初中数学苏科版（2024）九年级下册7.1 正切当堂检测题

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级下册7.1 正切当堂检测题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在的正方形网格降中，已知点均在格点上，其中又在上，点是线段与的交点．则的正切值为（ ）

A．B．C．D．
2．如图，已知，，，，的长为（ ）
A．B．C．D．
3．求得－2tan45°的值为（ ）
A．0B．1C．-2D．
4．如图，在地面上用测角仪DF测得旗杆顶端A的仰角a=40°42′，已知F点到旗杆底端C的距离FC=17.71米，测角仪高DF=1.35米，则旗杆高AC约为（精确到0.01米）（ ）
A．16.58米B．15.23米C．12.90米D．21.94米
5．如图，点A(2，t)在第一象限，OA与x轴所夹锐角为，tan=2，则t的值为( )
A．4B．3C．2D．1
6．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF=2AF；②tan∠CAD= ；③DF=DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF=S△ABF ,其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（ ）
A．2B．8C．D．
9．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）域的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA等于（ ）
A．B．C．2D．
11．在中，，则tanA等于()
A．B．C．D．
12．如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
二、填空题
13．将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于
14．如图，的半径于点C，连接并延长交于点E，连接，若，，
（1）的半径为 ；
（2）的值为 ．

15．如图，点依次在的图像上，点依次在轴的正半轴上．若，均为等边三角形，则点的坐标为 ．
16．如图，在的正方形网格中， ．
17．在中，若=2，，则 ．
三、解答题
18．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
19．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．
（1）求m的值；
（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；
（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

20．在中，，求和．
21．如图，将以点A为直角顶点的等腰直角三角形沿直线平移得到，使点与点C重合，连接，则的值为？
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cs A=.求：
（1）DE，CD的长；（2）tan∠DBC的值．
23．如图，在Rt中，，．点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，则的值为_______．
24．在直角坐标系中，的三个顶点的坐标分 别为、、，试求的值．
《7.1正切》参考答案
1．A
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可得，再根据正切的概念，即可解答．
【详解】解：由题意，可得，
在中，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数正切的概念，熟练利用圆周角定理把所求角经过等量转换放到直角三角形中是解题的关键．
2．C
【分析】作交于D，根据，，得出，，进而得出，再根据勾股定理即可得出答案．
【详解】作交于D，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，
故答案为：C．
【点睛】本题考查三角函数，勾股定理，正确计算是解题的关键．
3．C
【分析】根据特殊三角函数值,化简求值即可解题.
【详解】解：原式=2×--2×1
=1-1-2
=-2
故选C.
【点睛】本题考查了特殊的三角函数值,属于简单题,熟悉特殊的三角函数值是解题关键.
4．A
【分析】观察图形可知旗杆的高度AC=AB+BC,而BC=DF,故只需求出AB的长度即可.
【详解】根据已知条件可知DF=BC=1.35m,BD=CF=17.71m.
∵ AB⊥BD α=40°42′
∴ tan∠α=tan40°42'=(三角函数定义)
∵ tan40°42'= tan40°42′≈0.8601 BD=17.71m
∴ AB≈15.23m
∵ AB≈15.23m BC=1.35m AC=AB+BC
∴ AC≈16.58m．
故选择A.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用三角函数进行求解．
5．A
【分析】根据点A的坐标，利用锐角三角函数定义求出t的值即可.
【详解】
如图，过点A作AB⊥x轴与点B，
∵点A在第一象限,坐标为(2，t)，
∴，
在RT△AOB中，tan，则t=4，故选A.
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握定义即可求解.
6．D
【分析】依据△AEF∽△CBF，即可得出CF=2AF；依据△BAE∽△ADC，即可得到tan∠CAD= ；过D作DM∥BE交AC于N，依据DM垂直平分CF，即可得出DF=DC；依据∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，即可得到△AEF∽△CAB；设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，△CDE的面积为3s，四边形CDEF的面积为5s，进而得出S四边形CDEF=S△ABF
【详解】解：∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∵AE= AD= BC，
∴CF=2AF，故①正确，符合题意；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，
∵BE⊥AC，∠BAD=90°，
∴∠ABE=∠ADC，而∠BAE=∠ADC=90°，
∴△BAE∽△ADC，
，即
，故②正确，符合题意；
如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE= BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确，符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故④正确，符合题意；
如图，连接CE，
由△AEF∽△CBF，可得
设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，
∴△ACE的面积为3s，
∵E是AD的中点，
∴△CDE的面积为3s，
∴四边形CDEF的面积为5s，
∴S四边形CDEF=S△ABF，故⑤正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
7．A
【详解】解：如图，在格点△ADC中，AD=2，DC=4，tanC= = ．
故选A．
8．A
【分析】直接根据锐角三角函数定义得出，代入求出即可．
【详解】解：∵，AC=4，
∴.
故选A．
9．D
【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．
【详解】解：∵如图所示的正三角形，
∴，
设三角形的边长是a，
∴，
∵是内切圆，
∴，，
∴，
则正三角形的面积是，而圆的半径是，面积是，
因此概率=．
故选：D．
【点睛】本题考查几何概率，正三角形的内切圆，用到的知识点为：边长为a的正三角形的面积为：；求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形求解．
10．D
【详解】解：作OC⊥AB于C点．
根据垂径定理，AC=BC=4．
在Rt△OCP中，有CP=4+2=6，OC==3．
故tan∠OPA=
故选D．
11．D
【分析】根据求出第三边的表达式，然后求出tanA即可.
【详解】∵，AC=12，
∴AB=13，
∴BC==5，
则tanA==.
故选D.
【点睛】本题考查解直角三角形，解此题的关键在于根据∠A的余弦值求得其它边长，然后根据正切函数的定义求解即可.
12．D
【分析】作辅助线，用角α的正切解答，角α的正切等于角α的对边AC比角α的邻边BC．
【详解】如图，过点B作BC⊥AD于点C，
则∠ABC=α，AC=AD-CD=AD-BE=25 -1=24，
，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数里面的正切，熟练掌握正切的定义及算法是解决此类问题的关键．
13．1：3．
【分析】一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于1：，相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
【详解】解：∵∠ABC=90°，∠DCB=90°
∴AB∥CD，
∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，
∴△AOB∽△COD
又∵AB：CD=BC：CD=tan30°=1：
∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
故答案为1：3．
考点：相似三角形的判定与性质．
14． 5
【分析】（1）设半径为r，根据垂径定理得到，，，根据的勾股定理求出r的值；
（2）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出为直角三角形，根据勾股定理求出，，，的长度，然后按定义进行计算．
【详解】解：（1）∵的半径于点C，，
∴，
设的半径为r，则，在中，
∵，
∴，即，
解得
故答案为：5．
（2）连接，过点C作于点F

∵是的直径，
∴，在中，∵，，
∴
∵在中，，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考差了勾股定理、垂径定理、锐角三角函数的求值， 记忆理解相关定义，性质是解题的关键．
15．(6，0)
【分析】作A1C⊥OB1，由等边三角形及正切三角函数可得A1C=OC，设A1的坐标为（m，），由点A1在反比例函数图象上，则可求得m的值；作A2D⊥B1B2，设B1D=a，则OD=6+a，A2D=，同理可得A2的坐标，由点A2在反比例函数图象上，进而求得a的值，最后即可求得点的坐标．
【详解】解：作A1C⊥OB1，垂足为C．
∵△A1OB1为等边三角形，
∴∠A1OB1=60°，
∴tan60°=，
∴A1C=OC．
设A1的坐标为（m，）．
∵点A1在的图象上，
∴，解得m=3，
∴OC=3，
∴OB1=6．
作A2D⊥B1B2，垂足为D．
设B1D=a，则OD=6+a，A2D=，
∴A2（，）．
∵A2（，）在反比例函数的图象上，
∴代入，得，
化简得，
解得：．
∵a＞0，
∴．
∴B1B2=，
∴OB2=OB1+B1B2=，
所以点B2的坐标为（，0）．
故答案为（，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，等边三角形的性质，正切函数，解一元二次方程等知识，掌握这些知识是解题的关键．
16．
【分析】利用网格特点得到，然后根据正切的定义求解．
【详解】解：如图，在中，，，
所以，
即．
故答案为．
【点睛】本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义计算直角三角形中未知的边和角．
17．2
【分析】根据锐角三角函数的正切值等于对边比邻边求解即可.
【详解】∵==2，，
∴b=2a=2.
故答案为2.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中， ， ，.
18．（1）3；（2）∠DEF的大小不变，tan∠DEF=；（3）或．
【详解】（1）当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE=OA=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3；
（2）∠DEF的大小不变；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴, ，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM=AB=3，DN=OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴，
∵∠EDF=90°，
∴tan∠DEF=；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，
由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），
∴AF=4+MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（，），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得： ，
解得： ，
∴直线AD的解析式为y=﹣x+6，
把G（，）代入得：t=；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，
由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），
∴AF=4﹣MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（，），
代入直线AD的解析式y=﹣x+6得：t=；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或.
考点：四边形综合题.
19．（1）m=﹣3；（2）Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；（3）不存在，理由见解析
【分析】（1）函数的对称轴为：x=1，点C为AD的中点，则点A（-1，0），即可求解；
（2）tan∠ABQ=3，点B（3，0），则AQ所在的直线为：y=±3x（x-3），即可求解；
（3）分点Q（2，-3）、点Q（-4，21）两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）设对称轴交x轴于点E，直线AC交抛物线对称轴于点D，

函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）tan∠ABQ＝3，点B（3，0），
则AQ所在的直线为：y＝±3（x﹣3）…②，
联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，
故点Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；
（3）不存在，理由：
△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°
①当点Q（2，﹣3）时，
则BP的表达式为：y＝﹣（x﹣3）…③，
联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣，故点P（﹣），
此时BP：PQ≠OA：AC，故点P不存在；
②当点Q（﹣4，21）时，
同理可得：点P（﹣），
此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；
综上，点P不存在．
【点睛】此题考查二次函数综合运用，一次函数的性质、三角形相似、中点公式的运用等，解题关键在于要注意分类求解，避免遗漏．
20．，
【分析】由，利用勾股定理求解 再利用锐角的正切的定义计算即可得到答案.
【详解】解：如图，

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，锐角的正切的定义，掌握锐角的正切等于这个锐角的对边与邻边的比是解题的关键.
21．
【分析】本题考查了等腰直角三角形中，底边上的高与底边上的中线重合和直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半及三角函数的定义，熟知相关性质及定义是正确解题的关键．
的值，根据三角函数的定义可以转化为直角三角形的边长的比来求，因而过作出，垂足为D．在直角中，根据三角函数的定义就可以求解．
【详解】解：如图，过点作于点D．
在等腰直角三角形中，
是底边上的中线，
．
，
，
．
22．（1）DE=8，CD=8；（2）．
【详解】试题分析：（1）由DE⊥AB，AE=6，csA=，可求出AD的长，根据勾股定理可求出DE的长，由角平分线的性质可得DC=DE=8；
（2）由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18．由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形边长的比可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=．
试题解析：（1）在Rt△ADE中，由AE=6，csA=，得：AD=10，
由勾股定理得DE==8
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，
根据角平分线性质得：DC=DE=8．
（2）由（1）AD=10，DC=8，得：AC=AD+DC=18．
在△ADE与△ABC，∠A=∠A，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC得：，即 ，BC=24，
得：tan∠DBC=
考点：1.解直角三角形；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.相似三角形的判定与性质．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；
（2）设，则，根据菱形的性质可得，，勾股定理求得，根据，，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形；
（2）解：，
设，则，
四边形是菱形；
，，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键．
24．
【分析】根据题意，在坐标系中找到三点位置，利用关系求解即可.
【详解】如图，AC=2，BC=3，
tanB==.
【点睛】本题考查作图能力及角的正切值，找到三点的位置是关键.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
A
A
D
A
A
D
D
题号
11
12








答案
D
D