2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上册10月月考数学学情检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上册10月月考数学学情检测试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第I卷（选择题，共分）
一、选择题（共58分）
（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
2. 在的展开式中，项的系数为（ ）
A B. 10C. D. 80
3. 用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（ ）
A. 192B. 240C. 360D. 720
4. 如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图是函数的部分图象，则下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C. 的图象关于点中心对称
D. 在上单调递减
7. 有一道数学题，不知道答案的概率为，如果知道答案则本题答对的概率为，不知道答案则本题答对的概率为0.2，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（ ）
A B. C. D.
8. 在四棱锥中，平面，二面角的大小为，若点均在球的表面上，则球的表面积最小值为（ ）
A B. C. D.
（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 近年来，我国持续释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，如图所示，是我国从2014年到2023年的国内游客出游花费统计，下列说法正确的是（ ）
A. 从2014年到2023年，这10年国内游客出游花费的第75百分位数为4.9
B. 从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的中位数为3.4
C. 从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的极差为2.7
D. 从2014年到2019年，国内游客出游花费呈现上升趋势
10. 学校分别对高一学年和高二年学开展体育水平抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确是（ ）
A. 样本中高二学年成绩的众数是85
B. 样本中高二学年成绩在80分以上的人数高于高一学年成绩在80分以上的人数
C. 样本中高二学年成绩的方差高于高一学年成绩的方差
D. 样本中高二学年成绩的中位数高于高一学年成绩的中位数
11. 某学校共有4000人，其中高一1000人，高二1500人，高三1500人，现采用抽样调查的方式调查学生平均身高，则下列说法正确的是（ ）
A. 若采用简单随机抽样的方式，抽取容量为200的样本，则高一25班的小明同学被抽入样本的概率为
B. 若采用按比例分层抽样的方式，抽取容量为200的样本，则应从高一中抽取的人数为50
C. 若采用按比例分层抽样，发现高一、高二、高三学年的样本平均身高分别为167，169，173，则总体平均身高的估计值为170
D. 若采用按比例分层抽样，发现高一、高二、高三学年的样本平均身高分别为167，169，173，方差分别为50，60，40，则总体身高方差的估计值为50
第I卷（非选择题，共92分）
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）
12. 对于随机事件有___________.
13. 随机变量的分布列如下表所示，则___________.
14. 哈三中2024-2025年度上学期高二年级十月月考中有这样一道题目:已知A，B是两个随机事件，且，给出5个命题如下:
①若，则事件A，B对立；
②若事件A与B独立，则成立；
③若，则事件A，B相互独立，且；
由于印刷原因，其中命题④⑤漏印了.
若老师说某考生在5个命题中任选两个命题，其中真命题的个数的方差为，则④⑤中真命题的个数为___________.
三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 李老师使用频数分布表、频率分布直方图与扇形图来统计两个班学生某次数学考试的分数，已知所有学生考试成绩均位于[85，145）内，问:
（1）求频率分布直方图中的值及分数的平均值（每组数据用该组区间中点值代表）;
（2）若李老师决定对与这两组的学生采用按比例分层抽样，抽取6名同学进行谈话，再从这6人中随机选择两人进行试卷分析，求选中的2人来自不同组的概率.
16. 在中的对边分别为且满足_______________.
请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题.
（1）求；
（2）若AB边上的高为1，的面积为，求的周长.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点.
（1）求证：平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发.
（1）求两粒子进入室都为上旋状态的概率；
（2）若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立.
①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差；
②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值.
19. 随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行准确评估，并据此制定针对性的教学方案.该校从初二学年学生中随机抽取40人将进行模拟测试.现将40人分成三个小组，其中组15人，组15人，组10人.
（1）第一轮测试按小组顺次进行.若一切正常，则该小组完成测试的时间为10分钟，若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组完成测试所需时间为，求的分布列;
（2）第二轮测试将3组同学一起排序，每一位同学顺次上机操作.
①求最后一名同学来自组的条件下，组同学比组同学提前完成测试的概率;
②若每名同学完成测试的时间都是为3分钟，求组和组同学全部完成测试所需时间的期望.
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期10月月考数学学情检测试卷
考试说明:（1）本试卷分和两部分，满分150分.考试时间为120分钟;
（2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第I卷（选择题，共分）
一、选择题（共58分）
（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
【正确答案】B
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】由于服从正态分布，则，
故.
故选：B
2. 在的展开式中，项的系数为（ ）
A. B. 10C. D. 80
【正确答案】C
【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】由，
令，解得，
所以，即项的系数为.
故选：C
3. 用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（ ）
A. 192B. 240C. 360D. 720
【正确答案】A
【分析】根据题意和首位非零的要求，将六位数分成三类，在每一类中，再运用相邻元素捆绑法求出方法数，最后根据分类加法计数原理即可求得.
【详解】依题意，可将这样的六位数分成三类：
第一类，首位是1，则第二位必须是4，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法；
第二类，首位是4，则第二位必须是1，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法；
第三类，首位从中人去一个，有种，再将看成一个元素，与另外三个数字在四个位置上全排有种，
再考虑的顺序，有种，故由分步乘法计数原理，有种方法.
由分类加法计数原理可知，这样的六位数共有个.
故选：A.
4. 如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，易得则、、，若电路不发生故障，必须是正常工作且，至少有一个正常工作，由对立事件的概率性质可得，至少有一个正常工作的概率，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案．
【详解】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，
则，
电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作，
、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率，
所以整个电路不发生故障的概率为.
故选：C.
5. 如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据已知条件，结合条件概率与独立事件的乘法公式，即可求解．
【详解】质点移动4次，共有种情况，
设质点第一秒位于1的位置为事件为，则，
记质点两次经过质点2为事件，若第一步位于1，则还有3步，想要经过质点2两次，
则有，两种情况，
所以，
则．
故选：A．
6. 如图是函数的部分图象，则下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C. 的图象关于点中心对称
D. 在上单调递减
【正确答案】C
【分析】根据正弦型函数的图象求出周期可判断A，根据点代入可判断B，根据时的函数值可判断C，根据正弦函数的单调性可判断D.
【详解】由图象可知，，所以，故A正确；
由，可知，故B正确；
由AB可知，因为，
可知为图象的对称轴，故C错误；
当时，，
由于正弦函数在上单调递减，
所以在上单调递减，故D正确.
故选：C.
7. 有一道数学题，不知道答案的概率为，如果知道答案则本题答对的概率为，不知道答案则本题答对的概率为0.2，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据全概率公式和条件概率公式即可得出答案.
【详解】设事件：知道答案，事件：答对本题，
则，，
则
故选：D
8. 在四棱锥中，平面，二面角大小为，若点均在球的表面上，则球的表面积最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题设易得是四边形外接圆的直径，中点为外接球球心，令且，求得外接球半径关于的表达式，求其最小值，即可求表面积最小值．
【详解】由题设，，，，在一个圆上，故，又，
所以，即，故是四边形外接圆的直径，
由平面，，，平面，则，，，
由，，平面，则平面，平面，则，
由，，平面，则平面，平面，则，
故，，都是以为斜边的直角三角形，故中点为外接球球心，
且为二面角的平面角，故，
因为，，
令且，则，，
故，
所以外接球半径，
当时，，此时球的表面积的最小值为．
故选：C
（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 近年来，我国持续释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，如图所示，是我国从2014年到2023年的国内游客出游花费统计，下列说法正确的是（ ）
A. 从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的第75百分位数为4.9
B. 从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的中位数为3.4
C. 从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的极差为2.7
D. 从2014年到2019年，国内游客出游花费呈现上升趋势
【正确答案】AD
【分析】根据图中数据，将其从小到大一排列，即可逐一求解.
【详解】由图可知：10年游客出游花费从小到大排列为2，2.2，2.9，3，3.4，3.9，4.6，4.9，5.1，5.7，故，故第75百分位数为第八个数4.9，A正确，
中位数为，故B错误，
极差为，C错误，
由折线图可知从2014年到2019年，国内游客出游花费呈现上升趋势，D正确，
故选:AD
10. 学校分别对高一学年和高二年学开展体育水平抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（ ）
A. 样本中高二学年成绩的众数是85
B. 样本中高二学年成绩在80分以上的人数高于高一学年成绩在80分以上的人数
C. 样本中高二学年成绩的方差高于高一学年成绩的方差
D. 样本中高二学年成绩的中位数高于高一学年成绩的中位数
【正确答案】ABD
【分析】根据题意，结合频率分布直方图中的数据，结合众数，平均数，方差，中位数的定义和计算方法，以及频率与频数的计算，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由高二年级学生成绩的频率分布直方图，高二年级学生成绩的众数位于区间的中点横坐标，所以众数为，所以A正确；
对于B中，由样本中高二学年成绩在80分以上的人数的频率为，
高一学年成绩在80分以上的人数的频率为，
所以高二学年成绩在80分以上的人数高于高一学年成绩在80分以上的人数，所以B正确；
对于C中，由频率分布直方图，可得高一学生成绩的平均数为：，
则高一学生成绩的方差为：

高二学生成绩的平均数为：
，
可得高二学生成绩的方差为：
，
所以样本中高二学年成绩的方差低于高一学年成绩的方差，所以C不正确；
对于D中，由高一学生成绩的频率分布直方图，
可得其中前3个矩形的面积和为，
前4个矩形的面积和为，
所以高一学生成绩的中位数位于之间，设中位数为，
则；
由高二学生成绩的频率分布直方图，
可得其中前4个矩形的面积和为，
前5个矩形的面积和为，
所以高二学生成绩的中位数位于之间，设中位数为，
则，其中，
所以样本中高二学年成绩的中位数高于高一学年成绩的中位数，所以D正确.
故选：ABD.
11. 某学校共有4000人，其中高一1000人，高二1500人，高三1500人，现采用抽样调查的方式调查学生平均身高，则下列说法正确的是（ ）
A. 若采用简单随机抽样的方式，抽取容量为200的样本，则高一25班的小明同学被抽入样本的概率为
B. 若采用按比例分层抽样的方式，抽取容量为200的样本，则应从高一中抽取的人数为50
C. 若采用按比例分层抽样，发现高一、高二、高三学年的样本平均身高分别为167，169，173，则总体平均身高的估计值为170
D. 若采用按比例分层抽样，发现高一、高二、高三学年的样本平均身高分别为167，169，173，方差分别为50，60，40，则总体身高方差的估计值为50
【正确答案】BC
【分析】对于A，利用简单随机抽样计算频率估计概率即得；对于B，按比例分层抽样计算出抽样比，再按比例计算高一年级的人数即可；对于C，利用加权平均数公式计算平均数即可；对于D，利用分层抽样的方差计算公式计算即得.
【详解】对于A，因学校共有学生，则采用简单随机抽样的方式，抽取容量为200的样本，
高一25班的小明同学被抽入样本的概率应为，故A错误；
对于B，因高一年级学生在全校学生中所占的比例为，现抽取容量为200的样本，
则应从高一中抽取的人数为，故B正确；
对于C，因高一、高二、高三学生在全校学生中所占的比，
故按比例分层抽样，总体的平均身高的估计值为，故C正确；
对于D，由C项已得总体的平均身高约为，则总体身高方差的估计值为：
，故D错误.
故选：BC.
第I卷（非选择题，共92分）
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）
12. 对于随机事件有___________.
【正确答案】
【分析】由即可求解.
【详解】,
所以
故
13. 随机变量的分布列如下表所示，则___________.
【正确答案】
【分析】根据分布列的性质可得，即可求解期望，由方差的计算公式即可求解.
【详解】由题意可得，故，解得或（舍去），
故随机变量的分布列如下.
故，，
故答案：
14. 哈三中2024-2025年度上学期高二年级十月月考中有这样一道题目:已知A，B是两个随机事件，且，给出5个命题如下:
①若，则事件A，B对立；
②若事件A与B独立，则成立；
③若，则事件A，B相互独立，且；
由于印刷原因，其中命题④⑤漏印了.
若老师说某考生在5个命题中任选两个命题，其中真命题的个数的方差为，则④⑤中真命题的个数为___________.
【正确答案】或.
【分析】首先分析命题①②③中真命题的个数，命题①②可按照定义直接判断，命题③结合互斥事件的性质以及独立事件的性质判断；然后假设命题④⑤中真命题的个数，根据离散型随机变量的期望和方差计算可得出真命题的个数.
【详解】①若，则事件A，B不一定对立，若事件A，B对立，则，故①为假命题；
②若事件A与B独立，则，故②为真命题；
③根据互斥事件的定义，有与互斥，与互斥，
则由互斥事件的性质可知：，
所以，同理，且，
；
设样本空间为，则，
又，
所以，即，故事件A，B相互独立.故③正确；
某考生在5个命题中任选两个命题，其中真命题的个数为，
若④⑤全为真命题，则的取值为，则有
，，不合题意；
若④⑤有一个为真命题，则的取值为，则有
，，符合题意；
若④⑤全部为假命题，则的取值为，则有
，，符合题意；
故④⑤中真命题的个数为或.
关键点点睛：在③中结合互斥事件的性质可计算，，又知总样本空间，可求出，从而判断③的正误，然后假设④⑤真命题的个数，由离散型随机变量的期望和方差计算可得出结果.
三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 李老师使用频数分布表、频率分布直方图与扇形图来统计两个班学生某次数学考试的分数，已知所有学生考试成绩均位于[85，145）内，问:
（1）求频率分布直方图中的值及分数的平均值（每组数据用该组区间中点值代表）;
（2）若李老师决定对与这两组的学生采用按比例分层抽样，抽取6名同学进行谈话，再从这6人中随机选择两人进行试卷分析，求选中的2人来自不同组的概率.
【正确答案】（1），分数的平均值为
（2）
【分析】（1）首先要明确频率分布直方图的性质，所有组的频率之和为.通过已知的频率求出未知组的频率，进而得到的值.求平均值则根据每组数据用该组区间中点值代表，利用加权平均数公式计算.
（2）先根据分层抽样原理求出从两组中抽取的人数，然后利用计算从人中选人的总数以及选中的人来自不同组的数，最后根据古典概率公式求出概率.
【小问1详解】
已知组的频数为，频率为，则总人数为人.
的频数为，则的频率为，
已知的频率为，则的频数为，
因为低于分的比例为，所以的频率为.
则的频率为，频数30.
由频率分布直方图知道，频率与相同，为，频数30.
由于所有频率之和为， 的频率为，人数为人.则 .
平均值
.
【小问2详解】
由前面可知组的频数为人，组的频数为10人.
按比例分层抽样抽取名同学，设从组抽取人，从组抽取人，
则，解得，
从人中随机选人的总数为种.
选中的人来自不同组的可能情况为种.
所以选中的人来自不同组的概率.
16. 在中的对边分别为且满足_______________.
请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题.
（1）求；
（2）若AB边上的高为1，的面积为，求的周长.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）若选①，则利用诱导公式和降幂公式化简后可求出角，若选②，则先利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，然后利用余弦定理可求出角；
（2）由的面积及AB边上的高可求出，再利用的面积及可求出，然后利用余弦定理可求出，从而可求出的周长.
【小问1详解】
若选①，则，得，
所以，
，，
所以，
因为，所以，
所以，得；
若选②，则由，
得，
所以，
所以由正弦定理得，
化简整理得，
所以由余弦定理得，
因为，所以；
【小问2详解】
因为AB边上的高为1，的面积为，
所以，得，
由（1）知，所以，得，
由余弦定理得，即，
得，
所以，即，
所以，
所以，
即的周长为.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点.
（1）求证：平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）证明，结合，推出平面，即可证明，推出，即可证明平面．
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解平面与平面的夹角余弦值即可．
【小问1详解】
由于平面平面且两平面的交线为，又，平面
故平面，平面，，
，且为的中点，，
又，平面，
平面．
【小问2详解】
由于平面平面且两平面的交线为，又平面，
故平面，
如图，作于，以为坐标原点，
分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面的法向量为，，.
即，可取，则．
设平面的法向量为，
，，
即可取，则．
，
即平面与平面的夹角余弦值为．
18. 如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发.
（1）求两粒子进入室都为上旋状态的概率；
（2）若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立.
①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差；
②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值.
【正确答案】（1）
（2）①分布列见详解，期望，方差；
②
分析】（1）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案；
（2）①根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望和方差；
②根据二项式定理即可求得最大项.
【小问1详解】
设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，，
“两个粒子通过号门后进入室都为上旋状态”，
则，，
则.
【小问2详解】
①返回室的粒子个数的可能性为，，，，
服从二项分布：
，，
，，
，
所以期望，方差；
②的可能取值为，此时，
个粒子返回室的概率为，
则，
所以，
当时，取最大值.
19. 随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行准确评估，并据此制定针对性的教学方案.该校从初二学年学生中随机抽取40人将进行模拟测试.现将40人分成三个小组，其中组15人，组15人，组10人.
（1）第一轮测试按小组顺次进行.若一切正常，则该小组完成测试的时间为10分钟，若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组完成测试所需时间为，求的分布列;
（2）第二轮测试将3组同学一起排序，每一位同学顺次上机操作.
①求最后一名同学来自组的条件下，组同学比组同学提前完成测试的概率;
②若每名同学完成测试的时间都是为3分钟，求组和组同学全部完成测试所需时间的期望.
【正确答案】（1）分布列见解析
（2） ，
【分析】（1）三个小组都有可能按时完成，也都有可能出现异常情况，所以最少时间是30分钟，然后逐个加5分钟，写出随机变量的可取值，根据对应情况求出概率，从而得到分布列；
（2）①由条件概率即可得到；
②找到完成时间的分布情况，求出对应的概率，由期望的公式得到代数式，利用组合数的性质运算即可得出结果.
小问1详解】
设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；
随机变量的可取值：30，35，40，45
的分布列：
【小问2详解】①设事件：最后一名同学来自组；事件：组同学比组同学提前完成测试.
则
②设所需时间为，的可取值：90,，93，96，，，，120（）
则
∴
1
2
3
分组
频数
频率
5
0.05
10
0.2
合计
1
1
2
3
1
2
3
分组
频数
频率
5
0.05
10
0.2
合计
1
30
35
40
45