2024-2025学年江西省南昌市高二上册第一次月考数学检测试卷

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这是一份2024-2025学年江西省南昌市高二上册第一次月考数学检测试卷，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知平面的法向量为，若直线平面，则直线l的方向向量可以为（）
A. B.
C. D.
2. 平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（）
A. ，平行B. ，垂直
C. ，重合D. ，相交不垂直
3. 已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（）
A. ，，则
B. ，，，，则
C. ，，，则
D. ，，，，，则
4. 在中，为的重心，为上一点，且满足，则（）
A. B.
C. D.
5. （）
A. B. C. D.
6. 已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（）
A. B. C. D.
7. 正方体中，是的中点，是底面的中心，是棱上任意一点，则直线与直线所成的角是（）
A. B. C. D. 与点的位置有关
8. 已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，为（）
A. B. C. 3D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分
9. 已知，，，则（）
A. 直线与线段有公共点
B. 直线的倾斜角大于
C. 的边上的中线所在直线的方程为
D. 的边上的高所在直线的方程为
10. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
11. 设复数共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体表面积______；
13. 直线过点，，则直线的倾斜角为______
14. 如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为______.
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在正方体中， E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
16. 已知点，，是的三个顶点.
（1）求证：为锐角三角形；
（2）求证：三条中线交于一点.
17. 如图，在平行六面体中，，，设，，.
（1）请用，，表示，并求向量的模；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
18.
已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB=4，为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面平面ABCE.
（1）求证：；
（2）试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
19. 南昌二中心远农场平面图是一个等腰三角形.记为，其腰的长为30米，底的长为40米.国庆前期，汪熙翔老师有一个想法：在农场内筑一条笔直的小路（宽度不计），将该农场分成一个四边形和一个三角形，面积分别为和，计划将四边形区域设计为菜园、三角形区域设计为鱼池，且要求分成四边形和三角形的周长相等.

（1）若小路一端为的中点，求此时小路的长度；
（2）如何设计小路位置，使得取最小值.请给出理由.