2024-2025学年河南省周口市高二上册10月月考数学阶段检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河南省周口市高二上册10月月考数学阶段检测试题（附解析），共25页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 图中4条直线中斜率最小的是（ ）
A. B. C. D.
2 已知向量与平行，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线一个方向向量为，平面的一个法向量为，若∥，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面与的距离为（ ）
A. 2B. C. 3D.
6. 已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在长方体中，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若直线不经过第四象限，则实数的可能取值为（ ）
A. B. C. 3D. 4
10. 在空间直角坐标系中，已知点，其中，若四边形为菱形，则（ ）
A B.
C. D.
11. 已知点和，是直线上的动点，则（ ）
A. 存在，使最小B. 存在，使最小
C. 存，使最大D. 存在，使最小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，若，则________．
13. 已知，平面内三点共线，则________．
14. 已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知空间中三点，设向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）若向量与共线，且，求的坐标．
16. 已知直线的方程为，直线经过点和．
（1）若，求的值；
（2）若当变化时，总过定点，求．
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，且，为棱中点．

（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．

（1）求直线的倾斜角的取值范围．
（2）是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？
（3）设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围．
19. 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．
（1）若直线与都在平面内，求平面的方程；
（2）在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标；
（3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
2024-2025学年河南省周口市高二上学期10月月考数学阶段检测试题
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 图中4条直线中斜率最小的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即可得.
【详解】由图易得，故的斜率最小.
故选：C.
2. 已知向量与平行，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据空间向量平行的坐标表示求出、的值，即可得出的值.
【详解】因为向量与平行，则，解得，，
因此，.
故选：D.
3. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若∥，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】根据线面平行的性质，知直线的方向向量与平面的法向量垂直，从而，代入求解即可.
【详解】∥，，，得.
故选.
4. 将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】分析可知，所得直线与直线垂直，可得出所求直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】由题意可知，所得直线与直线垂直，即所求直线的斜率为，
因此，所求直线的方程为，即.
故选：C.
5. 已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面与的距离为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【正确答案】A
【分析】平面与的距离即点到平面的距离,利用向量法求点到平面的距离.
【详解】平面均以为法向量，则，
平面经过点，则平面与的距离等于点到平面的距离，
平面经过坐标原点，，
点到平面的距离，
所以平面与的距离为2.
故选：A.
6. 已知直线与平行，且、之间距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据题意，设直线的方程为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，化简直线的方程，即可得出结果.
【详解】因为直线与平行，设直线的方程为，
因为、之间的距离与点到的距离均为，
则，解得，
所以，直线的方程为，即，
故直线在轴上的截距为.
故选：B.
7. 如图，在长方体中，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解.
【详解】由题意得，，
∴，
∴.
A.如图，过点作于点，
对于A，由向量数量积的几何意义得 ，
由于点是动点， 所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误；
对于B，，
由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误；
对于C， ，由于不是定值，故选项C错误；
对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值.
故选：D.
8. 如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】建立适当空间直角坐标系后，可结合正四面体性质得到各点坐标，即可得直线与的方向向量，再利用空间向量夹角公式求解即可得.
【详解】取中点建立如图所示空间直角坐标系，
设正四面体边长为，则，，，
由正四面体性质可得，则，
即，则，，
，，
则，
则，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若直线不经过第四象限，则实数的可能取值为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【正确答案】BC
【分析】由直线过定点，讨论直线斜率范围即可.
【详解】直线方程可化为，
由，解得，即直线过定点，定点在第二象限，
直线不经过第四象限，则直线斜率不存在或斜率大于等于0，
时，直线斜率不存；
斜率大于等于0，即，解得.
综上可知，实数的取值范围为，BC选项符合.
故选：BC.
10. 在空间直角坐标系中，已知点，其中，若四边形为菱形，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】由菱形的对角线互相垂直且互相平分，利用中点坐标公式和向量数量积的坐标运算，求的值.
【详解】四边形为菱形，则有对角线和互相平分，由中点坐标公式，
有，得，，，AB选项正确；
可得，
四边形为菱形，对角线和互相垂直，
，，
，解得，D选项正确；
时，时，C选项错误.
故选：ABD.
11. 已知点和，是直线上的动点，则（ ）
A. 存在，使最小B. 存在，使最小
C. 存在，使最大D. 存在，使最小
【正确答案】ACD
【分析】A：先求点关于直线的对称点为，根据直线与直线的交点坐标即可判断；B：为线段的垂直平分线与直线的交点；C：根据绝对值的特点得出为直线与直线的交点；D： 设出点坐标，根据二次函数的性质求解出取最小值时点坐标.
【详解】在平面直角坐标系中作出点和直线，
由图可知，点和在直线同侧，
设点关于直线的对称点为，
则有，解得，得，
，当且仅当为直线与直线的交点时有最小值，
直线的斜率为，方程为，
由，解得，存在，使最小，A选项正确；
最小值为0，当且仅当，即为线段的垂直平分线与直线的交点，
的中点坐标为，直线的斜率为，
则线段的垂直平分线方程为，即，
，解得，存在，使最小，B选项错误；
，当且仅当为直线与直线的交点时有最大值，
直线的方程为，即，
，解得，存在，使最大，C选项正确；
设， ，
当时有最小值，此时，
所以存在，使最小，D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，若，则________．
【正确答案】
【分析】根据向量数量积公式及夹角公式可得方程，解方程即可.
【详解】由，，
则，，，，
则，
解得，
故答案为.
13. 已知，平面内三点共线，则________．
【正确答案】
【分析】由求解即可.
【详解】解：因为三点共线，
所以，
又因为，
所以，
整理得：，
即，
又因为，
解得.
故
14. 已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是________．
【正确答案】##
【分析】由题意可计算出该正四棱锥底面边长及高，建立适当空间直角坐标系后可表示出的方向向量及的坐标，即可表示的方向向量，要使线段的长度最小，则为的公垂线，通过空间向量计算即可得解.
【详解】设该正四棱锥底面边长为，高为，
则由题意可得，解得，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则有、A2,0,0、、，
则，，
则可设，，，，
则，
要使线段的长度最小，则为的公垂线，
即有，
解得，符合题意，
此时，则.
即线段长度的最小值.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知空间中三点，设向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）若向量与共线，且，求的坐标．
【正确答案】（1）
（2）或.
【分析】（1）求出、后，借助向量坐标形式的线性运算与数量积公式计算即可得；
（2）借助向量共线定理可得，借助模长公式计算即可得.
【小问1详解】
，，
则，
由，
故，
解得；
【小问2详解】
，，
向量与共线，且，则，
即或.
16. 已知直线的方程为，直线经过点和．
（1）若，求的值；
（2）若当变化时，总过定点，求．
【正确答案】（1）或；
（2）.
【分析】（1）表示出直线和的斜率，利用斜率乘积为求解即可；
（2）将直线方程变形，解方程组求出定点坐标，利用两点间距离公式求长度.
【小问1详解】
由题意得，，的斜率为，的斜率为.
∵，
∴，即，
解得或.
【小问2详解】
方程可改写为：，
由，得，
∴过定点，
∴.
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，且，为棱的中点．

（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）
【分析】（1）取中点，利用等边三角形证明，利用勾股定理证明，通过线面垂直证明面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，结合公式求直线与平面夹角的正弦值.
【小问1详解】

如图，取中点，连接.
∵为等边三角形，
∴.
设，则，，，
∴，
∴，
∵，平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
【小问2详解】
取中点，连接，由（1）可知两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，
则，可得，
取，则，，
可取.
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
18. 如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．

（1）求直线的倾斜角的取值范围．
（2）是否存在直线，使得点关于直线对称点在线段上？
（3）设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
（3）
【分析】（1）观察点运动时，直线与线段（不包括端点）有无公共点，数形结合可得出直线的倾斜角的取值范围；
（2）假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上，求出直线的斜率，由题意可知，求出直线的斜率，结合（1）中的结论判断即可；
（3）对直线斜率是否存在进行分类讨论，当轴时，直接求出的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，求出点、的坐标，可求出面积的取值范围，进而可得出的取值范围，综合可得出结论.
【小问1详解】
解：由图可知，点在第一象限，设点，
因为，，则，
所以，，解得，即点，
由题图可知，当点从原点沿着轴的正方向移动时，直线的倾斜角在逐渐增大，
当直线与直线重合时，设直线交轴的交点为，如下图所示：

当点在线段上运动时，直线与线段（不包括端点）没有公共点，
当点在线段（不包括点）上运动时，直线与线段（不包括端点）有公共点，
且直线的斜率为，直线的倾斜角为，
综上所述，直线倾斜角的取值范围是.
【小问2详解】
解：由（1）可知，、，则直线的斜率为，
假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上，
此时，，则，
此时，直线的倾斜角满足，不合乎题意，
因此，不存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上.
【小问3详解】
解：当轴时，此时，为线段的垂直平分线，
此时，；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，其中，
直线的方程为，即，
联立可得，即点，
联立可得，即点，
所以，，
所以，
，
因为，则，所以，，
综上所述，的取值范围是.
关键点点睛：本题第（3）问在求解三角形面积的取值范围时，要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在设出直线的方程后，关键要求出点、的坐标，再利用三角形的面积公式以及函数思想求范围.
19. 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．
（1）若直线与都在平面内，求平面的方程；
（2）在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标；
（3）若集合中所有点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
【正确答案】（1）
（2）
（3）体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为
【分析】（1）求出直线、的方向向量，进而可求得平面的法向量，结合题意可得出平面的方程；
（2）根据题意，设点，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标；
（3）求出多面体与各坐标轴的交点坐标，利用锥体的体积公式可求出多面体的体积，化简多面体两个相邻平面的方程，可得出这两个平面的法向量，利用空间向量可求得多面体相邻两个平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
解：由题意可知，直线的一个方向向量为，
直线的一个方向向量为，
设平面的法向量为，则，
解得，取，则，
易知直线过点，所以，平面的方程为.
即.
【小问2详解】
解：根据题意，设点，则，
因为平面以为法向量，则，①
又因为点在平面内，则，②
联立①②可得，，故点的坐标为.
【小问3详解】
解：如下图所示：
易知多面体交各坐标轴于点、、、、
、，
正方形的边长为，
所以，正方形的面积为，
而正四棱锥的高为，则，
所以，多面体的体积为.
易知平面的方程为，该平面的一个法向量为，
平面的方程为，该平面的一个法向量为，
平面的方程为，该平面的一个法向量为，
所以，，，
因此，多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为.
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.