2024-2025学年广西钦州市高二上册10月月考数学学情检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广西钦州市高二上册10月月考数学学情检测试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为， “”是“直线与直线平行”， 已知定义在R上的函数f， 已知直线， 已知，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. -2D. 2
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 由三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 定义运算，则符合条件复数z的所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5. “”是“直线与直线平行”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知定义在R上的函数f（x）满足（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，设，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 若函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，下列关于函数的说法中，不正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数单调递增区间为，
D. 函数是奇函数
8. 已知直线：，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题
9. 设为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
A. 若与对立，则
B. 若与互斥，，则
C. 若，且，则与相互独立
D. 若与相互独立，，则
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则与的夹角为
C. 若与的夹角为，则在上的投影向量为
D. 的取值范围是
11. 对于直线.以下说法正确的有（ ）
A. 的充要条件是
B. 当时，
C. 直线一定经过点
D. 点到直线的距离的最大值为5
三､填空题
12. 设复数满足,其中是虚数单位，则___________．
13. 我国古代一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠.”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是____________.
14. 已知中，角的对边分别为，且，当取最大值时，的值为________
四､解答题
15. 某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

请完成以下问题：
（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；
（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
16. 已知平行四边形的三个顶点的坐标
（1）求平行四边形的顶点的坐标；
（2）求四边形的面积
17. 在三棱锥中，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 过点的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A、B.
（1）若P为AB的中点时，求l的方程；
（2）若最小时，求l的方程；
（3）若的面积S最小时，求l的方程.
19. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求A；
（2）求的取值范围.
2024-2025学年广西钦州市高二上学期10月月考数学学情检测试卷
一､单选题
1. 已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. -2D. 2
【正确答案】A
【分析】求出，再根据纯虚数概念得解.
【详解】由已知，复数为纯虚数，
所以得.
故选：A.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据斜率与倾斜角之间的关系即可得到答案.
【详解】设直线的倾斜角为，由题意得，
又因为，则，
故选：C.
3. 由三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】由题意得三个数字中只有1个偶数，且设概率为，
所以，即任取1个数，恰为偶数的概率是，故B正确.
故选：B
4. 定义运算，则符合条件的复数z的所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【正确答案】D
【分析】由题意，结合新定义的运算和复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意结合新定义的运算，得：，
则，故复数z对应的点位于第四象限.
故选：D
5. “”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【分析】根据两直线平行的条件进行判断
【详解】当时，直线与直线，
即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件；
若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意，
当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件；
故选：C
6. 已知定义在R上函数f（x）满足（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f（x）在R上为增函数，又由0＜a=0.32＜1，b=lg20.3＜0，c=20.3＞1，分析可得答案．
【详解】根据题意，定义在R上的函数f（x）满足（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，
则函数f（x）在R上为增函数，
又由0＜a=0.32＜1，b=lg20.3＜0，c=20.3＞1，
则有b＜a＜c， 则f（b）＜f（a）＜f（c），
故选B．
本题主要考查了函数的单调性的判定及应用，其中解答中根据题意正确得到函数的单调性，合理利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7. 若函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，下列关于函数的说法中，不正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的单调递增区间为，
D. 函数是奇函数
【正确答案】C
【分析】根据函数的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项，从而得出结论.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得，
时，，为的最大值，所以选项A正确；
时，，所以选项B正确；
令，则 ，所以选项C错误；
为奇函数，所以选项D正确.
故选：C.
8. 已知直线：，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据直线的方程确定直线所过的定点，利用斜率公式求得直线和的斜率，根据过定点的直线与线段总有交点分析运算即可得解.
【详解】解：
如上图，由题意，直线方程可化为：
，由解得：，
∴直线过定点.
又∵，∴，，
∴由直线与线段总有公共点知直线的斜率满足或，
当时，直线的斜率，
∴直线的倾斜角满足或，
即直线的倾斜角范围为.
故选：C.
二､多选题
9. 设为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
A. 若与对立，则
B. 若与互斥，，则
C. 若，且，则与相互独立
D. 若与相互独立，，则
【正确答案】BD
【分析】根据互斥（或对立）事件概率的性质可判断AB的正误，根据独立事件的定义和性质可判断CD的正误.
【详解】对于A，若与对立，则，故A错误；
对于B，与互斥，则，故B正确；
对于C，因为，故，
故，故与不相互独立，故C错误；
对于D，因为，所以，
而与相互独立，故与相互独立，故，故D正确.
故选：BD.
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则与夹角为
C. 若与的夹角为，则在上的投影向量为
D. 的取值范围是
【正确答案】ACD
【分析】由数量积的定义得到A正确；由向量共线的定义得到B错误；由投影向量定义得到C正确；通过计算可得D正确.
【详解】若，则，A正确；
若，则与的夹角为或，B错误；
若与的夹角为，则，
则在上的投影向量为，C正确；
设与的夹角为，
则，
因为，则，所以，
所以的取值范围是，D正确.
故选：ACD
11. 对于直线.以下说法正确的有（ ）
A. 的充要条件是
B. 当时，
C. 直线一定经过点
D. 点到直线的距离的最大值为5
【正确答案】BD
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
三､填空题
12. 设复数满足,其中虚数单位，则___________．
【正确答案】
【分析】根据复数的乘除法计算，结合复数的共轭复数即可得答案.
【详解】由题意，得，
所以．
故
13. 我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠.”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是____________.
【正确答案】##0.6
【分析】列举基本事件，直接求概率即可.
【详解】随机选取2个不同数字组成,共有
而，，3，4，5，6，
，，2，4，5，6，
，，2，3，5，6，
，，2，3，4，6，
，，2，3，4，5，共有25种，
其中
1，2，3，4，5，6这6个数字中满足的数对有：
，，4，5；
，；
，；
，；
共15种，
所求概率为．
故答案：．
14. 已知中，角的对边分别为，且，当取最大值时，的值为________
【正确答案】
【分析】首先由余弦定理可得，再利用正弦定理将表达式转化为，接着利用三角恒等变换转化成，分析求得取最大值时，，从而得到的值.
【详解】由正弦定理得：,
所以，
因为，所以，
,
当，即 即 时，有最大值.
此时：．
故答案为.
判断三角形的最值问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
四､解答题
15. 某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

请完成以下问题：
（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；
（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
【正确答案】（1）93分 （2）
【分析】(1）先利用频率之和为1，计算出，进而求出平均值即可；(2）利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽2人，分别记为，需在内抽3人，分别记为.，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率．
【小问1详解】
由，
得.
数学成绩在：
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
样本平均值为：
可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分．
【小问2详解】
由题意可知，分数段的人数为（人），
分数段的人数为（人）.
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在分数段内抽2人，分别记为，
需在分数段内抽3人，分别记为.
设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件 A，
则样本空间共包含10个样本点而 A 的对立事件包含3个样本点，
所以．
即抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为
16. 已知平行四边形的三个顶点的坐标
（1）求平行四边形的顶点的坐标；
（2）求四边形的面积
【正确答案】（1）
（2）24
【分析】（1）由中点也是中点，设，根据中点坐标公式求解即可；
（2）求出直线的方程，点到直线距离公式求点到直线距离，根据两点间距离公式求线段的长，面积公式求四边形的面积.
【小问1详解】
平行四边形中，中点为，该点也为中点，设，
根据中点坐标公式得到：，解得，得；
【小问2详解】
直线的斜率，
代入点坐标可得到直线的方程为，
点到直线距离为，
又根据两点间距离公式得到：，
所以四边形ABCD的面积为.
17. 在三棱锥中，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）作,利用线面垂直的判定及性质定理即可求证；
（2）过点作于，即为与平面所成角，解直角三角形即可．
【详解】⑴如图，作，连接，
由，可知为边长为的正方形，，又，
所以平面，；
同理，,得平面，，
，所以平面，
所以，又，得平面，得．
⑵由⑴知平面，平面PAB，所以平面平面，过点作于，
平面，即为与平面所成角．
由于全等，，，所以为等边三角形，
，故，所以点为中点，故，
，所以与平面所成角和与平面所成角相等，
故直线与平面所成角的正弦值为．
关键点点睛：利用线面角的定义，过点作于，证明，即可得出线面角为是解题的关键，属于中档题.
18. 过点的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A、B.
（1）若P为AB的中点时，求l的方程；
（2）若最小时，求l的方程；
（3）若的面积S最小时，求l的方程.
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据中点坐标求出坐标，直接写出直线的截距式方程，再转化为一般式方程；
（2）设出直线的点斜式方程，表示出坐标，利用两点间距离公式先求解出，结合基本不等式求解出取最小值时斜率的取值，由此可求的方程；
（3）设出直线的截距式方程，根据点在直线上得到截距满足的关系式，再根据基本不等式可求的取值范围，由此可求取最小值时的值，则直线的方程可求.
【详解】设，，
为AB的中点，
，，
由截距式得l的方程为：，即；
设所求直线的方程为，由题意知，
令，可得，令，可得，
即，，
，
，
当且仅当，即时取等号，取最小值为12，
即直线l的方程为；
由题意设直线的截距式方程为，
直线过，，，，
当且仅当即且时取等号，
的面积，
面积的最小值为12，此时直线l的方程为，
即直线l的方程为.
19. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求A；
（2）求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】由正弦定理边化角再根据角度范围得角得大小；
根据锐角三角形得角得范围，然后将转化为关于角的正弦型三角函数，根据正弦型函数性质从而可得取值范围.
【小问1详解】
解：因为，由正弦定理得：，
又因为锐角中，，所以，
则，即，故；
【小问2详解】
解：由（1）得，，所以，
又因为锐角中得：，所以，
所以，
因为，所以，所以，
即的取值范围为