2024-2025学年吉林省长春市高二上册第一次月考数学学情检测试卷

这是一份2024-2025学年吉林省长春市高二上册第一次月考数学学情检测试卷，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
3. 若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（ ）
A B. C. D.
4. 已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则（ ）
A 0B. 2C. 0或2D. 1或2
5. “曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，面；，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则异面直线，与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 正三棱柱中，，，O为BC的中点，M是棱上一动点，过O作于点N，则线段MN长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 对于直线，则（ ）
A. 的充要条件是或B. 当时，
C. 直线经过第二象限内的某定点D. 点到直线的距离的最大值为
10. 关于空间向量，以下说法正确是（ ）
A. 若，则向量的夹角是锐角
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
D. 若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面
11. 如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A. 不存在点，使得
B. 不存在点，使得
C. 点在棱上，且，若，则点的轨迹是圆
D. 当是正方形ABCD的中心时，为线段AB上的动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线与平行，则它们的距离是_____
13. 设，向量且，则______．
14. 设点，，直线，于点，则的最大值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设．

（1）表示，并求EF的长；
（2）求．
16. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
17. 设直线l的方程为
（1）若l在两坐标轴上截距相等，求直线的方程.
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
（3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.
18. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，平面．
（1）证明：平面ADE；
（2）在棱EC（不包括端点）上是否存在点，使得平面MBD与平面BCF的夹角余弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由．
19. 已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.
（1）已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值；
（2）已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；
（3）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围.