2024-2025学年江苏省苏州市高二上册10月月考数学学情检测试题

这是一份2024-2025学年江苏省苏州市高二上册10月月考数学学情检测试题，共14页。试卷主要包含了数列，，，，…的一个通项公式是，数列满足，，数列，已知等差数列的前项和为等内容，欢迎下载使用。
1．数列，，，，…的一个通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
2．在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点B且与线段相交．则直线l倾斜角α的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为（ ）
A．-17B．-15C．17D．15
4．已知等比数列中，，为前项和，，则（ ）
A．7B．9C．15D．30
5．已知满足对一切正整数均有且恒成立，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
7．数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（共3小题，每题6分，共18分）
9．已知等差数列的前项和为（），公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．当或时，取得最大值D．当时，的最大值为21
10．数列是各项为正的等比数列，为其前n项和，数列满足，其前n项和为，则（ ）
A．数列一定为等比数列B．数列一定为等比数列
C．数列一定为等差数列D．若有最大值，则必有
11．已知数列中，，，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数可能为（ ）
A．－4B．－2C．0D．2
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12．已知数列满足，若，则 .
13．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为 .
14．已知函数，数列an的前n项和为，且满足，，，则 .
四．解答题（共5小题，共77分）
15．已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设为的前项和，求的最小值．
16．已知数列的前项和为，且．
(1)求证：是等比数列；
(2)若，数列的前项和为，求证：．
17．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；
乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．
(1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式；
(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据，
18．在数列，中，，为各项均为正数的等比数列，且其前三项和为，为等差数列，且其前三项和为9.
(1)求，的通项公式；
(2)求的前n项和.
19．如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.
(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；
(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.
①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值?
②若，且，求的最小值.

1．A
【分析】把数列变形为，，，，•••，由此可得它的通项公式．
【详解】数列，，，，…，即数列，，，，•••，
故它的一个通项公式是，
故选：．
2．B
【分析】结合斜率和倾斜角的关系利用数形结合即可求解.
【详解】根据题意，画出图象如图所示;

直线的斜率，则直线的倾斜角为；
直线的斜率，则直线的倾斜角为，
结合图象由条件可得直线l的倾斜角的取值范围是.
故选：B.
3．D
【分析】结合等差数列的通项公式可求得，进而可求出结果.
【详解】因为数列，都是等差数列，设数列，的公差分别为，
又，，且，则，
即，所以，
故选：D.
4．C
【分析】设公比为，根据条件列出方程求解，再由求和公式得解.
【详解】等比数列中，设公比为，
，为前项和，，显然，
(如果，可得矛盾，如果，可得矛盾)，
可得，
解得，即或，
所以当时，．
当时，．没有选项．
故选：C．
5．C
【分析】根据题意整理可得对一切正整数恒成立，根据恒成立问题分析求解.
【详解】因为满足对一切正整数均有且恒成立，
即恒成立，化为，
可知对一切正整数恒成立，所以，
故选：C.
6．B
【分析】利用充分必要条件的判定及等比数列通项公式验证即可.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，因为不等于0，
所以，若时，无法得出，
所以“”不是“”的充分条件；
若“”，则，
所以“”是“”的必要条件.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
7．D
【分析】将取倒数结合累加法求得，再利用数列单调递减列不等式并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案
【详解】由题意，，两边取倒数可化为，所以，，，由累加法可得，，因为，所以，
所以，因为数列是递减数列，故，即，整理可得，，因为，，所以，故.
故选:D.
8．B
【分析】根据递推关系采用叠加法即可.
【详解】根据题意，，，，，…，
，，
则，，…，，，
将上述各式两边相加得，，
所以.
故选：B．
9．BC
【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断，；由配方法，结合为正整数，可判断；由解不等式可判断．
【详解】解：由公差，，可得，即，①
由是与的等比中项，可得，即，化简得，②
由①②解得，，故A错，B对；
由
因为，可得或11时，取最大值110，C对；
由，解得，可得的最大值为20，D错；
故选：BC．
10．AC
【分析】根据等差数列和等比数列的定义可以判断A,B,C，再结合C，通过特殊值法可以判断D.
【详解】设的公比为，.
对A，，则，恒为定值，则A正确；
对B，，所以，不恒为定值，则B错误；
对C，易知，，恒为定值，由等差数列的定义可知，一定为等差数列，则C正确；
对D，结合C，一定为等差数列，首项为，公差为，若，则有最大值0，此时，则D错误.
故选：AC.
11．AB
由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.
【详解】，，
则，，，，
上述式子累加可得：，，
对于任意的恒成立，
整理得对于任意的恒成立，
对A，当时，不等式，解集，包含，故A正确；
对B，当时，不等式，解集，包含，故B正确；
对C，当时，不等式，解集，不包含，故C错误；
对D，当时，不等式，解集，不包含，故D错误，
故选：AB.
本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.
12．2
【分析】由递推关系式依次求出数列的前几项，得出数列的周期，由周期性得结论．
【详解】因为数列an满足，且，
所以，
所以数列an是以3为周期的周期数列，所以.
故2.
13．
【分析】根据直线方向与直线斜率的关系进行求解即可.
【详解】因为直线l的一个方向向量为，
所以直线l的斜率为，
故
14．2
【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解.
【详解】由题意可知：的定义域为，
且，即，
可知为定义在上的奇函数；
且，
因为在上单调递增，可知在上单调递增；
综上所述：在上单调递增，且为奇函数.
因为，则，
可得，即，
由可知：3为数列的周期，则，
且，所以.
故2.
易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式基本量运算即可；
（2）先根据基本量运算得出前n项和，再根据二次函数求出最值即可.
【详解】（1）设an的公差为，
则，
依题意，，
即，
整理得，，
解得，或（舍），
所以；
（2），
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用数列通项与前n项和的关系，当时，解得，当时，由得到，两式相减得到，再利用等比数列的定义证明；
（2）由（1）得，进而得到，利用放缩法得，再利用等比数列前n和公式求解.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，由，
得，
两式相减并整理得，即，
∴是首项为3，公比为3的等比数列；
（2）由（1）可得：，
，
当时，，
则，所以，
，
∴，
所以.
17．(1)，,
(2)采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多
【分析】（1）根据已知条件，分别求解1年，2年后，….，进而归纳后的利润，即可求解．
（2）分别求出两种方案的净收益，再通过比较，即可求解．
【详解】（1）对于甲方案，
1年后，利润为1（万元）．
2年后，利润为，
3年后，利润为（万元），
……
故年后，利润为（万元），
因此，
对于乙方案，
1年后，利润为1（万元）．
2年后，利润为，
3年后，利润为（万元），
……
故年后，利润为（万元），
因此，
（2）甲方案十年共获利（万元），
10年后，到期时银行贷款本息为（万元），
故甲方案的净收益为（万元），
乙方案十年共获利（万元），
贷款本息为（万元），
故乙方案的净收益为（万元），
由，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多
18．(1)，；
(2).
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）利用错位相减法进行求解即可.
【详解】（1）设等比数列{bn}的公比为，
因为数列{bn}的前三项和为，所以，
或舍去，所以，
设等差数列的公差为，因为前三项和为9，
所以有，
所以，因为，
所以；
（2）由（1）可知：，
所以，
，
，得，
，所以.
19．(1)1，3，5，7，5，3，1
(2)①1012；②2025
【分析】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果；
（2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果
【详解】（1）因为数列bn是项数为7的“对称数列”，所以，
又因为成等差数列，其公差，…
所以数列bn的7项依次为1，3，5，7，5，3，1；
（2）①由，，…，是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足，
可知，，…，构成公差为2的等差数列，，，…，构成公差为的等差数列，
故
，
所以当时，取得最大值；
②因为即，
所以即，
于是，
因为数列是“对称数列”，
所以
，
因为，故，
解得或，所以，
当，，…，构成公差为的等差数列时，满足，
且，此时，所以的最小值为2025.
关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第二问①关键是得到，，…，构成公差为的等差数列.