，，把用表示，由和的范围，求2x＋2y的最大值.
【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，

设，则，
等边三角形边长为2，则外接圆半径为，当点P为切点时, ，
∵，∴设，则，当点P为切点时, 有最大值,
，，
∴，，∴.
即2x＋2y的最大值为.
故答案为：
5．（2023高三·全国·专题练习）如图，在中，为边上不同于，的任意一点，点满足.若，则的最小值为 .

【答案】/0.4
【分析】
根据题意，得，因为，，三点共线，所以，将化为的函数求最小值即可.
【详解】
根据题意，得.
因为，，三点共线，设，则，
所以，
所以，
所以有，即，
所以，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
6．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，．则的取值范围为 ．

【答案】
【分析】建立坐标系，讨论，，，四种情况，求出的范围.
【详解】建立如图所示的坐标系，正方形的边长为1，则，

∵．
当时，有且，∴，∴，
当时，有且，∴，
当时，有且，∴，
当时，有且，∴，
综上，，
故答案为：
7．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设，,又，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可.
【详解】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设，
又，
则，
，即
，
解得，
,
因为，则，
所以当时，取得最大值1，
则的最大值为.
故答案为：.
8．（23-24高一下·天津·期中）如图，在中，与BE交于点，，则的值为 ；过点的直线分别交于点设，则的最小值为 .

【答案】 4
【分析】设，将分别代入，利用共线定理的推论列方程组求出，然后根据求解可得；将代入，根据共线可得，然后妙用“1”，利用基本不等式求解即可.
【详解】设，令，
因为，所以，
所以，
又与分别共线，所以，解得.
因为，
所以，即，
解得，即.
因为，

所以，
所以，
因为共线，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：4；.
9．（21-22高三上·河南郑州·阶段练习）如图，在扇形中，，，点为的中点，点为曲边区域内任一点（含边界），若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可得，，进而根据线性规划求截距最大或者根据三角换元法即可求解.
【详解】建立平面直角坐标系如图所示，
设，则，；
，；
由是区间内的任意点，且，
，，，
，；，，
，设，即，
用线性区域的方法，平移直到于圆弧相切，与轴相交于,
此时直线截距最大，切点就是满足条件的点；
由于此时切线的斜率为
此时,由此，
故,因此此时，
即的最大值为，
故答案为：.
10．（22-23高三下·上海宝山·开学考试）如图所示，，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是
【答案】
【分析】建立直角坐标系，求出圆M的方程，则点P在圆M内或其圆周上，根据点P的范围，将原问题转化为线性规划求 目标函数的最大值和最小值问题.
【详解】如图以A为原点直线AB为x轴建立直角坐标系：
由题意 ， ， ，
过点D作AB的垂线，过点E作AC的垂线，两垂线的交点即为圆心M，在 中，
， ， ，圆M的半径为 ；
设 ，则P点圆M内或圆周上，
，， ，由题意 ， ，
， ，即是求z的取值范围，也就是求z的最大值和最小值，
根据几何意义，当直线 与圆M相切时z取最值，
.此时到直线 的距离为 ，
所以z的范围为；
故答案为：.
11．（2024高三下·全国·专题练习）如图，平面内有三个向量，，，其中 ，，且，，若，则 .
【答案】6
【分析】连接 ,交于点,求得，法一：由平面向量基本定理得利用求得；法二：根据等高线定理求解.
【详解】
连接 ,交于点,
则,
,
法一：由平面向量基本定理得
,
法二：根据等高线定理可得
故答案为：6
12．（22-23高二上·上海宝山·阶段练习）设点在以为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含、两个端点），，且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据共线向量基本定理,设,结合条件可求得的等量关系，根据M的位置可求得的范围，同时根据基本不等式，求得的取值范围， 即可得的取值范围。
【详解】
设与相交于,且
由，，三点共线可得
即,所以
又因为
所以
即
当时，,此时
当与(或)点重合时,此时,此时
所以
由基本不等式,可得
当或时,
当x=1且y=1时，x+y=2，xy=1，则
即
【点睛】本题考查了平面向量基本定理、向量共线基本定理的综合应用，注意向量线性运算的转化，属于中档题。
13．（19-20高一上·黑龙江牡丹江·期末）如图，扇形的半径为1，圆心角，点P在弧BC上运动，，则的最大值为 .
【答案】.
【分析】如图所示：作平行四边形，分别在上，故，计算得到，，，得到答案.
【详解】如图所示：作平行四边形，分别在上，故.
故，设，
根据正弦定理：，，
故，，
故，
其中，当时，有最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换的应用，意在考查学生的综合应用能力.
14．（22-230高三上·浙江台州·期末）如图，已知正方形，点E，F分别为线段，上的动点，且，设（x，），则的最大值为 .
【答案】
【分析】设边长为1，，建立直角坐标系，求得的坐标，根据题设用表示出，再利用函数的性质，即可求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，并设边长为1，，
则，可得，
由，
可得，解得其中，
所以，
令，则，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐标运算，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中将平面向量问题坐标化，通过数形结合求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力．
15．（22-23高三·浙江·阶段练习）已知，与所成角为，点P满足，若，则的最大值为 .
【答案】
【分析】可建立如图所示的平面直角坐标系,根据题设可得动点在圆内运动,设点,则可用的三角函数表示,进而求得最大值.
【详解】由题,如图建系,,,,则,,
因为,则点在以点为圆心,半径为1的圆内（包括边界）,
则设,
因为,所以,
所以,
因为,所以,
所以的最大值为,
故答案为:
【点睛】本题考查平面向量中基底向量的系数和的最值,考查坐标法表示向量的应用.
16．（22-23高一下·重庆万州·期中）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，设，根据向量的线性运算，利用表示出，求出和，然后利用双钩函数的单调性求出的取值范围.
【详解】解：由题可知，，设，
则，
所以，
而，
可得：，
所以，
设，
由双钩函数性质可知，在上单调递减，
则，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理的应用，还涉及双钩函数的单调性，考查转化思想和运算能力.
17．（21-22高三下·浙江杭州·阶段练习）已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为 ．
【答案】/2.5
【分析】构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，确定相关点坐标并设且()，由向量线性关系的坐标表示列方程得到关于的三角函数式，应用正弦型函数性质求最大值.
【详解】由题设，在以为圆心，1为半径的圆上或圆内，
构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，如下图示：
所以，，，令且()，
所以，，，
又，即，
所以，而，
则，
故当时，有最大值.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系并设且()，应用平面向量线性关系的坐标表示求得关于参数的函数式求最值.
18．（22-23高一下·湖北孝感·期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为 .
【答案】
【分析】根据余弦定理、正弦定理以及平面向量基本定理求得，进而求得正确答案.
【详解】过作，交于，则，
由于，所以，
设，则，，
设，则,
则，
由于，所以在三角形中，
由余弦定理得，
所以，，
在三角形中，由正弦定理得：
，，
所以.
，
在三角形中，由正弦定理得：
，，
所以.
所以.
故答案为：
【点睛】平面向量的基本定理可以解决向量分解的问题，相当于向量线性运算.在求解几何图形问题的过程中，可考虑利用正弦定理或余弦定理来进行边角转化.
19．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣.如图，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为 .

【答案】
【分析】就和分类讨论，后者可根据对称性只需考虑在对应的半圆弧上，前者，后者，而后者可建系处理.
【详解】连接.
若，则，
若不为零，则，这与题设矛盾，若为零，则与重合.
若，则，
设，故，且三点共线.
由对称可知只需考虑在对应的半圆弧上.
当在对应的半圆弧上（除外）时，总在的延长线上，
故此时.

当在对应的半圆弧上，总在之间，故此时
建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，
设，
当时，，而，
此时.
当时，则，
由可得，
故，
当时，.
综上，
故答案为：
【点睛】关键点睛：与向量的线性表示有关的最值问题中，如果考虑基底向量前系数的和的最值，则可利用三点共线构造系数和的几何意义，这样便于求最值.
20．（23-24高一下·安徽宿州·期中）由三角形内心的定义可得：若点为内心，则存在实数，使得.在中，，若点为内心，且满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】设，根据共线向量的几何意义和二倍角公式解答即可.
【详解】延长交于，
设与圆相切于点，与圆相切于点，如图所示，
则，，设，且.
因为、、三点共线，所以，
即，
因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：