2024-2025学年广东省湛江市高二上册10月联考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省湛江市高二上册10月联考数学学情检测试题（含解析），共24页。
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 设，且，则（ ）
A. B. 0C. 3D.
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为
D. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则
4. 如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值为（ ）

A. B. C. 1D. -1
5. 过点作直线，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线的条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（ ）
A. B.
C D.
7. 已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
B.
C. D.
8. 如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ）
A. 1B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线过点，且与轴、轴分别交于A，B点，则（ ）
A. 若直线的斜率为1，则直线的方程为
B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为
C. 若M为的中点，则的方程为
D. 直线的方程可能为
10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）

A CC1⊥BD
B.
C. 夹角是60°
D. 直线与直线的距离是
11. 如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为B. 平面
C. 平面D. 二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线：与直线：平行，则___________．
13. 已知，若点在线段AB上，则的取值范围是_______.
14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，，，，若，则_________．
四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
（1）求所在直线的方程；
（2）求高所在直线的方程.
16. 已知直线.
（1）求证：直线过定点；
（2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.
17. 已知．
（1）求在上的投影向量；
（2）若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标；
（3）若点，求点P到平面的距离．
18. 如图，在长方体中，，点E在棱AB上移动.
（1）求证.
（2）当点E为棱AB的中点时，求CE与平面所成角的正弦值.
（3）在棱AB上是否存在点M，使平面与平面AMC所成角为？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由.
19. 已知，，，定义一种运算：，已知四棱锥中，底面一个平行四边形，，，
（1）试计算的绝对值的值，并求证面；
（2）求四棱锥的体积，说明的绝对值的值与四棱锥体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义.
2024-2025学年广东省湛江市高二上学期10月联考数学学情检测试题
说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟，
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角．
【详解】设直线的倾斜角为，
因为该直线的斜率为，所以，所以，
故选：A
2. 设，且，则（ ）
A. B. 0C. 3D.
【正确答案】D
【分析】由向量的共线与垂直条件求解的坐标，再由向量坐标运算及求模公式可得.
【详解】，
由，则有，解得，则.
由，则有，解得，，
所以，故，
则.
故选：D.
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 点关于平面对称点的坐标是
B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若直线l方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为
D. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则
【正确答案】C
【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D.
【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；
对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，
，有，则或，B选项错误；
对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，
则直线l与平面所成的角为，C选项正确；
对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，
若，则，解得，D选项错误.
故选：C.
4. 如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值为（ ）

A. B. C. 1D. -1
【正确答案】A
【分析】根据题意，求得和点关于轴的对称点，求得，结合三点共线，即可求解.
【详解】为光线满足的函数关系式为，
令，可得，即点，
又因为，则点关于轴的对称点为，
可得的斜率为，
因为三点共线，可得，所以.
故选：A.

5. 过点作直线，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线的条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】设直线的方程为，将点代入直线的方程，然后由判别式判断即可.
【详解】设直线的方程为，
将点代入，可得，
即，
由于，
所以方程有两个根，
故满足题意的直线的条数为2．
故选：B.
6. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据空间向量的基本定理结合线性运算的坐标表示求解．
【详解】点是棱的中点，则有
.
故选：A
7. 已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】当四边形ADD1A1为正方形时，可证AD1⊥B1C可判断A；当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD1可判断B；由长方体的性质可证AB⊥AD1，分别可得数量积为0，可判断C；可推在△BCD1中，∠BCD1为直角，可判BC与BD1不可能垂直，可得结论可判断D.
【详解】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有，故正确；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，，，
平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有，故正确；
选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有0，故正确；
选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即，故错误.
故选：D.
8. 如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ）
A. 1B. C. D.
【正确答案】C
【分析】过和分别作，，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．
【详解】解：过和分别作，，
在矩形，，
，
，
则，即，
平面与平面所成角的余弦值为，
,，
，
，，
则，
即与之间距离为，
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线过点，且与轴、轴分别交于A，B点，则（ ）
A. 若直线的斜率为1，则直线的方程为
B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为
C. 若M为的中点，则的方程为
D. 直线的方程可能为
【正确答案】AC
【分析】根据直线点斜式判断A，由过原点直线满足题意判断B，由中点求出A,B坐标得直线方程判断C，由直线与坐标轴有交点判断D.
【详解】对于A，直线l的斜率为1，则直线l的方程为，即，故A正确；
对于B，当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，l的方程为，故B错误；
对于C，因为中点，且A，B在轴、轴上，所以，，故AB的方程为，即，故C正确；
对于D，直线与x轴无交点，与题意不符，故D错误．
故选：AC．
10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）

A. CC1⊥BD
B.
C. 夹角是60°
D. 直线与直线的距离是
【正确答案】ABD
【分析】设，依题得运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项.
【详解】
如图，设，
则
对于A，因，
则，故A正确；
对于B，因，，
则，故B正确；
对于C，，则，
且
设夹角为，则，因，则，即C错误；
对于D,在平行六面体中，易得,
则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离.
因，
且，
则，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为B. 平面
C. 平面D. 二面角的余弦值为
【正确答案】ABC
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明面，平面，转换后求棱锥的体积，由空间向量法求二面角，从而判断各选项．
【详解】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，
，，分别为，，的中点，则，，，
，，
易知，所以共面，
又平面，所以面，C正确；
，A正确；
，，同理，
所以是平面的一个法向量，即平面，B正确；
平面的一个法向量是，
，因此二面角的余弦值为，D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线：与直线：平行，则___________．
【正确答案】2
【分析】结合已知条件，利用直线间的平行关系求出参数，然后对参数进行检验即可求解.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以，解得，，
当时，直线：，直线：，即，满足题意；
当时，直线：，直线：，即，
则此时两直线重合，不满足题意，舍去.
综上所述，.
故2.
13. 已知，若点在线段AB上，则的取值范围是_______.
【正确答案】
【分析】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
【详解】设，则，，
点是线段上的任意一点，
的取值范围是,，
故,
14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，，，，若，则_________．
【正确答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.
【详解】设,如下图所示，建立空间直角坐标系， ，，，，，则
所以
又因为
所以
故
四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
（1）求所在直线的方程；
（2）求高所在直线的方程.
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可；
（2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可.
【小问1详解】
因为是边的中点，所以，
所以直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即，
【小问2详解】
因为是边AB的中点，所以，
因为是边上的高，
所以，所以，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即.

16. 已知直线.
（1）求证：直线过定点；
（2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可；
（2）数形结合，结合直线图像可得解；
（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值.
【小问1详解】
由，即，
则，解得，
所以直线过定点；
【小问2详解】
如图所示，结合图像可知，
当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；
当时，直线斜率存在，方程为，
又直线不经过第二象限，则，解得；
综上所述；
【小问3详解】
已知直线，且由题意知，
令，得，得，
令，得，得，
则，
所以当时，取最小值，
此时直线的方程为，即.
17 已知．
（1）求在上的投影向量；
（2）若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标；
（3）若点，求点P到平面的距离．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量；
（2）根据可求的坐标；
（3）根据点面距公式可求点P到平面的距离．
【小问1详解】
，，故在上的投影向量为，
而.
【小问2详解】
设，则，故，
故的坐标为.
【小问3详解】
，设平面的法向量为m=x,y,z，
则即，取，则，，
故，
故点P到平面的距离为.
18. 如图，在长方体中，，点E在棱AB上移动.
（1）求证.
（2）当点E为棱AB的中点时，求CE与平面所成角的正弦值.
（3）在棱AB上是否存在点M，使平面与平面AMC所成的角为？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，.
【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0即可证得垂直；
（2）先求得平面的法向量，再利用空间向量法求线面角即可得解；
（3）先求得平面与平面AMC法向量，再利用空间向量法求线面角即可得解.
【小问1详解】
以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，A1,0,0，，
所以，则，
所以.
【小问2详解】
因为E为AB的中点，所以，
从而，，，
设平面的法向量为，则，
即，得，令，则，
设CE与平面所成角为，
则，
所以CE与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
设这样的点M存在，且，，平面与平面AMC所成的角为，
则，，，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
易知平面AMC的一个法向量，
所以，
由，解得，
所以满足题意的点M存在，此时.
19. 已知，，，定义一种运算：，已知四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，
（1）试计算的绝对值的值，并求证面；
（2）求四棱锥的体积，说明的绝对值的值与四棱锥体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义.
【正确答案】（1）48，证明见解析；（2）体积为16，，的绝对值表示以为邻边的平行六面体的体积．
【分析】（1）根据新定义直接计算，由向量法证明线线垂直，得线面垂直；
（2）计算出棱锥体积后，根据数据确定关系．
【详解】（1）由题意＝48．
，，
∴，即．是平面内两相交直线，
∴平面．
（2）由题意，，
，
，
∴．
∴，
猜想：的绝对值表示以为邻边的平行六面体的体积．
本题考查向量的新定义运算，解题时根据新定义的规则运算即可．考查学生的创新意识，同时考查学生的归纳推理能力．