贵州省遵义市2024-2025学年高二上册10月联考数学学情检测试题（含解析）

这是一份贵州省遵义市2024-2025学年高二上册10月联考数学学情检测试题（含解析），共21页。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至必修第四册11.3.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，.若，则（ ）
A B. C. D. 1
4. 将函数的图像向左平移个最小正周期的单位长度后得到函数的图像，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若对任意的，函数满足，则（ ）
A. 6B. 4C. 2D. 0
6. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 七巧板是一种古老中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向.该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离（ ）

A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为深入贯彻落实全国旅游发展大会精神，文化和旅游部启动“致敬新时代”红色故事宣讲活动.某中学积极响应，举行了一场“红色故事”讲解大赛，全校共60名学生参赛，比赛结束后，将这60名学生的大赛成绩（单位：分）进行整理，按50,60，60,70，，，90,100分成5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 估计样本的70%分位数为81.5分
C. 若每组数据均以中间值作代表，则估计样本的平均数为76.5分
D. 若按照分层随机抽样的方法从大赛成绩在与90,100内的学生中共抽取7人，则90,100内被抽取到的学生人数为3
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A.
B
C. 的图象与轴的交点坐标为
D. 函数的图象关于直线对称
11. 如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数，则的实部与虚部之积为________.
13. 已知单位向量，满足，且，则正数的值为________.
14. 已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为________，球的表面积为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面平面.
16. ，，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是.
（1）求，两人各自闯关成功的概率；
（2）求，，三人中恰有两人闯关成功的概率.
17. 已知函数的图像经过点.
（1）求值；
（2）试判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若，，求的取值范围.
18. 在锐角中，内角对边分别为，且.
（1）证明.
（2）若点在边上，且，求的取值范围.
19. 若，是函数ℎx在内的两个零点，则定义ℎx的型零点旋转函数为，且.将函数在内所有的零点从小到大排列后，记第个零点为，集合.
（1）请用列举法写出.
（2）设函数是的1型零点旋转函数，函数，，.
（i）讨论φx的零点个数；
（ii）若φx有两个零点，，证明.
贵州省遵义市2024-2025学年高二上学期10月联考数学学情检测试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至必修第四册11.3.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先根据复数的运算求出，再根据共轭复数的定义即可求出 .
【详解】解：，
，
故．
故选：D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先确定两个集合中元素，再根据交集的定义求解，
【详解】因为，所以.
故选：A．
3. 已知向量，.若，则（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】D
【分析】由平行向量的坐标运算求解即可.
【详解】若，则，
解得.
故选：D.
4. 将函数的图像向左平移个最小正周期的单位长度后得到函数的图像，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由三角函数的平移变换求解即可.
【详解】因为的最小正周期为，
所以个最小正周期为，
所以.
故选：A.
5. 若对任意的，函数满足，则（ ）
A. 6B. 4C. 2D. 0
【正确答案】D
【分析】用赋值法即可求解.
【详解】令，则由，可得，
所以为常数函数，令，可得，故.
故选：D
6. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由圆台的体积公式求解即可.
【详解】设圆台的上、下底面半径为，母线长为，高为h，
所以，
因此圆台的高为，
该圆台的体积为.
故选：B.
7. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据古典概型求解即可.
【详解】如下图，将七块三角形编号如下，
所以从七巧板的五块三角形中任意取出两块的基本事件为：
，，
，，，共有种，
将七巧板划分如下，被分成个全等的三角形，设正方形的面积为，
则编号的面积为，则编号的面积为，
编号的面积为，
任取两块板面积相等的基本事件为.
从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为.
故选：C.
8. 如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向.该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由两角和与差的正弦、余弦公式结合正弦定理、余弦定理求解即可.
【详解】由题意可知，，
所以在中，
因，
，
由正弦定理可得：，则，
解得：，
在中，所以，
所以在，由余弦定理可得：
，
所以.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为深入贯彻落实全国旅游发展大会精神，文化和旅游部启动“致敬新时代”红色故事宣讲活动.某中学积极响应，举行了一场“红色故事”讲解大赛，全校共60名学生参赛，比赛结束后，将这60名学生的大赛成绩（单位：分）进行整理，按50,60，60,70，，，90,100分成5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 估计样本的70%分位数为81.5分
C. 若每组数据均以中间值作代表，则估计样本的平均数为76.5分
D. 若按照分层随机抽样的方法从大赛成绩在与90,100内的学生中共抽取7人，则90,100内被抽取到的学生人数为3
【正确答案】ACD
【分析】利用频率分布直方图各小矩形面积和为1计算判断A；利用频率分布直方图结合第百分位数、平均数的意义计算判断BC；利用分层抽样求出抽取的人数作答.
【详解】对于A，由图知，
解得，故A正确；
对于B，成绩在内对应的频率为，
成绩在内对应的频率为，
因此第70百分位数位于区间内，，
所以估计样本数据的第70百分位数约为，故B错误；
对于C，平均数约为，
故C正确；
对于D，在与90,100学生的人数之比为，
则应选取成绩在90,100内的学生人数为，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A.
B.
C. 的图象与轴的交点坐标为
D. 函数的图象关于直线对称
【正确答案】AD
【分析】根据函数的图象确定其最小正周期，求出，判断A；利用特殊值可求出，进而求出的图象与轴的交点坐标，判断BC；判断的图象关于点对称，即可判断D.
【详解】由图可知，的最小正周期，则，A正确；
由图象可知时，函数无意义，故，
由，得，即，则，
即的图象与轴的交点坐标为，B，C错误；
由于，则的图象关于点对称，
可得函数的图象关于直线对称.
故选：AD
11. 如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ABD
【分析】先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可.
【详解】由，解得.
设，
则.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数，则的实部与虚部之积为________.
【正确答案】
【分析】运用复数乘法进行化简计算，再根据实部虚部概念计算即可.
【详解】，则虚部为−2，实部为，乘积为.
故答案为.
13. 已知单位向量，满足，且，则正数的值为________.
【正确答案】
【分析】由数量积的定义求出，再对两边同时平方代入化简即可得出答案.
【详解】因为，是单位向量，且，
所以，
所以，
所以，解得：或.
则正数的值为.
故答案为.
14. 已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为________，球的表面积为________.
【正确答案】 ①. 4 ②.
【分析】利用正弦定理求得外接圆半径，结合题意可得球的半径，再利用球的截面性质与球的表面积公式即可得解.
【详解】在中，，.
根据正弦定理（为外接圆半径），
这里，，所以，解得.
因为、、三点所在平面经过球心，所以球的半径.
因为、、三点所在平面经过球心，
当垂直于平面时，点到平面的距离最大，这个最大值就是球的半径，
所以点到平面的距离的最大值为.
则球的表面积为.
故；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面平面.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）利用三角形中位线证明，可证平面.
（2）证明，，可证得平面，平面，所以平面平面.
【小问1详解】
连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点，
又为的中点，则有，
平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
，分别为，的中点，则有，
平面，平面，则有平面，
，分别为，的中点，有，
又，则有，
平面，平面，则有平面，
平面，，
所以平面平面.
16. ，，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是.
（1）求，两人各自闯关成功的概率；
（2）求，，三人中恰有两人闯关成功的概率.
【正确答案】（1），两人各自闯关成功的概率都是.
（2）
【分析】（1）记三人各自闯关成功分别为事件，三人各自独立闯关，由题意结合独立事件的概率公式可列出方程组，从而解得，两人各自闯关成功的概率；
（2）三人中恰有两人闯关成功为事件，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算即可．
【小问1详解】
记三人各自闯关成功分别为事件，
三人闯关成功与否得相互独立，且满足，
解得，，
所以，两人各自闯关成功的概率都是.
【小问2详解】
设，，三人中恰有两人闯关成功为事件，
则，
所以三人中恰有两人闯关成功的概率为.
17. 已知函数的图像经过点.
（1）求的值；
（2）试判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若，，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）奇函数，理由见解析
（3）
【分析】（1）把图像上的点代入函数解析式即可求的值；
（2）由函数奇偶性的定义判断并证明；
（3）由函数单调性解不等式，取最值解决恒成立问题.
小问1详解】
函数的图像经过点，有，
即，解得.
【小问2详解】
为奇函数，理由如下：
由（1）得，函数定义域为R，
，所以为奇函数.
【小问3详解】
函数和在R上都增函数，所以在R上单调递增，
由，则有，
所以，恒成立，则有，
所以的取值范围为.
18. 在锐角中，内角的对边分别为，且.
（1）证明.
（2）若点在边上，且，求的取值范围.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）.
【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得，再利用两角和的正弦公式即可证明结论；
（2）由已知条件结合正弦定理可得，根据锐角确定角C的范围，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：因为，所以，
整理得.
又，所以，从而，
整理得，则.
由，得，
即，结合锐角中，，
则，即.
【小问2详解】
如图，由，可得，则.
中，由正弦定理得，
整理得.
因为，且是锐角三角形，所以解得，
则，
从而，即的取值范围为.
19. 若，是函数ℎx在内的两个零点，则定义ℎx的型零点旋转函数为，且.将函数在内所有的零点从小到大排列后，记第个零点为，集合.
（1）请用列举法写出.
（2）设函数是的1型零点旋转函数，函数，，.
（i）讨论φx的零点个数；
（ii）若φx有两个零点，，证明.
【正确答案】（1）
（2）（i）答案见详解；（ii）证明见详解
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式可得，求出函数的零点即可求解；
（2）（i）由（1）知（），则可转化为，结合函数的零点与对应方程的根之间的关系，分类讨论的取值情况即可求解；（ii）由题意可得是方程的两个根，利用韦达定理和的单调性可得，即可证明.
【小问1详解】
，
令，得或，又，
所以当时，；
当时，，
所以；
【小问2详解】
（i）由（1）知，则，
得，令，
由，得，即，
对于方程，，
当即时，无零点；
当即时，有1个零点；
当即时，方程的解为，
若且，即，有2个零点；
若，有1个零点；
若，即，无零点；
综上，当或时，无零点；
当或时，有1个零点；
当时，有2个零点.
（ii）若有2个零点，则是方程的两个根，
由韦达定理得，
又，所以，
而，故，
因为在上单调递减，所以，
故，即证.
关键点点睛：解决第（2）问的关键点在于理清函数的零点与方程的根之间的关系，和利用韦达定理与的单调性得出.