2024-2025学年江苏省苏州市高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省苏州市高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过点，斜率为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知平面经过点，且法向量为是平面内任意一点，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 设，若方程表示关于直线对称的圆，则的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
4. 已知是互相垂直的单位向量，若直线和的方向向量分别为，则和所成的角的余弦值为（ ）
A 0B. C. D.
5. 已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为2，则的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 若平面截圆柱得到一个离心率为椭圆，则平面与该圆柱底面的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知曲线，将曲线上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线；将曲线上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，得到曲线．则曲线与的一个公共点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在四面体中，平面，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若平面的法向量为，平而的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
10. 设椭圆的两个焦点分别为，是上一点（除去与轴的交点），则（ ）
A. 周长为定值B. 的最大值为3
C. 恒为锐角D. 直线与圆相交
11. 过点的直线与圆相切，切点分别为，则（ ）
A. 当时，B. 存在，使得
C. 直线经过点D. 直线与直线的交点在定圆上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
12. 已知，写出平面的一个法向量______.
13. 若两条直线与平行，则实数的值为______．
14. 在平面直角坐标系中，定义为Ax1,y1,Bx2,y2两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为______，的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，为侧面的中心，记，
（1）以为基底表示向量；
（2）已知，，若，求长．
16. 在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点．
（1）若，求直线的方程；
（2）若点在直线上，求的最小值．
17. 如图，都是椭圆顶点，从上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且．

（1）求的离心率；
（2）若的面积比的面积大，求的方程．
18. 如图，四边形是矩形，平面，平面，，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）是棱上一点，且到平面的距离为1，求直线与平面所成角正弦值．
19. 已知圆．
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）若点是圆上两点，
①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程；
②若直线斜率存在，且直线与斜率互相反数，证明：直线经过定点．
2024-2025学年江苏省苏州市高二上学期第一次月考数学学情
检测试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过点，斜率为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据给定条件，利用直线点斜式方程求解即得.
【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.
故选：A.
2. 已知平面经过点，且法向量为是平面内任意一点，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积列式计算即得.
【详解】依题意，，而平面的法向量为，
因此，即.
故选：D.
3. 设，若方程表示关于直线对称的圆，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】利用方程表示圆的充要条件列式，结合圆心在直线上求解即得.
【详解】由方程表示圆，得，
圆的圆心为，又此圆关于直线对称，则，即，
因此，解得或，
所以的取值范围为.
故选：B.
4. 已知是互相垂直的单位向量，若直线和的方向向量分别为，则和所成的角的余弦值为（ ）
A. 0B. C. D.
【正确答案】C
【分析】设和所成的角为，由题意可得，借助向量夹角公式计算即可得.
【详解】设和所成的角为，
则
.
故选：C.
5. 已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为2，则的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】利用两点间距离公式及点到直线距离公式计算即得.
【详解】设，则，，
显然点不在直线上，则边上的高，
所以的面积.
故选：B.
6. 若平面截圆柱得到一个离心率为椭圆，则平面与该圆柱底面的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据椭圆的几何特征，椭圆上两点间的最长距离是长轴长，最短距离是短轴长，结合圆柱轴截面图形进行求解即可.
【详解】设圆柱的底面圆直径为2，则平面截圆柱所得椭圆的短轴长，
而椭圆的离心率为，令椭圆长半轴长，由，得，
又过椭圆长轴及圆柱下底面圆直径的轴截面图形如图中直角梯形，
其中是圆柱下底面圆直径，是椭圆长轴，，过作于，
则等于平面与该圆柱底面的夹角，，
所以平面与该圆柱底面的夹角的余弦值为.
故选：A
7. 已知曲线，将曲线上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线；将曲线上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，得到曲线．则曲线与的一个公共点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，求出曲线与的方程，再联立求出交点坐标即可.
【详解】设曲线上任意点，则点在曲线上，于是得曲线：，
同理得曲线：，由，解得，
因此曲线与的公共点坐标为.
故选：C
8. 在四面体中，平面，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】用解三角形建立四面体中边角关系得到方程组，从而解出，再由线面角的定义得出本题答案.
【详解】设，，
则，
则，
由②③可得代入①得
，
∵，∴，∴，
∵平面，∴则直线与平面所成角为.
∴
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若平面的法向量为，平而的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】ABD
【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得.
【详解】对于A，由，得，则，解得，A正确；
对于B，由，得，则，解得，B正确；
对于C，由，得，，，则或，C错误；
对于D，由，得，，，则，D正确.
故选：ABD
10. 设椭圆的两个焦点分别为，是上一点（除去与轴的交点），则（ ）
A. 周长为定值B. 最大值为3
C. 恒为锐角D. 直线与圆相交
【正确答案】AC
【分析】对A：利用椭圆定义即可得；对B：结合椭圆定义与基本不等式计算即可得；对C：借助余弦定理与基本不等式可得恒为正，即可得解；对D：借助点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离后，结合点坐标计算可得的范围，即可得解.
【详解】对A：由椭圆定义可知，又，
故周长为，故A正确；
对B：由，则，
当且仅当时，等号成立，
故的最大值为，故B错误；
对C：
，
当且仅当时，等号成立，
故恒为正，即恒为锐角，故C正确；
对D：圆的圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离，
由是上一点（除去与轴的交点），
故有且，
则，即，
则，即，
故直线与圆相离，故D错误.
故选：AC.
11. 过点的直线与圆相切，切点分别为，则（ ）
A. 当时，B. 存在，使得
C. 直线经过点D. 直线与直线的交点在定圆上
【正确答案】ACD
【分析】A.利用数形结合解决；B.利用长范围，并计算的范围，即可判断；C.求以点为圆心，为半径的圆，两圆相减，求直线的方程，即可判断；D.根据直线与的方程，判断两直线的关系，即可判断.
【详解】A.当，点是原点，如图，，，则，
则，根据对称性可知，，所以是等边三角形，即，故A正确；
B.，因为，所以，
即，则，,所以不存在，使得，故B错误；
C，，
所以以点为圆心，以为半径的圆为，
与圆相减得，恒过点，故C正确；
D.直线的斜率，所以直线的方程为，即，
直线恒过点，且直线恒过点，
且满足，即两直线互相垂直，所以两直线的交点在以，为直径的圆上，故D正确.
故选：ACD
关键点点睛：本题的关键是利用数形结合解决问题，并且熟练掌握切线长的几何关系，以及切点弦长所在直线的求法.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
12. 已知，写出平面的一个法向量______.
【正确答案】（答案不唯一，与共线的非零向量）
【分析】设出向量的坐标，再利用平面法向量的意义列式计算即得.
【详解】设，则，
故，取，得，
所以平面的一个法向量.
故答案为.
13. 若两条直线与平行，则实数的值为______．
【正确答案】
【分析】由两条直线平行列式计算即得.
【详解】由直线与平行，得，
所以.
故
14. 在平面直角坐标系中，定义为Ax1,y1,Bx2,y2两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为______，的最小值为______.
【正确答案】 ①. ##0.5； ②. 4.
【分析】设出点的坐标，利用给定的定义列出函数关系，借助分段函数求出最小值即得.
【详解】设，则，
当时，PM=4−3x>1；当时，；当时，PM=3x−4>12，
因此对任意，，所以当，即点时，取得最小值；
设，则，令，于是，
显然，当时，MN=8−3z>8；当时，；
当时，MN=3z−8>4，因此对任意，，
所以当，即时，如点，取得最小值4.
故；4.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，为侧面的中心，记，
（1）以为基底表示向量；
（2）已知，，若，求长．
【正确答案】（1）；
（2）2.
【分析】（1）结合空间向量的线性运算，用给定基底表示.
（2）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律计算即得.
【小问1详解】
在四棱柱中，底面是平行四边形，为侧面的中心，
则.
【小问2详解】
由（1）知，，
由，得
，
由，得，
解得，所以长为2.
16. 在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点．
（1）若，求直线的方程；
（2）若点在直线上，求的最小值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题意可设，，即可表示出点，利用计算可得，即可得，即可得直线的方程；
（2）将点坐标代入直线方程可得，即可借助两点间距离公式用表示出AB，从而可得其最小值
【小问1详解】
由题意可设，，，，则，
若，则有，化简得，
故，，即，
故直线的方程为，即；
【小问2详解】
由点在直线上，故有，
整理得，
故
，
即AB的最小值为.
17. 如图，都是椭圆的顶点，从上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且．

（1）求的离心率；
（2）若的面积比的面积大，求的方程．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题意可得，求出，，又，即可得到，，进而求出离心率；
（2）由题意，，结合图形可得，解得，，得出椭圆方程.
【小问1详解】
由题意可得，
，．
由，，解得，，
故椭圆的离心率为．
【小问2详解】
由题意，
又因为，，
所以，
化简得
又因为，
所以，
解得，，
所以椭圆.
关键点点睛：解题的关键点是应用转化思想注意图形特征得出，再结合已知化简计算求解得出，即可.
18. 如图，四边形是矩形，平面，平面，，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）是棱上一点，且到平面的距离为1，求直线与平面所成角正弦值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）取中点，令交于点，连接、，借助线面垂直的性质可得，结合中位线性质及平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，再利用平行四边形性质即可得，最后用线面平行判定定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系后，分别求出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得；
（3）设，再利用点到平面距离公式计算可列出关于的方程，结合的范围可求得的值，在求出直线的方向向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得.
【小问1详解】
取中点，令交于点，连接、，
由四边形是矩形，故为中点，故，且，
又平面平面，故，
又，故且，即四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
故平面，即平面；
【小问2详解】
由平面，平面，平面，
故，又是矩形，故，
所以、、两两垂直，
以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则、、、，
故，，，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
取、，则有，，，，
即，，
所以，
则二面角的正弦值为；
【小问3详解】
设，则，，所以，
因为点到平面的距离，
因为，解得，故，
又，则，
则，
则直线与平面所成角正弦值为.
19. 已知圆．
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）若点是圆上两点，
①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程；
②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点．
【正确答案】（1）；
（2）①3，；②证明见解析.
【分析】（1）判断给定点在圆上，求出经过切点的半径所在直线的斜率即可求解出切线方程.
（2）①利用三角形面积公式可得时，三角形面积最大，再结合点到直线距离公式求出直线方程；②设出直线方程，与圆的方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式计算推理即得.
【小问1详解】
由，得点在圆上，则过点的圆半径所在直线斜率为
因此所求切线斜率为，方程为，即.
【小问2详解】
①显然直线的斜率存在且不为0，设方程为，而圆半径为，
则的面积，
当且仅当时取等号，此时圆心到直线的距离，
因此，解得，直线：，即，
所以的面积最大值为3，直线的方程为.
②设直线方程为，，
由消去得，则，
直线斜率，直线斜率，
依题意，，整理得，
即有，化简得，经验证的，
因此直线：恒过定点，
所以直线经过定点.