苏科版（2024）九年级下册5.1 二次函数练习题

这是一份苏科版（2024）九年级下册5.1 二次函数练习题，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数的关系式是( )
A．y=10xB．y=x(20-x)C．y= x(20-x)D．y=x(10-x)
2．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．一次函数
C．二次函数D．以上均不正确
3．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y=（x＋l）2－x2B．y=
C．y=－5x2D．y=2x－l
4．顶点为(-6，0)，开口方向、形状与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是( )
A．y=(x-6)2B．y=(x+6)2C．y=-(x-6)2D．y=-(x+6)2
5．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数D．以上答案都不对
6．已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是（ ）
A．a≠0且b≠0B．a≠0且b≠0，c≠0C．a≠0D．a，b，c为任意实数
8．已知抛物线y＝(m－1)xm^2－m的开口向上，则m的值为( )
A．2或－1B．1C．－1D．2
9．下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系；
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系；
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系；
D．正方形的周长C与边长a之间的关系；
10．是二次函数，则的值为（ ）
A．，B．，C．D．
11．若是二次函数，且图象开口向下，则的值为（ ）
A．B．0C．D．
12．函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．3B．C．D．或3
二、填空题
13．已知方程，请你通过变形把它写成一个你所熟悉的函数表达式的形式，则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．
14．一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为，其图象如图所示．若小球在发射后第2 s与第6 s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间 （s）．
15．已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为 ．
16．已知二次函数，如果当x=-1时y=2，那么当x=2时，y= ．
17．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为 ．（结果保留）
三、解答题
18．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
19．定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．
(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．
20．举出一个生活中有关二次函数的例子．
21．如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求：
（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当时，求线段PQ的长；
（3）当t为何值时，？
22．（1）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围；
（2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值．
23．已知函数．
当函数是二次函数时，求的值；
当函数是一次函数时，求的值．
24．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
（2）完成下表：
（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？
函数解析式
二次项系数
一次项系数
常数项
（1）
（2）
（3）
（4）
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
每个图中小圆圈的总数
《5.1二次函数》参考答案
1．C
【分析】根据已知表示出两条直角边的长，再利用直角三角形的面积公式求出即可．
【详解】根据一直角边长为xcm，则另一条直角边为（20-x）cm，根据题意得出：
y=x（20-x）÷2．
故选C
【点睛】此题主要考查了直角三角形的面积应用，得出两条直角边的长是解题关键．
2．C
【分析】设y1＝k1x，y2＝k2x2，根据y＝y1﹣y2得到y＝k1x﹣k2x2，由此得到答案．
【详解】解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，
则y＝k1x﹣k2x2，
所以y是关于x的二次函数，
故选：C．
【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键．
3．C
【分析】根据二次函数的定义，进行判断；
【详解】解：A．化简，得，是一次函数，故不符合题意；
B．中，是分式，故不符合题意；
C．中，，，故符合题意；
D．是一次函数，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题关键．
4．B
【详解】可设抛物线解析式为y=a（x+6）2，再由条件可求得a的值，可求得答案．
解：∵顶点为(−6,0)，
∴可设抛物线解析式为y=a(x+6)2，
∵开口方向,形状与函数y=x2的图象相同，
∴a=，
∴抛物线解析式为y= (x+6)2，
故选B.
5．C
【详解】根据二次函数的定义，易得S是R的二次函数，故选C.
6．A
【分析】根据二次函数的定义判断即可；
【详解】y＝2x﹣1是一次函数；
y＝﹣2x2﹣1是二次函数；
y＝3x3﹣2x2不是二次函数；
④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数；
y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；
故二次函数有1个；
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键．
7．C
【分析】根据二次项系数不为0求解即可.
【详解】由二次函数的定义得，函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是a≠0.
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.
8．D
【详解】因为抛物线是二次函数，且开口向上，则有，解得，且m>1, ∴m＝2.
故选D.
9．C
【详解】A.路程=速度×时间,所以当路程一定时,汽车行驶的时间t与速度v之间是一次函数的关系;
B.弹簧的长度y是随着物体的质量x增大而增长的,是一次函数关系;
C.圆的面积=πr2,所以圆的面积S与圆的半径r之间是二次函数关系;
D. 正方形的周长C=边长a×4, 故C与边长a之间是一次函数关系；
故选C.
点睛：本题主要考查的是二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键.
10．D
【分析】根据二次函数的概念，二次项系数m≠0，x的指数m2＋2m＋2＝2，从而求出m的值.
【详解】根据二次函数的概念，二次项系数m≠0，x的指数m2＋2m＋2＝2,解得m＝0或－2.其次系数m不等于0，所以排除0，即答案是－2.所以答案选D.
【点睛】本题考查了二次函数的概念，二次项系数不等于0，最高次项指数为2.
11．D
【分析】根据二次函数的定义，令m2−2＝2，求m的值，二次函数图象开口向下，则二次项系数1−m＜0，确定m的值．
【详解】∵已知函数为二次函数，
∴m2−2＝2，
解得m＝−2或2，
当m＝−2时，1−m＝3＞0，二次函数图象开口向上，不符合题意，
当m＝2时，1−m＝−1＜0，二次函数图象开口向下，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的定义及性质，解题的关键是掌握二次函数的定义及性质．
12．D
【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，且，
由得，或，
∴m的值是3或-1，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义、解一元二次方程等知识，解答本题的关键是根据二次函数的定义列出方程与不等式．
13． a、c均不为0 二次
【详解】(1). ,，(2)a、c均不为0, (3)是二次函数.
14．8
【分析】根据题意可求得函数的对称轴，从而根据函数的对称性，可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
的对称轴为直线，
∴当x=4，h取得最大值，
∴由函数的对称性可得：小球从发射到回到水平面共需时间.
故答案为：8.
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
15．-1
【分析】若y＝+2x﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；
【详解】解：由题意得：，
解得：m=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键．
16．8
【分析】先根据x=-1时y=2求出a的值，得到原函数，再令x=2，求出y．
【详解】解：当x=-1 ，y=2时，，，∴，
当x=2时，．
故答案是：8．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握自变量和因变量之间的函数关系．
17．
【分析】根据圆的面积公式即可求解．
【详解】解：依题意，圆面积与的函数关系为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，掌握圆的面积公式是解题的关键．
18．见解析
【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理．
【详解】解：
【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键．
19．(1)或
(2)
【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可；
（2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可．
【详解】（1）解：依题意把点代入解析式，
得，化简得：，解得：；
（2）解：设点是函数的一个不动点，
则有，化简得，，
关于的方程有实数解，
，解得：．
【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题．
20．见解析
【分析】利用篮球出手后它的高度与运行时间之间的关系．
【详解】解：篮球运动员在篮下投篮，篮球出手后它的高度与运行时间之间是二次函数关系．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的函数称为二次函数，其中是自变量，是函数．
21．（1）；（2）；（3）当t为2或3时，．
【分析】（1）由点P点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解即可；
（2）当时，代入（1）中公式可得PC，CQ的长，再由勾股定理即可求出PQ；
（3）结合（1）得到的关系式，代入条件，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）由条件可得：，，
∴，
∴，；
（2）当时，，，
∴；
（3）由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∴当t为2或3时，．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，方程思想是解决本题的关键．
22．（1）m≠0且m≠1；（2）m的值为3．
【分析】（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；
（2）直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出即可．
【详解】解：（1）函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1是二次函数，
即m2﹣m≠0，
即m≠0且m≠1，
∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数；
（2）由题意得：m2﹣2m﹣1=2，m2+m≠0，
解得：m1=3，m2=﹣1（不合题意舍去），
所以m的值为3．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键．
23．；或或．
【分析】（1）根据二次函数的定义得到m2+m-4=2且m+3≠0，由此求得m的值；
（2）根据一次函数的定义得到m2+m-4=0或m2+m-4=1或m+3=0，由此求得m的值．
【详解】依题意得：且．
即且，
解得；
依题意得：或或，
解得或或．
【点睛】二次函数的定义, 一次函数的定义．
24．（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）
【分析】（1）首先，观查每个图形的特点，算出每一个图形中的小圆圈数，据此推过推算即可得到第5个图中小圆圈的个数；
（2）直接将（1）算出的结果填入下列表格即可；
（3）接下来通过对表格进行分析，即可得到每一个图形的小圆圈数与该图形一条边上的小圆圈数之间的关系．
【详解】（1）观查每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，
第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，
第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，
第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，
由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；
（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，
（3）结合（1）（2）可知，与之间的函数关系为：
首尾相加得
．
【点睛】本题主要考查根据图形和数字寻找规律的知识.解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手，根据前后式子之间的异同推断出规律，再利用发现的规律解决相关问题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
B
C
A
C
D
C
D
题号
11
12








答案
D
D








函数解析式
二次项系数
一次项系数
常数项
（1）
2
（2）
0
（3）
1
0
（4）
1
0
0
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
每个图中小圆圈的总数
1
7
19
37
61