2024-2025学年江西省抚州市高二上册10月联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省抚州市高二上册10月联考数学检测试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列直线中，倾斜角最小的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 若方程表示椭圆，则m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（ ）
A. 5B. 1C. D.
5. 已知，，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6. 点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知P是圆C：上一动点，若直线l：上存在两点A，B，使得能成立，则线段的长度的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.
9. 已知，，，且四边形是平行四边形，则（ ）
A. 直线的方程为 B. 是直线的一个方向向量
C. D. 四边形面积为3
10. 若直线与曲线恰有一个交点，则k值可能为（ ）
A. 0B. C. 2D.
11. 已知，，P是圆O：上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 过点B且被圆O截得最短弦长的直线方程为
B. 直线与圆O总有两个交点
C. 过点A作两条互相垂直的直线，交圆O于点E，G和F，H，则四边形的面积的最小值为97
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为___________.
13. 已知，直线l：，过点A作l的垂线，垂足为B，则点B到x轴的距离的最小值为______.
14. 在某城市中，F地位于E地正南方向，相距2km；Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有一条沿湖小径（曲线），其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F，Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km，则修建两条观景步道的总费用最低是___________万元.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线l.
（1）若l在两坐标轴上截距相反，求a的值；
（2）若直线m：，且，求l与m间的距离.
16. 已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点.
（1）若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程；
（2）若，的面积为4，求b的值.
17. 已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线截得的弦长为.
（1）求圆M的标准方程；
（2）若过点的直线l与圆M相切，求直线l的方程.
18. 已知A，B分别是椭圆C：（）的上、下顶点，M是椭圆C上一动点.
（1）若直线，的斜率之积为，且椭圆C的短轴长为，求椭圆C的方程；
（2）若P是圆上一动点，且，求椭圆C的离心率的取值范围，
19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”
（1）求点P所在曲线的方程.
（2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.
（ⅰ）求直线方程.
（ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.
2024-2025学年江西省抚州市高二上学期10月联考数学检测试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列直线中，倾斜角最小的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据直线斜率与直线倾斜角之间的关系求解.
【详解】由倾斜角的范围，可知斜率为正时倾斜角小于斜率为负时的倾斜角，故排除AC，B中直线斜率为，D中直线斜率为，由正切函数的单调性及知，的倾斜角最小.故选：D
2. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】首先求的值, 然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程.
【详解】因为圆经过点，将点代入圆的方程可得.即，所以，则圆的方程为.
对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.
根据斜率公式，这里，，则.
因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则.
已知，所以切线的斜率.
又因为切线过点，根据点斜式方程（这里），
可得切线方程为.整理得.故选：A.
3. 若方程表示椭圆，则m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据椭圆标准方程的形式求解即可.
【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得，选D.
4. 若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（ ）
A. 5B. 1C. D.
【正确答案】C
【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出的范围得解.
【详解】因为点在圆C：的外部，所以，解得，又方程表示圆，则，即，所以，结合选项可知，m取值可以为.故选：C
5. 已知，，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】求出直线，的斜率后，结合图象得到斜率的取值范围.
【详解】，，由图象可知：
直线l的斜率的取值范围为.
故选：B.
6. 点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据两对称点的中点在直线上，对称点连线与直线垂直列出方程组得解.
【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，故选：A
7. 已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断P点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程.
【详解】圆：和：的圆心、半径分别为，由可知圆内含于圆内，
设动圆半径为,由题意，，,
两式相加可得,
故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，
所以，
所以椭圆方程为.
故选：C
8. 已知P是圆C：上一动点，若直线l：上存在两点A，B，使得能成立，则线段的长度的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆外切，且圆心连线与垂直时，线段长度最小，然后求即可.
【详解】由圆得圆心,半径.因为直线上存在两点，使得恒成立，则以为直径的圆与圆有交点，当长度最小时，两圆外切，且两圆圆心所在直线与垂直，如图，因为圆心到直线距离，所以故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.
9. 已知，，，且四边形是平行四边形，则（ ）
A. 直线的方程为
B. 是直线的一个方向向量
C.
D. 四边形的面积为3
【正确答案】ABD
【分析】由四边形是平行四边形，得到，结合向量的坐标公式可得到的坐标，从而计算直线的斜率，写出直线的点斜式方程，从而判断A；由方向向量和斜率的关系可判断B；由两点间的距离公式可判断C；利用点到直线的距离公式得到边上的高，由平行四边形的面积公式可判断D.
【详解】设，由四边形是平行四边形，可得，
即，解得：，所以，
，直线的方程为，
即，故A正确；，所以是直线的一个方向向量，故B正确；，故C错误；到直线的距离，
所以四边形的面积为，故D正确.故选：ABD.
10. 若直线与曲线恰有一个交点，则k的值可能为（ ）
A. 0B. C. 2D.
【正确答案】BD
【分析】根据直线过定点及曲线为半圆，作出图象，求出切线、割线对应斜率，数形结合即可得解.
【详解】直线恒过定点，由可得，如图，由解得或（舍去），即,由，可得
由图可知，或时，直线与半圆恰有1个交点.故选：BD
11. 已知，，P是圆O：上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 过点B且被圆O截得最短弦长的直线方程为
B. 直线与圆O总有两个交点
C. 过点A作两条互相垂直的直线，交圆O于点E，G和F，H，则四边形的面积的最小值为97
D. 的最大值为
【正确答案】ABD
【分析】根据圆的几何性质判断A，根据直线系过定点且在圆内判断B，根据圆的几何性质求弦长，再由均值不等式及四边形面积判断C，根据正弦定理转化为求三角形外接圆半径的最小值，再由圆的性质知内切时外接圆半径最小即可得解.
【详解】如图，因为，圆O：，所以在圆内，当弦与垂直时，所截得的弦长最短，此时最短弦所在的直线方程为，A正确；
由直线可得，故直线恒过点，由知点在圆内，所以直线与圆O总有两个交点，B正确；
记点O到直线的距离分别为，则，又，
，所以，即,则四边形的面积，即四边形的面积的最大值，C错误；
当点P在轴上时，，当点P不在轴上时，设外接圆的圆心为，半径为 ，由正弦定理得，则，当外接圆的半径最小，即外接圆与圆O内切时，最大，由题意在的中垂线上，可设其坐标为，则，因为圆M与圆O内切，所以圆心距等于半径之差，则，化简后可得，即的最小值为，此时最大，最大值为，D正确.故选：ABD
关键点点睛：本题解题的关键在于灵活运用圆的相关性质，特别是弦心距、半弦长、半径之间的关系，问题注意转化为外接圆半径最值问题，再由两圆的位置关系即可求出最小值，本题属于难题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为___________.
【正确答案】##
【分析】由通径的求法得出，再由为直角三角形得出，建立方程求出即可得解.
【详解】因为当时，代入椭圆方程可得，所以，不妨设在第一象限，则，因为为直角三角形，由椭圆的对称性知，，
所以，故，即，可得，解得或（舍去），所以椭圆M的长轴长为.故
13. 已知，直线l：，过点A作l的垂线，垂足为B，则点B到x轴的距离的最小值为______.
【正确答案】##
【分析】由直线系方程求出定点，再由题意得出B点轨迹为圆，利用圆的几何性质可得圆上点到轴距离的最小值.
【详解】由可得，
由解得，即直线过定点，连接，则中点，
因为，所以B在以为圆心，半径为的圆上，如图，
圆的方程为，则圆心到轴的距离，
所以点B到x轴的距离的最小值为.故
14. 在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2km；Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有一条沿湖小径（曲线），其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F，Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km，则修建两条观景步道的总费用最低是___________万元.
【正确答案】15
【分析】由题意求出点的轨迹方程，再根据椭圆的定义化简费用关系式，数形结合可知在处有最小值.
【详解】以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示的直角坐标系.设Р为沿湖小径上的任意一点，则，
根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆.所以，
则点P的轨迹方程为，由题意，修建两条观景步道的总费用为，由图形可知，当三点共线且在之间时，即运动到处时，总费用最低，最低为.故15
关键点点睛：本题关键在于建立平面直角坐标系，利用椭圆定义得到动点的轨迹方程，再由数形结合，得出三点共线时，动点的位置，属于较难题目.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线l.
（1）若l在两坐标轴上的截距相反，求a的值；（2）若直线m：，且，求l与m间的距离.
【正确答案】（1） （2）
【分析】（1）求出截距，利用截距和为0得解；（2）根据平行得出直线方程，再由平行线间距离公式求解.
【小问1详解】令，则，令，则，所以，解得
【小问2详解】因为，所以，解得，则的方程为，即，则l与m间的距离.
16. 已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点.
（1）若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程；
（2）若，的面积为4，求b的值.
【正确答案】（1） （2）
【分析】（1）已知可求出，点坐标可代入椭圆方程求出，进而求出；
（2）得到椭圆标准方程根据，利用三角形面积公式和椭圆定义以及勾股定理来求解的值.
【小问1详解】已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得.又因为，，，所以.所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，.由勾股定理可得.
又，即.
在椭圆中有，将变形为，即，解得.
17. 已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线截得的弦长为.
（1）求圆M的标准方程；（2）若过点的直线l与圆M相切，求直线l的方程.
【正确答案】（1） （2）或
【分析】（1）根据弦长及圆的几何性质求出圆心半径得解；
（2）分类讨论直线的斜率是否存在，根据点到直线距离等于半径得解.
【小问1详解】因为圆心在轴的负半轴上，所以设圆：
又圆与轴相切，所以，即.圆心到直线的距离为,
所以，解得，则.故圆的标准方程为.
【小问2详解】由（1）知，圆心为，
因为，所以点在圆外，过圆外一点作圆的切线，其切线有2条.
①当的斜率存在时，设的方程为，即，
则圆心M到的距离，解得，
此时的方程为.
②当的斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为2，
所以直线与圆M相切.
综上，的方程为或.
18. 已知A，B分别是椭圆C：（）的上、下顶点，M是椭圆C上一动点.
（1）若直线，的斜率之积为，且椭圆C的短轴长为，求椭圆C的方程；
（2）若P是圆上一动点，且，求椭圆C的离心率的取值范围，
【正确答案】（1） （2）
【分析】（1）求出直线，的斜率之积，利用短轴长，求出即可得出椭圆的标准方程；（2）求出，利用可得，分类讨论求，建立不等式求解即可.
【小问1详解】易知，设点，则，即，
直线的斜率之积，
又椭圆C的短轴长为，即，所以，故椭圆C的方程为
【小问2详解】
圆可化为，则圆心为，半径为，
由是圆上一动点，且，可得，如图，
设，则，所以，
当，即时，，即，符合题意，由，可得，即；当即时，，即，化简得，所以，这与矛盾，不符合题意.综上，椭圆C的离心率的范围为
19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”
（1）求点P所在曲线的方程.（2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.
（ⅰ）求直线的方程.（ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）存在，
【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程；
（2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解；
（ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解.
【小问1详解】因为点P为圆A的“黄金点”，所以，即，
所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，故点P所在曲线的方程为
【小问2详解】（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则
所以，即点P在圆上，
则P是圆和的交点.
因为P，Q均为圆“”的“钻石点”，
所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得，故直线的方程为.
( ii )设圆心为，半径为，
的圆心为，半径为.
直线的方程为，得的中点坐标为，
点S到直线的距离为，则，所以圆H的方程为.
假设轴上存在点满足题意，设，.
若轴平分，则，即，
整理得
又，所以代入上式可得，
整理得①，
由可得，
所以，代入①并整理得，
此式对任意的都成立，所以.
故轴上存在点，使得轴平分.
关键点点睛：在（2）( ii )中，求出圆圆H的方程为后，假设存在点满足题意，能够转化为，再由斜率公式化为，利用根与系数的关系代入后得，题目对运算能力要求很高，属于难题.