第六章图形的相似巩固练习 苏科版数学九年级下册

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第六章图形的相似学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在比例尺为1∶40000的工程示意图上，无锡地铁一号线的长度约为54.3cm，则它的实际长度约为（ ）A．0.2172km B．2.172km C．21.72km D．217.2km2．从放大镜里看一个等腰三角形,以下说法错误的是(   )A．看到的三角形还是一个等腰三角形B．看到的三角形各个角的度数都增大了C．看到的三角形各个角的度数保持不变D．看到的三角形各边长都增大了3．如图，在△ABC中，点D在边AC上，下列条件中，能判断△BDC与△ABC相似的(    )A．AB·CB=CA·CD B．AB·CD=BD·BC C．BC2=AC·DC D．BD2=CD·DA4．如图，三边上点，满足，那么下列等式中，成立的是（    ）A． B． C． D．5．在比例尺为1：n的某市地图上，A，B两地相距5cm，则A，B之间的实际距离为（  ）A．n cm B．cm C．5ｎcm D．25cm6．已知，，，，下列各式中，一定正确的是（    ）A． B． C． D．7．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若线段，则线段DE的长为（　　）A． B． C． D．8．2013版《中华人民共和国全图》在左下角特别配有一幅放大的钓鱼岛插图，比例尺为1∶1 500 000，已知钓鱼岛东西方长约3.5公里，则在地图上的东西方长约为(　　)A．0.002 3 cm B．0.23 cmC．4.29 cm D．0.042 9 cm9．下列图形中，不是相似图形的有(    )A．0组 B．1组 C．2组 D．3组10．如图，在矩形中，点、分别在边、上，， ，，，则的长是（ ）A．12 B．15 C． D．11．已知的一边，另两边长分别是3，4，若是边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有（    ）条A．4 B．3 C．2 D．112．如图是同一时刻学校里一棵树和旗杆的影子，如果树高为3米，测得它的影子长为1.2米，旗杆的高度为5米，则它的影子长为（     ）A．4米 B．2米 C．1.8米 D．3.6米二、填空题13．已知，则= ．14．如图，AB∥CD，BO∶CO＝2∶5，AB＝a，则CD＝ ．15．如果，那么的值是 16．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DEBC交AC于点E，若，AE=6，则EC= ．17．如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点P的坐标为 ．三、解答题18．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由．19．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．20．如图，矩形ABCD是⊙O的内接矩形，⊙O半径为5，AB＝8，点E、F分别是弦CD、BC上的动点，连结EF，∠EAF始终保持等于45°．（1）求AD的长度．（2）已知DE＝，求BF的长度．（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，．若反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边于点，交边于点．设直线的函数表达式为．(1)反比例函数的表达式是　　；(2)求直线的函数表达式，并结合图象直接写出不等式的解集；(3)若点在直线上，将沿着折叠，当点恰好落在轴上时，点的坐标是　　．22．平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：．23．如图，已知 中， ， ， ，点 、 分别在 、 上，如果以 、 、 为顶点的三角形和 相似，且相似比为 ，试求 、 的长．24．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC．《第六章图形的相似》参考答案1．C【详解】根据比例尺=图上距离：实际距离，得：它的实际长度为54.3×40 000="2" 172 000（cm）=21.72（km），故选C．2．B【分析】分析题意，易得由放大镜得到的等腰三角形的三个角与原等腰三角形的三个角张开角度一样，即大小相等；据此结合相似三角形的判定定理，即可得出结论.【详解】从放大镜里看一个等腰三角形, 看到的等腰三角形和原来的等腰三角形相似, 各个角的度数保持不变,故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法.3．C【详解】A选项中，∵AB·CB=CA·CD，∴AB:AC=CD:BC，但由于∠A∠C，∴不能得到△BDC与△ABC相似；B选项中，∵AB·CD=BD·BC，∴AB:BC=BD:CD，但由于∠ABC∠BDC，∴不能得到△BDC与△ABC相似；C选项中，∵BC2=AC·DC，∴AC:BC=BC:CD，又∵∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC；D选项中，∵在BD2=CD·DA所涉及的三条线段中没有△ABC的边，∴不能由此得到△BDC与△ABC相似；故选C.4．B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．由题意可证四边形是平行四边形，可得，，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．【详解】解：∵，，，，，故A错误；，∵，四边形是平行四边形，，，，故B正确；，故C错误；，故D错误，故选：B．5．C【分析】根据比例尺为1：n，列出等式求解即可．【详解】设A、B之间的实际距离为xcm，则1：n=5：x，解得x=5ncm，故选C．【点睛】本题主要考查比例尺的应用．考查利用所学知识解决实际问题的能力．6．C【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，最小项与最大项的积等于其余两项的积，根据题意要求，将个数化为一个等积式，再化为比例式即可，熟练掌握比例的性质是解题的关键．【详解】解：∵，，，，∴，∴，故选：．7．C【分析】利用位似图形的概念得到，，进而求出，求解即可．【详解】解：∵与是位似图形，∴，，∴，，∵，∴，解之得：，故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，根据位似图形概念得到，，是解题的关键．8．B【分析】根据实际距离与比例尺，求图上距离，用实际距离乘以比例尺即可得．【详解】根据题意，3.5公里=3500m=350000cm，350000cm×≈0.23cm，即在地图上的东西方长约为0.23cm，故选B.【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义及比例尺是解题的关键．9．B【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【详解】A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；C、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；D、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意．故不是相似图形的有1组．故选B．【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．10．C【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵矩形中，，∴．故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出的长后利用勾股定理求解．11．B【分析】由，另两边长分别是3，4，可知△ABC是直角三角形，过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【详解】解：如图，∵，另两边长分别是3，4，又∵，∴，即△ABC是直角三角形，∵过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，∴只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，∴过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其运用，解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．12．B【详解】解：设旗杆的影子长x，由题意知两个图形相似，所以解得x=2米，经检验x=2是原方程的解故选：B13．．【详解】试题分析：∵，∴，，∴===．故答案为．考点：比例的性质．14．【详解】试题解析：∵AB∥CD∴ΔABO∽ΔDCO∴ ∵BO∶CO＝2∶5，AB＝a∴ 解得：CD=15．【分析】根据比例的性质，将原式进行变形可得到3b=2a，然后再利用比例的性质即可求得答案.【详解】∵，∴3（a+b）=5a，∴3b=2a，∴=，故答案为.【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键.16．9【分析】由平行线分线段成比例定理得出=，然后将EC代入计算即可．【详解】解：∵DEBC，∴=，∴，即，解得EC=9．故答案为9．【点睛】本题主要考查了平行线等分线段定理等知识点，根据DEBC得到=是解答本题的关键．17．【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标．【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为，∴，∵矩形与矩形是位似图形，P是位似中心，∴，∴，∴点坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．18．这双高跟鞋合适，理由见解析．【分析】本题考查了黄金分割，以及比例的性质，根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．【详解】解：这双高跟鞋合适，理由如下：（），，答：这双高跟鞋合适，穿起来后上半身长与下半身长正好成黄金比．19．（1）证明见解析；（2）AE=BF，理由见解析．【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，∵∠BAE=∠CBF，AB=CB，∠ABE=∠BCF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）AE=BF．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AE=BF．20．（1）AD＝6；（2）BF＝2；（3）△AEF的面积存在最小值，最小值48﹣48．【分析】（1）连接BD，根据矩形性质及圆周角定理可得答案；（2）过点E作EG⊥AE交AF的延长线于点G，过点G作MN⊥AB，分别交直线DC、AB点M、N，由矩形性质及余角性质得∠EGM＝∠AED，然后由全等三角形的性质及相似三角形的判定与性质可得答案；（3）过点E作EH⊥AB于H，交AF于点P，作△APE的外接圆⊙I，连接IA、IP、IE，过I作IQ⊥CD于点Q，设⊙I的半径为r，根据直角三角形的性质及三角形面积公式可得答案．【详解】（1）如图，连接BD，在矩形ABCD中，∠DAB＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵⊙O半径为5，∴BD＝10，∴AD＝ ＝6；（2）如图，过点E作EG⊥AE交AF的延长线于点G，过点G作MN⊥AB，分别交直线DC、AB点M、N，在矩形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，∴∠EMG＝∠D＝90°，∴四边形ADMN是矩形，∴∠EGM+∠MEG＝90°，∴∠AED+∠MEG＝90°，∴∠EGM＝∠AED，在△AEG中，∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠EGF＝45°，∴AE＝EG，∴△AED≌△EGM（AAS），∴MG＝DE＝ ，EM＝AD＝6，∴AN＝DE+EM＝ ，NG＝MN﹣MG＝ ，∵MNADBC，∴△ABF∽△ANG，∴ ，解得BF＝2；（3）△AEF的面积存在最小值，理由如下：过点E作EH⊥AB于H，交AF于点P，作△APE的外接圆⊙I，连接IA、IP、IE，过I作IQ⊥CD于点Q，设⊙I的半径为r，∵∠EAF＝45°，∴∠EIP＝90°，∠IEP＝45°，∠IEQ＝45°，∴EP＝ r，IQ＝r，∵IA+IQ≥AD，∴r+r≥6，∴r≥12﹣6 ，∴S△AEF＝AB•EP＝4r，∴S△AEF≥4（12﹣6），∴S△AEF﹣48，∴△AEF的面积存在最小值，最小值48﹣48．【点睛】此题考查了矩形的性质、圆的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．21．(1)(2)或(3)，或【分析】（1）求出点坐标代入即可解决．（2）根据一次函数的图象在反比例函数图象的下面，即可写出不等式的解集．（3）如图作于，利用翻折不变性，设设，利用得，求出即可解决问题．【详解】（1）四边形是矩形，，，，点坐标，点在反比例函数上，，反比例函数为，故答案为．（2）点、在反比例函数图象上，点坐标，点坐标，设直线为，则，解得，直线为，由图象可知不等式的解集为或．（3）如图作于，，四边形是矩形，，是由翻折得到，，，，设，，，，，，，，，，．当点在延长线上时，由△，设，，，，此时点坐标故答案为，或【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的有关知识、翻折变换等知识，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，学会待定系数法确定函数解析式，学会利用函数图象确定自变量的取值范围，属于中考压轴题．22．见解析【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法．先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴．∵，∴，∴．23．，；A，．【分析】利用三角形相似的性质分△ABC∽△ADE和△ABC∽△AED两种情况讨论即可求得AD、AE的长．【详解】解：当时，相似比为，，即：，解得：，；当时，，即：，解得：，．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是分两种情况讨论．24．证明见解析．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC．【详解】证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形，∵点E为AC的中点，∴ED＝EC，∴△ECD是等腰三角形，∴∠EDC＝∠C，∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AEF，∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC．【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．题号12345678910答案CBCBCCCBBC题号1112        答案BB