初中数学苏科版（2024）九年级下册6.2 黄金分割课时练习

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级下册6.2 黄金分割课时练习，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在中，D是AB边上一点，DE∥BC，DF∥AC，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，分别是边上的点，，若，则的长是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
3．下列图形一定相似的是（ ）
A．有一个锐角相等的两个直角三角形B．有一个角相等的两个等腰三角形
C．有两边成比例的两个直角三角形D．有两边成比例的两个等腰三角形
4．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知线段，线段c是线段a、b的比例中项，则（ ）
A．1B．C．3D．9
6．已知四条线段a，b，c，d的长度，它们成比例的是( )
A．1，2，3，4B．16，8，10，5C．8，5，6，10D．5，5，6，7
7．某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接AB，AC，的角平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，且，已知，那么该正五边形的周长为（ ）
A．19.1cmB．25cmC．30.9cmD．40cm
8．如图，在中，，且，则为（ ）．
A．B．C．D．
9．如图，下列能判断BC∥ED的条件是（ ）
A．EDBC=ADABB．C．D．
10．已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若，，则b的值是（ ）
A．3.5B．6C．D．
11．已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．下列四条线段中，成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4B．3，4，5，6C．D．1.1，2.2，3.3，4.4
二、填空题
13．已知a＝0.2m，b＝8cm，则a︰b＝ ．
14．如图，对于一条给定的线段，找出它的黄金分割点的作法如下：
（1）过点作，并在垂线上取；
（2）连接，以点为圆心，长为半径画弧交于点；
（3）以点为圆心，长为半径画弧交于点．则点为线段的黄金分割点，的长为 ．
15．线段MN＝2m，点P是线段MN的黄金分割点，若PM＞PN，则PM的长为 ．（用含m的代数式表示）
16．某公司生产一种新型手杖，其长为1m，现要在黄金分割点位置安放一个小装饰品，装饰品离手杖上端的距离为 m．（注：该装饰品离手杖的上端较近，结果保留根号）．
17．已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么 .
三、解答题
18．如图，在平行四边形中，、相交于点，，交于点，连接，交于点，作，交于点．
（1）求证：；
（2）求证：点是线段的一个三等分点；
（3）请依照上面画法，在原图上画出的一个四等分点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）．
19．两地的实际距离是，在地图上量得这两地的距离为，这幅地图的比例尺是多少？
20．（1）若=，求代数式的值；
（2）已知==≠0，求代数式的值．
21．如图，是五角星中线段的黄金分割点．
（1）写出一个与相等的线段比；
（2）若的长为，求的长．
22．已知如图，，它们依次交直线a，b于点A、B、C和点D、E、F.
（1）如果，，，求DE的长.
（2）如果，，，求BE的长.
23．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；
(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.
24．任意作一个等边三角形，它的高与边长的比是多少？
《6.2黄金分割》参考答案
1．C
【分析】由DE∥BC，DF∥AC可以推得相关的一些三角形相似，再由相似性质可以判定各选项的正误．
【详解】A、由已知有，所以错误；
B、由已知有，所以错误；
C、由已知有，所以正确；
D、由已知有，所以错误．
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟悉相似三角形的常用判定方法和性质是解题关键．
2．C
【分析】根据分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
解得， ，
故选C．
【点睛】本题考查分线段成比例定理，熟练掌握运算法则是解题关键
3．A
【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．
【详解】A、两个直角三角形，直角相同，有一个锐角相等，故符合题意；
B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；
C、有两边成比例的两个直角三角形，不一定是对应边，故不符合题意；
D、有两边成比例的两个等腰三角形，不一定是对应边，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
4．C
【分析】此题考查了成比例线段，若，则a，b，c，d成比例，据此进行计算判断即可．
【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
B、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
C、，故此选项中四条线段成比例，符合题意；
D、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了比例中项即称线段c是线段a、b的比例中项，根据定义计算是解题的关键．根据比例中项的定义，得到，代入计算，结合线段的非负性，确定答案即可．
【详解】解：因为线段c是线段a、b的比例中项，线段，
所以，
所以或（舍去），
故选：C．
6．B
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
【详解】∴不能够成比例；
∴能够成比例；
∴不能够成比例；
∴不能够成比例；
故选B.
【点睛】此题考查比例线段的关系，解题关键比例线段乘积的计算.
7．C
【分析】证明BC=CD=AD=6.18（cm），可得结论．
【详解】解：由题意，点D是线段AB的黄金分割点，
∴，
∵AB=AC=10cm，
∴AD=6.18（cm），
∵∠ABC=∠ACB=72°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠CAD=36°，∠CDB=∠CBD=72°，
∴BC=CD=AD=6.18（cm），
∴五边形的周长为6.18×5=30.90（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的性质，黄金分割等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．
8．B
【分析】由△ABC的内角比例关系可求出三个内角度数，然后可求出∠1=∠2=∠3=30°，易得CE⊥AB，根据等腰三角形三线合一的性质可得DE=EB，过D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DF=DE，在△ADF中，利用30°所对的直角边是斜边的一半易得AD=2DF，即可得出答案.
【详解】解：∵，
∴设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，可得x+2x+3x=90°，解得x=30°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠ACB=90°，
∵∠1=∠2=∠3，∠ACB=90°
∴∠1=∠2=∠3=30°，
在△BCE中，，
即CE⊥BD，
∵在△BCD中，∠2=∠3即CE平分∠BCD，CE⊥BD，
∴CE平分BD，即DE=EB，
如图所示，过D作DF⊥AC于F，
∵∠1=∠2即CD平分∠ACE，DF⊥AC，DE⊥CE，
∴DF=DE
在Rt△ADF中，∠A=30°，
∴AD=2DF=2DE，
∴
故选B.
【点睛】本题考查求线段比例，熟练掌握角平分线的性质，等腰三角形三线合一性质，直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，综合运用几何知识是解决本题的关键.
9．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，对每一项进行分析即可得出答案．
【详解】∵，
∴BC∥ED；
故选C．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，找准对应关系，列出正确的比例式是解题的关键．
10．C
【分析】根据题意列出比例式，计算即可求得答案
【详解】
（负值舍去）
故选C
【点睛】本题考查了成比例线段，比例中项的概念，理解比例的性质是解题的关键．比例式为 ，则内项 称为外项 和 的比例中项．
11．C
【分析】设AB=1，AP=x，则PB=1－x，由比例中项得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答．
【详解】解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x，
∵线段是和的比例中项，
∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，
∴x2+x－1=0，
解得：，（舍去），
∴PB=1－= ，
∴ ，，，，
故选：C．
【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．
12．C
【分析】通过计算前两条线段之比与后两条线段之比，看是否相等进行判定．
【详解】解：A、因为 ，故错误；
B、因为 ，故错误；
C、因为 ，故正确；
D、因为 ，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查成比例线段的定义，掌握定义是解决问题的关键．
13．5︰2
【分析】先把线段的单位化为相同的单位，进而即可求解.
【详解】解：∵a＝0.2m＝20cm，b＝8cm，
∴a︰b＝20︰8＝5︰2．
故答案为：5︰2
【点睛】本题主要考查求线段的比值，把线段长度的单位化为一致是关键.
14．
【分析】设，根据题意表示出BD、DE，根据勾股定理求出AD、，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可．
【详解】解：，则，
由勾股定理得，，
则，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．
15．
【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可．
【详解】∵MN＝2m，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．
16．
【分析】利用黄金分割的定义计算出装饰品离手杖下端的距离，从而得到计算装饰品离手杖上端的距离．
【详解】解：装饰品离手杖下端的距离=×1=，
所以装饰品离手杖上端的距离=1-=（m）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
17．/
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵点P是线段的一个黄金分割点，且，
∴，
故答案为：
18．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】（1）由OE∥AB，O是AC中点，可得，又OE∥CD，又有，而AB=CD，那么可证；
（2）由FG∥AB可得，再利用（1）的结论和平行四边形的性质，可得，即可得G是CE的三等分点；
（3）连接，交于点，作，交于点，根据平行线分线段成比例定理和比例的性质可得点是线段的一个四等分点．
【详解】（1）证明：∵是平行四边形，
∴是的中点，AB∥CD，AB=CD，
∵，
∴OE∥CD，
∴E是BC的中点，
∴．
∴；
（2）证明：∵，，
∴，OE∥FG．
∵，
∴,
∵是平行四边形，
∴ ，
∴．
∴．
∴点是线段的一个三等分点；
（3）连接，交于点，作，交于点，则点是线段的一个四等分点（如图）．证明如下：
∵，AB∥CD，
∴HP∥CD，
∴,
∵OE∥CD
∴，
∴，
∵，AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴，
∴，即，
由（2）得，CG=BC，
∴PC=CG=BC，即点是线段的一个四等分点．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理和比例的性质，解题的关键是根据平行找准对应关系．
19．
【分析】根据比例尺的定义，求图上距离与实际距离的比即可．
【详解】两地的实际距离是，在地图上量得这两地的距离为，
这幅地图的比例尺为：2:200000=1:100000．
【点睛】本题考查了成比例线段，解题关键是掌握比例尺的定义，注意单位要一致．
20．（1） （2）
【分析】（1）先把原式化为，进而可得出结论；
（2）直接利用已知得出，进而代入原式求解．
【详解】解：（1）∵=，
∴，
∴；
（2）设===k，则，
∴=．
【点睛】本题考查了比例式的性质，解题的关键是正确用k表示a、b、c．
21．（1）；（2）．
【分析】（1）由黄金分割点的定义即可得出答案；
（2）设，则，由黄金分割的定义代入数值即可求出的长．
【详解】解：（1）∵是五角星中线段的黄金分割点，
∴；
（2）设，则，
∵是五角星中线段的黄金分割点，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
∴的长为：．
【点评】本题考查了黄金分割点的定义，熟记黄金分割的定义是解题的关键．
22．（1）DE的长为9；（2）BE的长为11；
【分析】（1）由果，，可得AC=14，然后根据平行线等分线段定理得到，然后将已知条件代入即可求解；
（2）过D作DH∥AC，分别交BE,CF于H，说明四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得CH=BG=AD=9；进一步说明FH=CF-DH=5，然后再按照平行线等分线段定理得到，最后代入已知条件求解即可．
【详解】（1）∵，，
∴AC=AB+BC=14
∵
∴
∴
(2)过D作DH∥AC，分别交BE,CF于H.
∵
∴四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形，
∴CH=BG=AD=9
∴FH=CF-DH=5
∵
∴
∴
∴BE=BG+GE=9+2=11.
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
23．(1)见解析;(2)见解析.
【分析】(1)结合线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析计算；
(2)根据三角形的中线的概念可知分成的两个三角形的面积相等，显然不符合黄金分割线的概念．
【详解】解：∵，
又∵D是AB的黄金分割点，
∴，，
∴CD是△ABC的黄金分割线；
(2)不是．
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=DB，
∴，
而，
∴，
∴中线不是黄金分割线．
【点睛】考查的是线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式．
24．
【分析】设等边三角形的边长为a，根据等边三角形的性质求出等边三角形的高即可得答案.
【详解】解：如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，AB=a，
∵ △ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=30°，∠ADB=90°，
∴BD=AB=，
∴AD==，
∴ AD：AB=：= :2，
即它的高与边长的比是 :2.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、线段的比，熟练掌握等边三角形的性质以及灵活应用勾股定理是解题的关键.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
C
C
B
C
B
C
C
题号
11
12








答案
C
C