初中数学苏科版（2024）九年级下册5.5 用二次函数解决问题随堂练习题

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级下册5.5 用二次函数解决问题随堂练习题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻在一定条件下，直杆的太阳影子长度单位：米与时刻单位：时的关系满足函数关系是常数，如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（）
A．B．13C．D．
2．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．某海滨浴场有100把遮阳伞，每把每天收费10元时，可全部租出，若每把每天收费提高1元，则减少5把伞租出，若每把每天收费再提高1元，则再减少5把伞租出，……，为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费（ ）
A．7元B．6元C．5元D．4元
4．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
6．出售某种文具盒，若每个可获利x元，一天可售出(6－x)个．当一天出售该种文具盒的总利润y最大时，x的值为( )
A．1B．2C．3D．4
7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额（元）与降价（元）的函数关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．某童装专卖店销售一批某品牌童装，已知销售这种童装每天获得的利润y（元）与童装的销售价x（元/件）之间的函数解析式为y＝﹣x2+160x﹣4800．若想每天获得的利润最大，则销售价应定为（ ）
A．110元/件B．100元/件C．90元/件D．80元/件
9．将进货单价为元的某种商品按零售价元一个售出时，每天能卖出个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价元，其日销售量就增加个，则能获取的最大利润是（ ）
A．元B．元C．元D．元
10．“星星书店”出售某种笔记本，若每个可获利元，一天可售出个．当一天出售该种文具盒的总利润最大时，的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
12．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为米，拱顶距离水平面米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行( )
A．B．C．D．
二、填空题
13．有四张正面分别标有﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中取出一张，将卡片上的数字记为a，不放回，再取出一张，将卡片上的数字记为b，设P点的坐标为（a，b）．如图，点P落在抛物线y=x2与直线y=x+2所围成的封闭区域内（图中含边界的阴影部分）的概率是 ．
14．某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每周利润最大化，并确定x的取值范围？
【销售最大利润问题】先通过价格与利润关系得到二次函数的关系式，根据函数图象及性质求最大值．
（1）设每件涨价x元，则此时每星期少卖 件，实际卖出 件，此时每件产品的销售价为 元，每周产品的销售额 元，此时每周产品的成本 元，因此周利润合计为：
y＝（60＋x）（300－10x）－40×（300－10x）
＝−10x2＋100x＋6000
＝−10（x−5） 2＋6250
当产品单价涨价5元，即售价 元，利润最大，最大利润为 元
（2）设每件降价x元，则此时每星期多卖 件，实际卖出 件，此时每件产品的销售价为 元，每周产品的销售额 元，此时每周产品的成本 元，因此周利润合计为：
y＝（60－x）（300＋20x）－40×（300＋20x）
＝−20x2＋100x＋6000
＝−20（x−2.5）2＋6125
当产品单价降价2.5元，即售价 元，利润最大，最大利润为 元
当产品单价涨价5元，即售价65元，利润最大，最大利润为6250元．
当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，利润最大，最大利润为6125元．
综上所述，当涨价5元时利润最大，最大利润6250元
15．已知抛物线，当时，函数y的最小值为，则m的值为 ．
16．数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x（x≥100）元，则月销量是 件，销售该运动服的月利润为 元（用含x的式子表示）.
17．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是 ．
三、解答题
18．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
19．“童心迎六一，欢乐共成长”，某超市计划在儿童节期间进行一款文具的促销活动．该文具进价为5元/件，售价为9元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每下降0.5元，当天的销售量就增加5件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按0.5元的倍数下降），当天销售利润为元．
(1)求与的函数关系式；
(2)要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
(3)若每件文具的利润不超过60%，要想当天获得最大利润，每件文具的售价应为多少元？并求出最大利润．
20．因为疫情，参加中考的学生进入考点需要检测体温，防疫部门为了了解学生进入考点进行体温检测的情况，调查了某个考点上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，并绘制了如图所示图像．
(1)研究发现9分钟内考生进入考点的累计人数是时间的二次函数，请求出9分钟内y与x之间的函数关系式；
(2)如果考生一进考点就开始排队测量体温，体温监测点有2个，每个监测点每分钟检测20人，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
21．某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
22．某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数表达式；
(2)当该产品的售价为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？
23．如图，在水平地面点处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为.有人在直线上点（靠点一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内.已知m，，网球飞行最大高度，圆柱形桶的直径为0.5，高为0.3（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）.以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
（1）求网球飞行路线的函数解析式.
（2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？
24．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．
(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少．
售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销量（件）
200
180
160
140
…
《5.5用二次函数解决问题》参考答案
1．C
【详解】把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：
，解得，
∴l=0.15t2-4t+27，
∵0.15＞0，
∴l有最小值，
当t=-=≈13.33时，该地影子最短；
故选C．
【点睛】错因分析 中等题.失分原因：没有理解本题考查的真正意图，通过二次函数图象上的点结合函数性质，推断对称轴位置.
2．C
【分析】利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案．
【详解】解：当y=14时，，
解得，，
∴A（，14），C（，14），
∴AC=．
故选：C．
【点睛】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键
3．C
【分析】设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，每个每天应收费（10+x）元，每天的租出量为（100-5x）个，由此列出函数解析式即可解答．
【详解】解：设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，由此可得，
S=（10+x）（100-5x），
整理得S=-5x2+50x+1000，
=-5（x-5）2+1125，
∵-5＜0
∴当x=5时,S最小,
即为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费5元
故选C．
【点睛】此题考查运用每天的利润=每个每天收费×每天的租出量列出函数解析式，进一步利用题目中实际条件解决问题．
4．B
【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．
【详解】设剩余部分的面积为y，则：
，
故选B.
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出答案是解题关键．
5．C
【分析】根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
【详解】解：在中，令y=0得：
，
解得x=-2（舍去）或x=8，
∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
6．C
【分析】先根据题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解即可．
【详解】解：由题意可得函数式y=（6-x）x，
即y=x(6-x)=-x2+6x，
当x=-==3时，y有最大值．
当x=3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
故选：C．
【点睛】：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
7．B
【分析】根据让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，求得销售量为，根据售价乘以销量得出销售额，据此即可求解．
【详解】解：依题意，每星期的销售额（元）与降价（元）的函数关系为，
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
8．D
【分析】根据函数解析式为y＝−x2＋160x−4800，可得当x＝−＝80时，y有最大值1600．
【详解】解：∵y＝﹣x2+160x﹣4800，
∴抛物线的开口向下，
∴当x＝﹣＝80时，y＝＝1600，
∴想每天获得的利润最大，则销售价应定为80元，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义．
9．B
【分析】设降价元，表示出利润的关系式为，根据二次函数的最值问题求得结果．
【详解】解：设降价元，所获得的利润为元，
则
，
，
当元时，二次函数有最大值．
获得的最大利润为625元．
故选：．
【点睛】本题是一个二次函数的实际应用题，主要考查了列二次函数解析式，求二次函数的最值．应识记有关利润的公式：利润销售价成本价．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出函数关系式是解决问题的关键．
10．D
【分析】先根据题意得出总利润y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答．
【详解】∵出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个，
∴y=（8-x）x，即y=-x2+8x，
∴当时，y取得最大值．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值问题，能根据题意得出y与x的关系式是解答此题的关键．
11．C
【详解】解：由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，
则△BPQ的面积=BP•BQ，
可得y=•3x•x=；
故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积=BQ•BC，
可得y=•x•3=；
故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，
则△BPQ的面积=AP•BQ，
可得y=•（9﹣3x）•x=；
故D选项错误．
故选：C．
12．D
【分析】根据已知，假设解析式为，把（10，-4）代入求出解析式．假设在水面宽度18米时，能顺利通过，即可把x=9代入解析式，求出此时水面距拱顶的高度，然后和正常水位相比较即可解答．
【详解】解：设该抛物线的解析式为，
在正常水位下x=10，
代入解析式可得，−4=，
解得：，
故此抛物线的解析式为，
∵桥下水面宽度不得小于18米，
令x=9时，
则y=×81=−3.24米，
此时水深6+4−3.24=6.76米，
即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过；
故选D.
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键.
13．
【分析】先确定抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），再利用树状图展示所有12种等可能的结果数，然后找出满足条件的P点的个数，再利用概率公式计算．
【详解】解：解方程组，
可得或，
所以抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中点P落在抛物线y=x2与直线y=x+2所围成的封闭区域内（图中含边界的阴影部分）有4种，分别为（﹣1，1）、（0，1）、（0，2）、（1、2），
所以点P落在抛物线y=x2与直线y=x+2所围成的封闭区域内（图中含边界的阴影部分）的概率==．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数，再找出某事件所占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率．
14． 10x 60＋x 300－10x（） （60＋x）（300－10x） 40（300－10x） 65 6250 20x 60＋x 300＋20x（） （60－x）（300＋20x） 40（300＋20x） 57.5 6125
【解析】略
15．或
【分析】本题考查了二次函数性质的应用，分类讨论①当时，由性质得，解方程，即可求解；②当时，由最值求法即可求解；③当时，由性质得，解方程，即可求解；能根据二次函数的性质进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：由题意可知
，
该抛物线开口向上，
对轴为直线，
①当时，
时，y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最小值，
∴，
解得：（舍去），，
此时；
②当时，
，
最小值为，
∴这种情况不存在；
③当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y取最小值，
∴，
解得：（舍去），，
此时．
综上所述，m的值为或．
16．
【详解】分析：运用待定系数法求出月销量；根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式．
详解：设月销量y与x的关系式为y=kx+b，
由题意得，，
解得.
则y=-2x+400；
由题意得，y=（x-60）（-2x+400）
=-2x2+520x-24000
点睛：本题考查的是二次函数的应用，一次函数的运用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
17．
【分析】设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，将（2，5）与（6，0）代入解析式，求得a的值，再令x=0，求得y的值，即可得出答案．
【详解】解：设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，
由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0），
∴0=a（6-2）2+5，解得：，
∴抛物线解析式为：
当x=0时，
∴水管的长度OA是m．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18．（1）y=-2x+60（10≤x≤18）；（2）销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．（3）15元．
【分析】（1）设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；
（3）先把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式y=-2x+60（10≤x≤18）；
（2）W=（x-10）（-2x+60）
=-2x2+80x-600，
对称轴x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x=18时，W最大，最大为192．
即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．
（3）由150=-2x2+80x-600，
解得x1=15，x2=25（不合题意，舍去）
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．
19．(1)y=-10x2+240x-950；
(2)当天销售单价所在的范围为7≤x≤17；
(3)每件文具售价为8元时，最大利润为330元．
【分析】（1）根据总利润=每件利润×销售量，列出函数关系式，
（2）由（1）的关系式，即y≥240，结合二次函数的性质即可求x的取值范围；
（3）由题意可知，利润不超过60%即为利润率=（售价-进价）÷进价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求．
【详解】（1）解：由题意y＝(x−5)[100−×5]=-10x2+240x-950，
所以y与x的函数关系式为：y=-10x2+240x-950；
（2）解：要使当天利润不低于240元，则y≥240．
∴y=-10x2+240x-950=-10（x-12）2+490=240
解得，x1=7，x2=17，
∵-10＜0，抛物线的开口向下，
∴当天销售单价所在的范围为7≤x≤17；
（3）解：∵每件文具利润不超过60%，
∴x-5≤5×0.6，得5