2024-2025学年江苏省南京市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析），共32页。试卷主要包含了本试卷包括单项选择题四部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题一（第12题～第19题）、填空题二（第20题～第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为100分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填涂在答题卡上指定的位置．
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. ，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（ ）
A. B. C. D.
4. 过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于两点，若，且直线与长轴的夹角为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是椭圆上一动点，，，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，，等边的边长为2，M为BC中点，G为的重心，B，C分别在射线OP，OQ上运动，记M的轨迹为，G的轨迹为，则（ ）
A. 为部分圆，为部分椭圆
B. 为部分圆，为线段
C. 为部分椭圆，为线段
D. 为部分椭圆，也为部分椭圆
7. 已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ）
A. 的面积为
B. 若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9
C. 点P的纵坐标为
D. 内切圆的面积为
8. 已知椭圆内有一点，过的两条直线、分别与椭圆交于、和、两点，且满足，（其中且），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题9分，共27分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得9分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（ ）
A. 以为直径的圆与直线相离B. 的最大值为
C. 的最小值为8D. 的最小值为112
10. 在平面直角坐标系xOy中，已知动圆则下列说法正确的是（ ）
A. 存圆C经过原点
B. 存在圆C，其所有点均在第一象限
C. 存在定直线l，被圆C截得的弦长为定值
D 所有动圆C有两条公切线
11. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（ ）
A. 椭圆C的中心不在直线上
B.
C. 直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D. 椭圆C的离心率为
三、填空题一：本大题共8小题，每小题6分，共48分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12. 若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数a的取值范围是______．
13. 已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是_________
14. 已知点，若圆上存在点M满足，则实数a取值范围是________.
15. 已知圆是以点和点为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点，点，则的最大值为___________
16. 已知点，点，点满足，过点作圆：两条切线，切点分别为，，则的最小值是_______．
17. 当取遍所有值时，直线所围成的图形的面积为_________.
18. 设点是椭圆：上的动点，为的右焦点，定点，则的取值范围是____．
19. 设椭圆左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为，，则椭圆离心率的取值范围为______．
四、填空题二：本大题共3小题，每小题9分，共27分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
20. 过直线上任一点向圆作两条切线切点分别为线段的中点为，则点到直线的距离的取值范围为____________.
21. 已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则__________．
22. 如图，两个离心率相等的椭圆与椭圆，焦点均在x轴上A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，过A，B分别作椭圆的切线AC，BD，若AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为__________.
2024-2025学年江苏省南京市高二上学期10月月考数学学情检测试题
注意事项：
1．本试卷包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题一（第12题～第19题）、填空题二（第20题～第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为100分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填涂在答题卡上指定的位置．
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. ，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】先根据题意求得关于直线对称的点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，再数形结合得到点的变动范围，从而得到，由此得解.
【详解】设直线方程为，则，解得，即，即，
设关于直线对称的点为，则，解得，即，，
同理可得：
点关于直线的对称点为，
点关于直线的对称点为，
如图所示：
利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；
所以点之间为点的变动范围，
因为，F1,0，所以直线，即直线斜率不存在，而，
所以，即.
故选：D
2. 已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.
【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，
显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，
其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图：
，两圆外离，由圆的几何性质得：，，
所以的取值范围是.
故选：B
思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.
3. 已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】按点的位置分不在坐标轴与在坐标轴上两种情况讨论，结合圆的标准方程，点在圆上，以及方程根的情况综合分析的值即可.
【详解】当点在第一象限时，圆，的方程为的形式，
代入点的坐标，可得关于的方程，
圆，的半径，是该方程的两个不同实根，
所以，同理，当点在第二、三、四象限时也可得．
当点在轴上时，，
此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切，
且，满足．
同理，当点在轴上时，，同样满足．
故选：C.
结论点睛：圆的标准方程为，其中圆心为，半径为.
4. 过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于两点，若，且直线与长轴的夹角为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】过点作准线的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，交轴于点，设，得到，求得，结合椭圆的第二定义，求得，得出，即可求解.
【详解】如图所示，设准线与轴的交点为，过点作准线的垂线，垂足分别为，
过点作，垂足为，交轴于点，
设，因为，则，
又因为直线与长轴的夹角为，所以，则，
由椭圆的第二定义，可得，
所以，解得，即椭圆的离心率的为.
故选：B.
5. 已知是椭圆上一动点，，，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】记，考虑，当直线AP、BP之中有一条直线的斜率不存在时，当直线AP、BP斜率都存在时由求出关于y的表达式，利用换元法和基本不等式即可求得的范围，再由转化为的范围即可求得最大值.
【详解】记，若，则；若，则；
考虑，当直线AP、BP之中有一条直线的斜率不存在时，不妨设P点位于左顶点，
此时直线AP斜率不存在，；
当直线AP、BP斜率都存在时，设，有，
，
令，则，
当时，(此时)，
当，，当且仅当即时取等号，
则.
综上所述，的最大值是.
故选：A
本题考查椭圆中的最值问题、椭圆的几何性质、直线的斜率，涉及换元法求函数的最值、基本不等式、同角三角函数的关系，属于较难题.
6. 如图，，等边的边长为2，M为BC中点，G为的重心，B，C分别在射线OP，OQ上运动，记M的轨迹为，G的轨迹为，则（ ）
A. 为部分圆，为部分椭圆
B. 为部分圆，为线段
C. 为部分椭圆，为线段
D. 为部分椭圆，也为部分椭圆
【正确答案】C
【分析】建系如图，由两点间距离公式结合中点坐标公式可得点的轨迹方程，由此得为部分椭圆；过点作与轴垂直的直线分别交于点，交于点，得等边，由平面几何可得是等边的外心，由此可得点的轨迹为轴在曲线内的一段线段.
【详解】以为原点，以的角平分线为轴建立平面直角坐标系如图所示.
依题意得直线的方程为，直线的方程为.
设点，，由得（*），
设点，因为是的中点，所以即.
将其代入（*）得，即，故的轨迹为椭圆在内部的部分.
过点作与轴垂直的直线分别交于点，交于点，则显然也是等边三角形.
下面证明等边的重心即等边的外心.
设，则，又，且，所以，因此.
在和中，，又，所以，则，同理可证，即点是等边的外心，所以，点在轴上移动，故点的轨迹为轴在曲线内的一段线段.
故选：C.
关键点点睛：建立适当的坐标系是解决本题的关键.
7. 已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ）
A. 的面积为
B. 若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9
C. 点P的纵坐标为
D. 内切圆的面积为
【正确答案】D
【分析】对A，根据椭圆定义和余弦定理求出即可得出；对B，根据椭圆的有界性可得；对C，根据的面积建立关系求解；对D，根据的面积求出内切圆半径即可得出.
【详解】对A，根据椭圆定义可得，则①，
在中，由余弦定理②，
由①②可得，所以的面积为，故A错误；
对B，设，则，，
，
则当时，取得最大值为5，故B错误；
对C，由A，的面积为，则，解得，故C错误；
对D，设内切圆的半径为，因为的面积为，
所以，即，解得，
所以内切圆的面积为，故D正确.
故选：D.
8. 已知椭圆内有一点，过的两条直线、分别与椭圆交于、和、两点，且满足，（其中且），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【正确答案】D
详解】设,由可得：
，
据此可得：，
同理可得：，
则：，
将点A,B的坐标代入椭圆方程做差可得：
，
即：，
同理可得：，
两式相加可得，
故：，
据此可得.
点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题9分，共27分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得9分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（ ）
A. 以为直径的圆与直线相离B. 的最大值为
C. 的最小值为8D. 的最小值为112
【正确答案】ACD
【分析】对于A，设的中点为，连接，求出点到直线的距离的最小值进行判断，对于B，举例判断，对于CD，利用向量的数量积运算结合图形分析判断即可.
【详解】对于A，设的中点为，连接，则，
所以，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
所以点到直线的距离的最小值为，
因为，所以以为直径的圆与直线相离，所以A正确，
对于B，如图，当直线与直线平行，且共线时，则为等腰三角形，
此时，
则，
所以，所以，所以B错误，
对于C，因为,
所以
,
因为，
所以
，当，共线，且在之间时取等号，
所以的最小值为8，所以C正确，
对于D，因为，
所以，
所以
，当，共线，且在之间时取等号，
所以的最小值为112，所以D正确，
故选：ACD
关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积的运算，解题的关键是画出图形，结合图形分析判断，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.
10. 在平面直角坐标系xOy中，已知动圆则下列说法正确的是（ ）
A. 存在圆C经过原点
B. 存在圆C，其所有点均在第一象限
C. 存在定直线l，被圆C截得的弦长为定值
D. 所有动圆C有两条公切线
【正确答案】ABD
【分析】对于A选项：将代入圆方程，求得，即可判断；
对于B选项：根据圆所有点均在第一象限得到2m+1>0m+1>02m+1>2mm+1>2mm≠0，即可判断；
对于C选项：当定直线的斜率存在，设直线：，当定直线的斜率不存在，设直线，由垂径定理和勾股定理得到弦长，要使弦长为定值，则弦长与无关，得到关于和的方程组，即可求解；
对于D选项：求出所有动圆的公切线，即可求解.
【详解】对于A选项：若圆经过原点，则，
化简得：，解得：，
所以当时，圆经过原点，所以A选项正确；
对于B选项：由题意得圆的圆心，半径（），
若圆上的所有点均在第一象限，则2m+1>0m+1>02m+1>2mm+1>2mm≠0，解得：m>−12m>−1m>−14−13