2024-2025学年河南省南阳市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（ ）
A. 5B. C. 3或5D. 或3
2. “”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若，，，则椭圆C的方程为（ ）
B.
C. D.
5. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知为椭圆焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（ ）
A B. 1C. D.
7. 已知椭圆:的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与交于两点，与轴的交点为，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知直线l1：mx-y+m=0与直线l2：x+my-1=0的交点为Q，椭圆的焦点为F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为；
B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C. 已知，O为坐标原点，点是圆外一点，且直线m的方程是，则直线m与圆E相交；
D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为；
10. 已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A. 点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1
B. 的最小值为
C. 若为直角三角形，则的面积为
D. 的范围为
11. 已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（ ）
A. 若，则椭圆的离心率为
B. 若，则椭圆的离心率为
C.
D. 若直线平行于x轴，则
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 过作圆切线，则其切线方程为____________.
13. 已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为______；若动点Q在圆上运动，则的最大值为______.
14. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为__________.
四、解答题（共5小题，共77分）
15. 设直线与直线交于P点.
（1）当直线m过P点，且与直线垂直时，求直线m的方程；
（2）当直线m过P点，且坐标原点O到直线m的距离为1时，求直线m的方程.
16. 已知圆C过点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程．
17. 在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为.
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆交于两点，且，求的值.
18. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程：
（2）过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率.
19. 已知椭圆：的左右焦点分别为，上顶点为，长轴长为，若为正三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点，斜率为的直线与椭圆相交两点，求的长；
（3）过点的直线与椭圆相交于两点，，求直线的方程.
2024-2025学年河南省南阳市高二上学期10月月考数学学情检测试题
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（ ）
A. 5B. C. 3或5D. 或3
【正确答案】C
【分析】根据题意先求出c的值，根据椭圆方程的标准形式，求出m的值．
【详解】由题有，所以
当椭圆方程的交点在轴时，
且，解得；
当椭圆方程的交点在轴时，
且，解得；
的值为5或3.
故选C.
2. “”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据给定直线方程求出的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】依题意，，解得或，
所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A
3. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】判断点在椭圆内，再借助“点差法”求出这条弦所在直线的斜率即可计算作答.
【详解】依题意，点在椭圆内，设这条弦的两个端点，
由得：，又，
于是得弦AB所在直线斜率，方程为：，即，
所以这条弦所在的直线方程是.
故选：B
4. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若，，，则椭圆C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】
根据椭圆的定义及已知求得，再解直角三角形求得求得即可求得椭圆的方程
【详解】设，有，
由可知，
又由椭圆的定义有，
可得，解得，
可得，
，，
故选：D.
本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
5. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】将圆的方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围.
【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径，
则表示圆上的点与点的连线的斜率，
过点作圆的切线方程，
显然，切线斜率存在，设切线方程为，即．
则k+2−kk2+1=1，解得，
所以的取值范围为．
故选：C．
6. 已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
【正确答案】A
【分析】先由焦点坐标求出椭圆方程，再根据椭圆定义转化，数形结合可得，得解.
【详解】
由为椭圆的焦点，
，，，
，，
设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义得，
，
所以的最小值为.
故选：A.
7. 已知椭圆:的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与交于两点，与轴的交点为，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据全等得到是等边三角形，得到与和的关系，得到离心率的值.
【详解】
连接，，
由题意得，，
易知，
，，
，
，，
，
是等边三角形，，
，，
.
故选：C
8. 已知直线l1：mx-y+m=0与直线l2：x+my-1=0的交点为Q，椭圆的焦点为F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】判断两条直线经过的定点，判断交点所在的位置，利用椭圆的定义判断求解即可．
【详解】椭圆的焦点为：，
由与方程可知
直线与直线的交点为，且两条直线经过定点，
它们交点满足：，在椭圆内部且与椭圆的短轴端点相交
当与重合时，取最小值为：
当与短轴端点重合时，取最大值为：
的取值范围是：
本题正确选项：
本题考查椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，关键能够通过直线经过的定点确定交点的位置．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为；
B. 圆上有且仅有3个点到直线距离都等于1
C. 已知，O为坐标原点，点是圆外一点，且直线m的方程是，则直线m与圆E相交；
D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为；
【正确答案】BC
【分析】A选项，考虑截距为0时，求出直线l的方程为，A错误；
B选项，得到圆心到直线的距离刚好为圆半径的一半，故可判断B正确；
C选项，首先根据点在圆外得到不等式，再使用点到直线距离公式得到圆心到直线距离小于半径，从而得到C选项正确；
D选项，求出直线过的定点，画出图象，结合定点与端点处连线的斜率，求出实数k的取值范围.
【详解】A：当截距为0时，设直线l的方程为，代入，
解得：，则直线l的方程为，
当截距不为0时，设直线l的方程为，
代入，解得：，此时直线l的方程为，
综上：直线l的方程为或.故A错误；
B：圆的圆心为，半径为2，
圆心到直线的距离为，刚好为半径的一半，
所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故B正确；
C：已知，O为坐标原点，点是圆外一点，所以，
直线m的方程是，则圆心到直线m的距离为，所以直线m与圆E相交，故C正确；
D：直线整理为，即过定点，
如图所示，
，，
要想直线与以，为端点的线段相交，
则实数k的取值范围为或，故D错误.
故选：BC
10. 已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A. 点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1
B. 的最小值为
C. 若为直角三角形，则的面积为
D. 的范围为
【正确答案】ACD
【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用位于椭圆上顶点时最大求解即可；对于C，利用点坐标求的面积即可；对于D，设利用二次函数求的范围即可.
【详解】对A，易知，则，故A正确；
对B，位于椭圆上顶点时最大，
此时最小，且
故此时为等边三角形，，故B错误；
对C，若为直角三角形，由B知， ，
所以或，不妨设，
则此时点横坐标，代入，得，
故的面积为：，故C正确；
对D，,设
则，
由得：，
故，
故，故D正确.
故选：ACD
11. 已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（ ）
A. 若，则椭圆的离心率为
B. 若，则椭圆的离心率为
C.
D. 若直线平行于x轴，则
【正确答案】ACD
【分析】对于A，则，故，则利用与离心率公式即可得解；对于B，设Ax0,y0，，接着利用和结合离心率公式直接计算即可求解；对于C，根据三角形中位线即可得解；对于D，设，则，根据已知条件求出和中点，再利用点关于直线对称的理论列式求出即可得解.
【详解】如图，直线l与交于G，
对于A，若，则，所以，
所以，故A正确；
对于B，设Ax0,y0，则，且即，
所以，
所以，故B错误；
对于C，由题意可知是中位线，故，故C正确；
对于D，设点，则直线，
因为直线平行于x轴，所以点的中点，
所以由点G在直线l上且得，
解得，即，
因此，故D正确.
故选：ACD．
方法点睛：点关于直线对称的点的计算求解步骤：
（1）设所求点坐标，
（2）利用中点坐标公式求出中点坐标，
（3）利用中点坐标在直线上和两点所在直线与已知直线垂直则斜率乘积为这两个条件建立关于所求点坐标的方程组，利用该方程组即可求解.
（4）遇特殊直线如或一般直接得解.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 过作圆的切线，则其切线方程为____________.
【正确答案】或
【分析】
当过点的直线斜率不存在时，方程是，通过验证圆心到直线的距离，得到符合题意；当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于的方程，解之得，进而得到直线的方程，最后综合可得答案．
【详解】圆的圆心为，半径为1，
（1）当过点的直线垂直于轴时，
此时直线斜率不存在，方程是，
圆心到直线的距离为，
直线符合题意；
（2）当过点的直线不垂直于轴时，
设直线方程为，即．
直线是的切线，
点到直线的距离为，解之得，
此时直线方程为．
切线方程为或．
故或．
借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
13. 已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为______；若动点Q在圆上运动，则的最大值为______.
【正确答案】 ①. ②.
【分析】由题意得出，得到点满足，根据椭圆的定义，求得点表示为焦点的椭圆，即可求解.
将求最大值的问题，转化为求点P到圆心距离最大值的问题，结合点P满足椭圆方程，转化为二次函数求给定区间的最大值即可.
【详解】由题意，圆的圆心为，点，
线段的垂直平分线交于点，
所以是的垂直平分线上的一点，所以，
又由，所以点满足，
根据椭圆的定义，可得点表示为焦点的椭圆，其中，
可得，所以，
所以椭圆的方程为.
圆的方程为，
圆心，半径，
设，则，，
到圆心的距离，
又当时，取得最大值，
最大值为：，
故，.
14. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为__________.
【正确答案】
【分析】设是椭圆的右焦点，分析可知为平行四边形，根据椭圆定义可得，利用余弦定理运算求解.
【详解】设是椭圆的右焦点，连接，

由对称性可知：，则为平行四边形，
则，即，
因为，则，
中，由余弦定理可得，
即，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为.
四、解答题（共5小题，共77分）
15. 设直线与直线交于P点.
（1）当直线m过P点，且与直线垂直时，求直线m的方程；
（2）当直线m过P点，且坐标原点O到直线m的距离为1时，求直线m的方程.
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）由题意求得，利用两直线的位置关系求出直线m的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解；
（2）易知当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，利用点到直线的距离公式建立关于k的方程，结合直线的点斜式方程即可求解.
【小问1详解】
由，解得，即点.
由直线可知.
，直线m的斜率，又直线m过点，
故直线m的方程为：，即.
【小问2详解】
因为直线m过点，
①当直线m的斜率存在时，可设直线m的方程为，即.
由坐标原点O到直线m的距离，解得，
因此直线m的方程为：，即.
②当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为，验证可知符合题意.
综上所述，所求直线m的方程为或.
16. 已知圆C过点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；
（2）根据点关于直线对称的特征列方程可得，利用直线点斜式方程即可得出结果.
【小问1详解】
由，得直线AB的斜率为，线段中点
所以，直线CD的方程为，即，
联立，解得，即，
所以半径，
所以圆C的方程为；
【小问2详解】
由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心，
设点M关于直线的对称点，
则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上，
则有，解得，所以，
所以直线CN即为直线，且，
直线方程为，即.

17. 在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为.
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆交于两点，且，求的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由直线与圆相切的性质结合点到直线的距离可得半径，即可得解；
（2）由题意联立方程组，结合韦达定理、平面向量垂直的性质联立方程组即可求得m，即可得解.
【小问1详解】
∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为，
∴圆C的半径，
则圆C的方程为；
【小问2详解】
联立，得，
由，解得，
设，
则，
∵，∴，
即，
∴，解得，符合题意，
∴．
18. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程：
（2）过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率.
【正确答案】（1）；
（2）
【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式列出方程求解即得.
【小问1详解】
由椭圆的离心率为，得，解得，
由椭圆过点，得，联立解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，，则，
由消去得，显然，
则，
的面积
，解得，
所以直线的斜率.

19. 已知椭圆：的左右焦点分别为，上顶点为，长轴长为，若为正三角形.
（1）求椭圆标准方程；
（2）过点，斜率为的直线与椭圆相交两点，求的长；
（3）过点的直线与椭圆相交于两点，，求直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据题干条件求出即可得到椭圆标准方程；
（2）联立直线和椭圆方程，直接利用弦长公式进行求解；
（3）联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，列方程组求解.
【小问1详解】
依题意，，则，由为正三角形，则，故，于是，故椭圆的标准方程为：；
【小问2详解】
由（1）知，，故该直线为：，和椭圆联立：
，整理可得，故，由弦长公式，
【小问3详解】
显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾），设直线为：，和椭圆方程联立得，，
，则，故，
由韦达定理可得：，，
于是，，故，
即，
化简可得，解得，
故直线为：