2025高考数学专项讲义第16讲拉格朗日中值定理在导数中的应用(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第16讲拉格朗日中值定理在导数中的应用(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)，共62页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测，方法点睛等内容，欢迎下载使用。
（2类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数解决函数基本问题
2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义
3能运用拉格朗日中值定理解题
【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解题的好处，需学生灵活学习
知识讲解
1.拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数f（x）满足如下条件：
（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；
（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得．
2.拉格朗日中值定理的几何意义
如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线．
需要注意的地方（逆命题不成立）
拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于
切线斜率,如fx=x3在x=0处的切线斜率为0,但fx不存在割线使割线斜率等于0
拉格朗日公式还有下面几种等价形式
，
，
．
注：拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，．
考点一、拉格朗日中值定理的认知及简单应用
1．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为 .
2．（2024高三上·全国·专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：.）
A．1B．2C．0D．
3．（2024高三上·全国·专题练习）已知，，
(1)若在处取得极值，试求的值和的单调增区间；
(2)如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于．
1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数满足如下条件．（1）在闭区间上是连续的；（2）在开区间上可导则在开区间上至少存在一点ξ，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被称为“拉格朗日中值”．则在区间上的“拉格朗日中值” ．
2．（2024·河北衡水·三模）已知．
(1)求的单调区间和最值；
(2)定理：若函数在上可导，在上连续，则存在，使得．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：
若，求证：．
3．（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.
(1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”；
(2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；
(3)若，且，求证:.
考点二、拉格朗日中值定理在导数中的综合应用
设 ,
求证: 当 时, 对任意 , 有
设 ,
当 时, 若对任意的 成立, 求的取值范围
设 , 若对任意 , 都有 , 求的范围
1．（2024·天津·高考真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立，求的值；
(3)若，证明．
2．（2024·山东济宁·一模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立；
(3)设，，数列的前项和为．证明：．
3．（高三上·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）设,证明.
1．（2022高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
2．（21-22高二下·广东深圳·期中）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)任取两个正数，当时，求证：.
3．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个极值点，证明：
4．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数.
(1)试判断函数的单调性；
(2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：.
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
6．（2023·山东淄博·二模）已知函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，是函数的两个极值点，且，求证：.
7．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数，其中.
(1)当时，求的极值；
(2)当，时，证明：.
8．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知函数，．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)设是函数的两个极值点，证明：．
9．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数.
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值.
10．（2022高三·全国·专题练习）已知函数，的导函数是．对任意两个不相等的正数、，证明：
(1)当时，；
(2)当时，．
11．（21-22高二下·安徽合肥·期中）已知函数（为常数）
(1)讨论的单调性
(2)若函数存在两个极值点，且，求的范围.
12．（22-23高二下·河南洛阳·期末）已知函数（a为常数）．
(1)若函数是增函数，求a的取值范围；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
13．（2023·湖南常德·一模）已知函数（）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若两个极值点，，且，求的取值范围.
14．（21-22高二下·天津·期中）已知函数
(1)若，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)当时，讨论f（x）的单调性；
(3)设f（x）存在两个极值点且，若求证：.
15．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数.
(1)若函数为增函数，求的取值范围；
(2)已知.
（i）证明：；
（ii）若，证明：.
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且在处取得极大值．
(1)求的值与的单调区间．
(2)如图，若函数的图像在连续，试猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求的表达式〔用含的式子表示〕．
(3)利用这条性质证明：函数图像上任意两点的连线斜率不大于．
17．（2024·湖北襄阳·三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在上是一条连续不断的曲线；
②在内可导;
③对，，则，使得.
特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数.
(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（2024·广东·二模）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不断，在开区间内的导数为，那么在区间内存在点，使得成立．设，其中为自然对数的底数，．易知，在实数集上有唯一零点，且．
(1)证明：当时，；
(2)从图形上看，函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标．直接求解的零点是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可在中选定一个作为的初始近似值，使得，然后在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列．
①当时，证明：；
②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：为递减数列，且．请以此为前提条件，证明：．
19．（23-24高二下·重庆·期中）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数，满足①图象在上是一条连续不断的曲线；②在内可导；③对，．则，使得．特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理．
(1)设函数满足，其导函数在上单调递增，判断函数在的单调性并证明；
(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，求证：．
20．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数、，的图象在处的切线与轴平行．
(1)求，的关系式并求的单调减区间；
(2)证明：对任意实数，关于的方程：在,恒有实数解；
(3)结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数是在闭区间,上连续不断的函数，且在区间内导数都存在，则在内至少存在一点，使得．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当时，（可不用证明函数的连续性和可导性）．
1．（2020·天津·高考真题）已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
2．（四川·高考真题）已知函数，的导函数是．对任意两个不相等的正数、，证明：
(1)当时，；
(2)当时，
拉格朗日中值定理在导数中的应用
（高阶拓展、竞赛适用）
（2类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数解决函数基本问题
2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义
3能运用拉格朗日中值定理解题
【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解题的好处，需学生灵活学习
知识讲解
1.拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数f（x）满足如下条件：
（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；
（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得．
2.拉格朗日中值定理的几何意义
如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线．
需要注意的地方（逆命题不成立）
拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于
切线斜率,如fx=x3在x=0处的切线斜率为0,但fx不存在割线使割线斜率等于0
拉格朗日公式还有下面几种等价形式
，
，
．
注：拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，．
考点一、拉格朗日中值定理的认知及简单应用
1．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为 .
【答案】2
【分析】根据拉格朗日中值定理的定义可构造方程，解方程即可求得“拉格朗日中值点”的个数.
【详解】，，
令，解得：或，
在上的“拉格朗日中值点”的个数为.
故答案为：.
2．（2024高三上·全国·专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：.）
A．1B．2C．0D．
【答案】B
【分析】利用给定的定义分别求出的值，即可得解.
【详解】设函数在区间上的“中值点”为，由，得，
则由拉格朗日中值定理得，，即，而，
则，即函数在区间上的“中值点”的个数为1，因此，
设函数在区间上的“中值点”为，由，求导得，
由拉格朗日中值定理得，，即，
令函数，函数在上单调递增，，
则函数在上有唯一零点，即方程在区间上有1个解，
因此函数在区间上的“中值点”的个数为1，即，
所以.
故选：B
3．（2024高三上·全国·专题练习）已知，，
(1)若在处取得极值，试求的值和的单调增区间；
(2)如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于．
【答案】(1)，和
(2)证明见解析
【分析】（1）利用极值的性质求得，再利用导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）利用导数的几何意义猜想拉格朗日中值定理，再利用导数的运算，结合基本不等式即可得证.
【详解】（1）因为，则，
依题意，有，即．
所以，，
令，得或，
令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以满足题意，同时，的单调增区间为和；
（2）猜想如下：
因为表示的两端点连线的斜率，
而由题可知，上必然存在点，使得其切线的斜率为，即，
所以一定定存在，使得；
证明如下：
因为，
则．
由猜想可知，对于函数图象上任意两点，
在之间一定存在一点，使得，
又，故有.
1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数满足如下条件．（1）在闭区间上是连续的；（2）在开区间上可导则在开区间上至少存在一点ξ，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被称为“拉格朗日中值”．则在区间上的“拉格朗日中值” ．
【答案】
【分析】根据拉格朗日中值满足求解即可.
【详解】由题意，，故，即，
故，又，故.
故答案为：
2．（2024·河北衡水·三模）已知．
(1)求的单调区间和最值；
(2)定理：若函数在上可导，在上连续，则存在，使得．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：
若，求证：．
【答案】(1)当时，单调递减；
当时，单调递增．
当时，取得最小值1，无最大值
(2)证明见解析
【分析】（1），令，求根，判断在其左右两侧的导数符号可得结论；
（2）要证，需证，令，求导可得由拉格朗日中值定理知存在，使得， 进而利用（1）可证结论.
【详解】（1），令，解得，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
当时，取得最小值1，无最大值；
（2）要证，只需证，因为，
故只需证．
令，显然在上可导，在上连续，
故由拉格朗日中值定理知存在，使得，
而在上单调递增，
因为，故，即，
故只需证即可，因为，故只需证．
由（1）知恒成立，因此原命题得证．
3．（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.
(1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”；
(2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；
(3)若，且，求证:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，解得即可；
（2）不妨设，，，则，求出函数的导函数，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明，再结合拉格朗日中值定理证明即可；
（3）由拉格朗日中值定理可知只需证明，即证明在上单调递减，求出导函数，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得证.
【详解】（1）当时，则，
因为为函数在上的“拉格朗日中值点，
则，
即，解得
（2）当时，
不妨设，，，则，
又，令，
则，
又，所以恒成立，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，
所以，所以，
由拉格朗日中值定理可知必存在使得，
即，又，所以，
即函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；
（3）当时，
由拉格朗日中值定理知，存在和，
使得，，
所以只需证明，即证明在上单调递减，
又，
令，
则，
令，
则，
当时，
令，，则，则在上单调递增，
又，，
所以存在使得，
所以当时，则，即单调递增，
当时，则，即单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，
所以
，
所以，所以在上单调递减，
即在上单调递减，命题得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
考点二、拉格朗日中值定理在导数中的综合应用
设 ,
求证: 当 时, 对任意 , 有
证明: 由拉格朗日中值定理可知只需证 对 恒成立
由 ,
因为
所以
则
设 ,
当 时, 若对任意的 成立, 求的取值范围
解: 由拉格朗日中值定理, 可知必存在 ,
使得 ,
当 且 时,

由题意 ,
即
设 , 若对任意 , 都有 , 求的范围
解: 时, 等价于 ,
由拉格朗日中值定理, 存在 使得 ,
故只需 恒成立即可
又 ,
所以
1．（2024·天津·高考真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立，求的值；
(3)若，证明．
【答案】(1)
(2)2
(3)证明过程见解析
【分析】（1）直接使用导数的几何意义；
（2）先由题设条件得到，再证明时条件满足；
（3）先确定的单调性，再对分类讨论.
【详解】（1）由于，故.
所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为.
（2）设，则，从而当时，当时.
所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当.
设，则
.
当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有.
一方面，若对任意，都有，则对有
，
取，得，故.
再取，得，所以.
另一方面，若，则对任意都有，满足条件.
综合以上两个方面，知的值是2.
（3）先证明一个结论：对，有.
证明：前面已经证明不等式，故，
且，
所以，即.
由，可知当时，当时.
所以在上递减，在上递增.
不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当时，有，结论成立；
情况二：当时，有.
对任意的，设，则.
由于单调递增，且有
，
且当，时，由可知
.
所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时.
故在上递减，在上递增.
①当时，有；
②当时，由于，故我们可以取.
从而当时，由，可得
.
再根据在上递减，即知对都有；
综合①②可知对任意，都有，即.
根据和的任意性，取，，就得到.
所以.
情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，.
而根据的单调性，知或.
故一定有成立.
综上，结论成立.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合的单调性进行分类讨论.
2．（2024·山东济宁·一模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立；
(3)设，，数列的前项和为．证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】
（1）先求函数的导函数，然后根据导函数对进行分类讨论即可；
（2）先构造函数，可判断在区间上单调递减，构造函数，根据其单调性，可判断，，进而可判断，，进而结合根的存在性定理可证；
（3）先令，时，，即，可得，放缩后裂项相消可证.
【详解】（1）
函数的定义域为，，
①若，恒成立，在上单调递增．
②若，时，，单调递增；
时，，单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）
证明：令，
则
因为，
所以，在区间上单调递减．
令，，则，
所以，时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，，
又，所以，，所以恒成立，
又因为，，所以，．
同理可得，，
由（时等号成立）得，，即（时等号成立），
又，所以，所以恒成立，
又因为，，，所以，，
所以，区间上存在唯一实数，使得，
所以对任意，存在唯一的实数，使得成立；
（3）
证明：当时，由（1）可得，在上单调递减．
所以，时，，即．
令，，则，
即，即
令，，则，
所以，，
所以，.
【点睛】关键点点睛：第二问证明方程在区间上具有唯一解，可根据函数的单调性，和根的存在性定理综合判断；
第三问，先利用函数对进行放缩，后利用裂项相消法证明.
3．（高三上·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）设,证明.
【答案】（1）0；(2)详见解析.
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值．（2）先将代入函数得到的表达式后进行整理，根据（1）可得到，将放缩变形为代入即可得到左边不等式成立，再用根据的单调性进行放缩．然后整理即可证明不等式右边成立．
【详解】(1）由已知可得x>-1, -1，令0得x=0.
当-10时，1时，，
由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即.
因为，，，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，当时，任意的，且，有
.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
2．（四川·高考真题）已知函数，的导函数是．对任意两个不相等的正数、，证明：
(1)当时，；
(2)当时，．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先化简与，利用基本不等式分项进行证明，再综合作答；
（2）先用分析法找出特征式的等价不等式，再构造函数，转化为求函数的最值问题，利用导数研究函数的极值和最值即可证明.
【详解】（1）证明：（1）由，得：
，
，
而①
又，
所以②
因为，
所以，
因为，③
由①、②、③，得：，
即．
（2）证明：由，得
则
要证，
只需证即可.
下面证明对任意两个不相等的正数，，有恒成立.
即证成立，
因为，
设，，
则，
令，得，列表如下：
所以
所以
即对任意两个不相等的正数，，恒有
【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，如本题中（2）问分离参数，得到．
3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，难度较大，如本题中利用换元思想（）构造函数
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单调递减
极小值
单调递增
单调递减
极小值
单调递增
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单调递减
极小值
单调递增