2025高考数学专项讲义第07讲平面向量奔驰定理与三角形四心问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第07讲平面向量奔驰定理与三角形四心问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)，共51页。学案主要包含了奔驰定理与四心问题综合，奔驰定理与其他问题综合，填空题等内容，欢迎下载使用。
（2类核心考点精讲精练）
平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。
奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的lg相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。
知识讲解
奔驰定理
如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
奔驰定理的证明
如图：延长与边相交于点
则
奔驰定理的推论及四心问题
推论是内的一点,且,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点在内部，有以下四个推论：
①若为的重心，则；
②若为的外心，则；或
③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.
④若为的垂心，则，或
研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.
考点一、奔驰定理与四心问题综合
1．（宁夏·高考真题）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心B．重心外心内心
C．外心重心垂心D．外心重心内心
2．（江苏·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3．设是所在平面内的一点,若且.则点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
4．已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
5．设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
1．若是内一点，且，则为的（ ）
A．垂心B．重心C．外心D．内心
2．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
4．已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
5．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
6．已知G，O，H在所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为的（ ）
A．重心，外心，内心B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心D．外心，重心，垂心
考点二、奔驰定理与其他问题综合
1．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，，则
1．奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，，，则
6．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为△ABC的内心，，则
D．若O为△ABC的垂心，，则
一、单选题
1．在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
2．若O，M，N在所在平面内，满足，且，则点O，M，N依次为的（ ）
A．重心，外心，垂心B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心
3．已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④(其中为中，角所对的边).则O依次是的
A．内心、重心、垂心、外心B．外心、垂心、重心、内心
C．外心、内心、重心、垂心D．内心、垂心、外心、重心
4．给定△ABC，则平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
5．若为所在平面内一点，且则点是的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
6．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
7．平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
8．已知点在平面中，且，则点是的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
9．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( )
A．B．C．D．
10．已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（ ）

A．若，则O为△ABC的重心
B．若，则
C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则
D．若，，，则
二、多选题
12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（ ）
A．O为的外心B．
C．D．
13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，，，则
D．若为的垂心，则
14．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
15．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
16．在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的 心.
17．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
18．请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P是的重心，则有；
②若成立，则P是的内心；
③若，则；
④若P是的外心，，，则；
⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为.
则正确的命题有 .（填序号）

19．年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知为内一点，，，的面积分别为，，，则有，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知的内角的对边分别为，且，为内的一点且为内心.若，则的最大值为 .
20．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 .
第07讲 平面向量奔驰定理与三角形四心问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（2类核心考点精讲精练）
平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。
奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的lg相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。
知识讲解
奔驰定理
如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
奔驰定理的证明
如图：延长与边相交于点
则
奔驰定理的推论及四心问题
推论是内的一点,且,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点在内部，有以下四个推论：
①若为的重心，则；
②若为的外心，则；或
③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.
④若为的垂心，则，或
研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.
考点一、奔驰定理与四心问题综合
1．（宁夏·高考真题）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心B．重心外心内心
C．外心重心垂心D．外心重心内心
【答案】C
【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.

考点：向量在几何中的应用.
2．（江苏·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.
【详解】，
令，
则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即在的平分线上，
，共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
3．设是所在平面内的一点,若且.则点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】A
【详解】由，得，
即，
所以，
设D为AB的中点，则，故；
因为，
所以，
所以，
设BC的中点为E，同上可知，
所以P为AB与BC的垂直平分线的交点．
所以P是的外心．选A．
【点睛】三角形“四心”的向量表示
①在中，若或，则点是的外心；
②在中，若，则点是的重心；
③在中，若，则直线过的重心；
④在中，若，则点是的垂心；
⑤在中，若，则直线通过的内心．
4．已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】D
【解析】两边同乘以向量，利用向量的数量积运算可求得从而得到结论．
【详解】
两边同乘以向量,得
即点P在BC边的高线上，所以P的轨迹过△ABC的垂心，
故选D.
【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．
5．设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】D
【详解】试题分析：,,
,,
则动点的轨迹一定通过的垂心．故C正确．
考点：1向量的加减法;2数量积;3向量垂直．
1．若是内一点，且，则为的（ ）
A．垂心B．重心C．外心D．内心
【答案】A
【分析】根据条件，可得，即，，从而可得答案.
【详解】因为，
所以，
即，
则，，
即是三条高线的交点，为的垂心.
故选：A.
2．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断.
【详解】在，上分别取点，，使得，，则．
以，为邻边作平行四边形，如图，

则四边形是菱形，且．
为的平分线．
，
即，
．
，，三点共线，即在的平分线上．
同理可得在其它两角的平分线上，
是的内心．
故选：B．
3．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【答案】B
【分析】由，利用数量积的定义得到，从而得到点O在边AB的中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断.
【详解】解：根据题意，，即，
所以，则向量在向量上的投影为的一半，
所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，
所以点O为该三角形的外心．
故选：B．
4．已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【答案】B
【分析】设出的中点，利用向量的运算法则化简；据向量共线的充要条件得到在三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项
【详解】解：如图，取的中点，连接，
则．又，
，即．
又，
点在射线上．
故的轨迹过的重心．
故选：B．
5．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。
【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.
故选：B
6．已知G，O，H在所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为的（ ）
A．重心，外心，内心B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心D．外心，重心，垂心
【答案】C
【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形四心的性质即可判断出答案.
【详解】
因为，所以，
设AB的中点D，则，所以，
所以C，G，D三点共线，即G为的中线CD上的点，且，
所以G为的重心．
因为，所以，所以O为的外心；
因为，所以，即，
所以，同理可得：，，所以H为的垂心.
故选：C.
考点二、奔驰定理与其他问题综合
1．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【详解】如图，因为，
所以，同理，，
所以为的垂心。
因为四边形的对角互补，所以，
．
同理，，
，
．
，
．
又
．
由奔驰定理得.
故选C．
【点睛】本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题.
2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABC
【分析】对于A，根据已知条件及奔驰定理，结合三角形重心的性质即可求解；
对于B，根据三角形内心的性质及三角形的面积公式，结合奔驰定理即可求解；
对于C，利用三角形外心的定义及向量的线性运算即可求解；
对于D，利用三角形的垂心的定义及三角形的面积公式，结合奔驰定理及锐角三角函数即可求解.
【详解】对于A，取的中点，连接,如图所示

由，则，
所以，
所以三点共线，且，
设分别为得中点，同理可得，
所以为的重心，故A正确；
对于B， 由为的内心，则可设内切圆半径为，如图所示

则，
所以，
即，故B正确；
对于C ，如图所示

因为为的外心，
所以,
所以，即，即,
所以,
同理可得，
所以，故C正确；
对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点，如图所示，

由为的垂心，，则，
又，则，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：根据奔驰定理及三角形的面积公式，结合三角形的四心的定义及性质即可.
1．奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长交于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得，再利用和可得，不妨设，利用可求出的值，从而可求出的值.
【详解】延长交于点P，
是的垂心，，
．
同理可得，．
又，
．
又，
．
不妨设，其中．
，
，解得．
当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故，则，故C为锐角，
∴，解得，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用垂心的性质得，再结合已知条件得，设，再利用两角和的正切公式可得，从而可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于较难题.
2．（多选）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，，，则
【答案】AB
【分析】对于A：利用重心的性质，代入即可；
对于B：利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等.
对于C：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.
对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案.
【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点，
所以，，
同理可得、，
所以，
又因为，
所以.正确；
对于B：记点到的距离分别为，，
因为，
则，
即，
又因为，所以，所以点是的内心，正确；
对于C：因为，
所以，所以，
所以，
所以，
化简得：，
又因为不共线，
所以，所以，
所以，错误；
对于D：因为是的外心，，所以,，
所以，
因为，则，
化简得：，由题意知同时为负，
记，，则，
因为，所以，
所以，
所以，错误.
故答案为：AB.
6．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为△ABC的内心，，则
D．若O为△ABC的垂心，，则
【答案】ACD
【分析】对A，由奔驰定理即可判断；
对B，由面积公式求出，结合奔驰定理即可求；
对C，由奔驰定理，结合内心性质可得，即可得；
对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得，
结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得，
如图所示分别为垂足，可设，，即可由几何关系列式解出，最后由正切求出余弦值，则由可求
【详解】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对；
对B，，由得，故，B错；
对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对；
对D，若O为△ABC的垂心，则，，
又，
同理，∴，
∵，则，
且
如图，分别为垂足，
设，，则，
又，故，
由，解得，
由，故，D对故选：ACD
一、单选题
1．在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】A
【分析】由变形得，设的中点为，推出，点P在线段AB的中垂线上，再根据外心的性质可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以，
设的中点为，则，则，

所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心.
故选：A
2．若O，M，N在所在平面内，满足，且，则点O，M，N依次为的（ ）
A．重心，外心，垂心B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心
【答案】D
【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形五心的性质即可判断出答案．
【详解】
解：因为，
所以，
所以O为的外心；
因为，
所以（）＝0，
即＝0，所以MB⊥AC，
同理可得：MA⊥BC，MC⊥AB，
所以M为的垂心；
因为，
所以，
设AB的中点D，则，
所以，
所以C，N，D三点共线，即N为的中线CD上的点，且，
所以N为△ABC的重心．
故选：D．
3．已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④(其中为中，角所对的边).则O依次是的
A．内心、重心、垂心、外心B．外心、垂心、重心、内心
C．外心、内心、重心、垂心D．内心、垂心、外心、重心
【答案】B
【解析】对①，易得点O到点的距离相等即可判断.
对②，根据向量的数量积运算可求得， ，即可判断.
对③，根据重心的性质与数量积的运算判断即可.
对④，根据平面向量的线性运算可得，进而可知在三个角的角平分线上即可证明.
【详解】对于①，因为①，
所以点O到点的距离相等，
即点O为的外心;
对于②，因为，
所以，
所以，
即，同理，
即点O为的垂心;
对于③，因为，
所以，
设D为的中点，则，
即点O为的重心;
对于④，因为，
故，整理得.
又，
所以.因为分别为，方向的单位向量，故与的角平分线共线.同理与的角平分线共线，与的角平分线共线.故点O为的内心.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据根据平面向量的关系分析三角形四心的问题，需要根据题意结合四心的性质，利用平面向量的运算以及性质求证.属于中档题.
4．给定△ABC，则平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
【答案】A
【分析】设为△ABC的重心，是平面上的任一点，则得到，即可得到结论.
【详解】设为△ABC的重心，是平面上的任一点，
则
当且仅当即与重合时，到A，B，C三点距离的平方和最小，
∴平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的重心.
故选：A.
5．若为所在平面内一点，且则点是的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】D
【分析】由得到，从而得到，同理证明即可.
【详解】，
得，即；
，
得，即；
，
，即，所以为的垂心.
故选：D.
6．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】A
【分析】取线段的中点，则，依题可得，即可得答案.
【详解】取线段的中点，则.
动点满足：，，
则，即，所以，
又，所以三点共线，即点的轨迹是直线，
一定通过的重心.
故选：A.
7．平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理可得，，延长交于，延长交于，根据面积比推出，结合角平分线定理推出为的平分线，同理推出是的平分线，根据内心的定义可得答案.
【详解】由得，
由得，
根据平面向量基本定理可得，，
所以，，
延长交于，延长交于，
则，又，所以，
所以为的平分线，
同理可得是的平分线，
所以为的内心.
故选：B
8．已知点在平面中，且，则点是的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
【答案】D
【分析】由数量积的定义可知，两向量的数量积是一个实数.由题意得，，，.根据数量积的定义，化简这3个等式，即得点的位置.
【详解】由数量积的定义可知，两向量的数量积是一个实数.
，
，，.
当时，
如图所示
即，
，
点在的内角的角平分线上.
同理，点在的内角的角平分线上，点在的内角的角平分线上.
点是的内心.
故选：.
【点睛】本题考查向量的数量积，属于中档题.
9．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解.
【详解】∵是的垂心，延长交与点，
∴
，
同理可得，∴：，
又，
∴，
又，
∴，
不妨设，其中，
∵，
∴，解得或，
当时，此时，则都是钝角，则，矛盾.
故，则，∴是锐角，，
于是，解得.
故选：A.
10．已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】将所给向量表达式进行变形,表示成与方向上的单位向量的形式,由向量加法运算的性质即可知O在角平分线上,即可得解.
【详解】因为
则,即
移项可得
即
则
因为
所以
化简可得,即
设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量
所以,
则
所以
则在的角平分线上
同理可知 在的角平分线上
因而为的内心
故选:B
【点睛】本题考查了向量线性运算的化简及应用,三角形内心的向量表示形式,化简过程较为复杂,属于中档题.
11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（ ）

A．若，则O为△ABC的重心
B．若，则
C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则
D．若，，，则
【答案】D
【分析】对于A，假设为的中点，连接，由已知得在中线上，同理可得在其它中线上，即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，由垂心的性质、向量数量积的运算律，得到，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论，可判断C正确；选项D，根据奔驰定理可得，再利用三角形面积公式可求得，即可计算出，可得D错误；
【详解】对于A：如下图所示，

假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，
同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；
对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，
则有可知，
若，可得，即B正确；
对于C：由四边形内角和可知，，则，
同理，，
因为O为的垂心，则，
所以，同理得，，
则，
令，
由，则，
同理：，，
综上，，
根据奔驰定理得，即C正确.
对于D：由可知，，
又，所以
由可得，；
所以，即D错误；
故选：D.
【点睛】关键点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可.
二、多选题
12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（ ）
A．O为的外心B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由确定出点O是三角形的垂心，判断A；利用直角三角形角的关系、边角关系计算判断B，C；由直角三角形边角关系计算判断D作答.
【详解】依题意，，
同理OA⊥CB，OC⊥AB，则O为的垂心，A错误；
如图，直线分别交AB，AC于P，Q，由选项A知，，
，，则，
又，即有，又，
因此，B正确；
由选项B知，，同理，
，
同理可得，因此，C正确；
，
同理可得，所以，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键.
13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，，，则
D．若为的垂心，则
【答案】ABD
【分析】对于A，假设为的中点，连接，由已知得在中线上，同理可得在其它中线上，即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，根据奔驰定理可得，再利用三角形面积公式可求得，即可计算出，可得C错误；选项D，由垂心的性质、向量数量积的运算律，得到，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.
【详解】对于A：如下图所示，
假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，
同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；
对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，
则有可知，
若，可得，即B正确；
对于C：由，可知，
又，所以，
由可得；
所以，即C错误；
对于D：由四边形内角和可知，，
则，
同理，
因为O为的垂心，则，
所以，
同理得，，
则，
令，
由，
则，
同理：，
，
综上，，
根据奔驰定理得，即D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可.
14．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
【答案】ABD
【分析】A选项，作出辅助线，得到，故，同理得到，，所以M为的重心，故A项正确；B选项，设内切圆半径为r，得到，，，代入公式得到；C选项，设的外接圆半径为R，表达出，，，从而得到答案；D选项，求出，设，，由面积比得到，，由三角函数值得到方程，得到，同理得到，利用求出答案.
【详解】对于A，取BC的中点Q，连接MQ，
由，则，
所以，
所以A，M，Q三点共线，且，
设R，T分别为AB，AC的中点，同理可得，，
所以M为的重心，故A项正确；
对于B，由M为的内心，设内切圆半径为r，
则有，，，
所以，
即，故B项正确；
对于C，由M为的外心，设的外接圆半径为R，
又因为，，
所以，，，
所以，
，
，
所以，故C错误；
对于D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E，
由M为的垂心，，则，
又，则，，
设，，则，，
所以，即，
所以，同理，
故，，
∴
，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心，
点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，
点为所在平面内的点，且，则点为的外心，
点为所在平面内的点，且，则点为的内心，
15．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABCD
【分析】变形后表示为，再由奔驰定理得出向量的关系，利用平面向量基本定理判断A，利用数量积的运算，变形后证明是的重心，由平面几何知识判断B，利用数量积的定义表示已知数量积的等式，结合选项B的结论可证明C，求出的面积，利用选项B的结论转化，再利用选项C的结论可得面积比，然后结合奔驰定理可判断D．
【详解】因为，所以，即，所以，
又由奔驰定理得，
因为不共线，所以，
所以，A正确；
延长分别与对边交于点，如图，
由得，所以，同理，所以是的垂心，
所以四边形中，，所以，B正确；
由得，
所以，
由选项B得，，，
所以，C正确；
由上讨论知，
，
，
所以，
又由选项C：，
得，
由奔驰定理：得，D正确．
故选：ABCD．
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查学生的创新能力，理解新知识、应用新知识的能力．解题关键一是利用平面向量基本定理知用基底表示平面上任一向量的方法是唯一的，由此可得等量关系，二是利用数量积的运算得出是三角形的垂心，由此利用平面几何知识得出角的关系，再利用三角函数知识进行推导得出相应结论．
三、填空题
16．在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的 心.
【答案】内
【分析】利用平面向量的线性运算得到，再利用三角形内心的性质求解即可．
【详解】，，
，
，
，分别是，方向上的单位向量，
向量平分，即平分，同理平分，
为的内心，
故答案为：内
17．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
【答案】外心
【分析】为中点，连接，计算，，得到，得到答案.
【详解】如图所示：为中点，连接，
，
，故，
即，故的轨迹一定经过的外心.
故答案为：外心
18．请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P是的重心，则有；
②若成立，则P是的内心；
③若，则；
④若P是的外心，，，则；
⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为.
则正确的命题有 .（填序号）

【答案】①②④⑤
【分析】根据已知可推得，根据“奔驰定理”即可得出①；记点P到AB，BC，CA的距离分别为，，，根据“奔驰定理”得出，进而结合已知即可得出②；根据平面向量基本定理表示出，根据“奔驰定理”化简，结合，不共线，即可推得③错误；根据已知得出，换元为三角函数，根据辅助角公式化简即可得出④；根据已知推得.然后根据余弦定理，结合基本不等式，即可得出范围.
【详解】对于①：如图所示，因为D，E，F分别为CA，AB，BC的中点，
所以，，，
同理可得，，
所以，
又因为，
所以，故①正确；
对于②：记点P到AB，BC，CA的距离分别为，，，
则，，，
因为，则，
即.
又因为，
所以，所以点P是的内心，故②正确；
对于③：因为，
所以，，，
所以
，
化简得，
又因为，不共线，
所以，即，
所以，，故③错误；
对于④：因为P是的外心，，
所以，，.
因为，
则，
化简得 .
由题意知m，n不同时为正.记，，
则，
因为，
所以，即，
所以，故④正确；
对于⑤：∵O为的内心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，，
∴.
∵(当且仅当时取等号)，
∴，∴，
∴(当且仅当时取等号)，
∴的最大值为，故⑤正确.
故答案为：①②④⑤.
19．年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知为内一点，，，的面积分别为，，，则有，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知的内角的对边分别为，且，为内的一点且为内心.若，则的最大值为 .
【答案】/.
【分析】根据内心特点可知，利用向量线性运算进行转化可求得，，则；利用余弦定理和基本不等式可求得，由此可得的最大值.
【详解】为的内心，，，
，
，，
即，，；
（当且仅当时取等号），
，，（当且仅当时取等号），
的最大值为.
故答案为：.
20．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 .
【答案】
【分析】利用为的内心，再结合奔驰定理可得，再由已知条件转化可得，利用平面向量基本定理可知，从而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得.
【详解】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则，
由可得，所以，
又，
则，所以，
两式相加可得，化简可得，
又，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用奔驰定理得到，再结合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大