初中数学苏科版（2024）八年级下册9.3 平行四边形课后测评

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级下册9.3 平行四边形课后测评，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在平行四边形中，，，，则AC=（ ）
A．B．C．D．
2．如图1，在中，，，动点从出发，沿匀速运动到点．图2是点运动时，的面积随点运动路程变化的关系图像，则的值是（ ）
A．2B．3C．4D．6
3．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）
A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形
B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形
C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形
4．如图，，的顶点在上，交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在四边形ABCD中，∠DAC=∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是（ ）
A．AD=BCB．OA=OC
C．AB=CDD．∠ABC+∠BCD=180°
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F．若，，则为（ ）
A．30°B．32°C．34°D．36°
8．设D为等腰底边BC上一点，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（ ）
A．2ABB．2AB+BCC．2BCD．AB+BC
9．如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ）
A．48B．36C．40D．24
10．用反证法证明“若实数a，b满足，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设（ ）
A．a，b中至多有一个是0B．a，b中至少有两个是0
C．a，b中没有一个是0D．a，b都等于0
11．在中，，则边上中线的取值范围为（ ）（提示：可以构造平行四边形）
A．B．C．D．
12．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．直角梯形
二、填空题
13．如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，若 AC=8，AB=6，BD=m，那么 m 的取值范围是
14．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点E，此时为等边三角形，则的面积为 ．
15．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB//CD，请添加一个条件 (写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
16．四边形ABCD中，AD∥BC，要使它平行四边形，需要增加条件 （只需填一个 条件即可）．
17．已知的对角线，交于点，的面积为2，那么的面积为 ．
三、解答题
18．平行四边形ABCD，AD=6，AB=8，点A的坐标为(-3，0)，求B、C、D各点的坐标．
19．证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和
20．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE+CD=AD．连接CE，求证：CE平分∠BCD．
21．下面是“作三角形一边中线”的尺规作图过程．
已知：．
求作：边上的中线．
作法：如图，
（1）分别以点B，C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于P点；
（2）作直线，与交于D点．
所以线段就是所求作的中线．
根据上述的作法：
（1）用尺规补全图形；
（2）补全下面的证明过程：
∵由作图，________，________，
∴四边形是平行四边形（_______________________________）（填推理的依据）
∵和交于点D，
∴（_________________________）（填推理的依据）
∴为边上的中线．
22．在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．
解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 cm2．
(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．
(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴交于A、B两点，且OA、OB的长度满足，M是OA上一点，若将△ABM沿着直线BM折叠，点A恰好落在y轴上的点P处．
(1)求点A、B、P三点坐标；
(2)求直线BM的解析式；
(3)在坐标平面内是否存在一点N，使以点B、M、A、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，在中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F．
（1）在图1中证明CE＝CF；
（2）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG（如图2），求∠BDG的度数．
《9.3平行四边形》参考答案
1．C
【分析】由直角三角形的性质可求BE=2，AE=，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，过点A作于，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．D
【分析】过D点作DE⊥BC于点F，根据图像可得平行四边形的边长CD为4，再利用平行四边形的面积可求a．
【详解】如图，当点运动到与点重合时，过点作的垂线，交的延长线于点．
由题意知，当点在上运动时，的面积不变，
此时，．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形动点问题，函数图像，平行四边形的性质，解题的关键是结合两个图像，随着动点的运动找到对应的函数图像．
3．D
【分析】根据平行四边形的判定条件进行逐一判断即可.
【详解】解：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形的对角线互相平分
∴D能判定ABCD是平行四边形．
若AO＝BO，CO＝DO，证明AC=BD，并不能证明四边形ABCD是平行四边形，故C错误，
若AO＝OC，条件不足，无法明四边形ABCD是平行四边形，故A错误，
若AC＝BD，条件不足，无法明四边形ABCD是平行四边形，故B错误，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定条件.
4．C
【分析】由平行四边形的性质得出∠BAD=∠C=100°，AD∥BC，由平行线的性质得出∠2=∠ADE，∠ADE+∠BAD+∠1=180°，得出∠1+∠2=180°-∠BAD=80°即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C=100°，AD∥BC，
∴∠2=∠ADE，
∵l1∥l2，
∴∠ADE+∠BAD+∠1=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAD=80°；
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质和平行线的性质是解题的关键．
5．B
【分析】根据反证法的步骤可得第一步先假设结论不成立，进而问题可求解．
【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设；
故选B．
【点睛】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题的关键．
6．C
【详解】∵∠DAC=∠ACB，
∴AD∥BC，
A、根据平行四边形的判定有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判断平行四边形，不符合题意；
C、可能是等腰梯形，故本选项错误，符合题意；
D、根据AD∥BC和∠ABC+∠BCD=180°，能推出符合判断平行四边形的条件，不符合题意.
故选C.
7．D
【分析】由平行四边形的性质得出，则，，由折叠的性质得：，由，即可得出的大小．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴
则 ，
由折叠的性质得：
则
故选：D
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．
8．A
【分析】先证明四边形AFDE是平行四边形，得到DE=AF，AE=DF，再证明BF=DF=AE,问题得解．
【详解】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴DE=AF，AE=DF，
∵DF∥AC，
∴∠C=∠FDB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C
∴∠FDB=∠Ｂ，
∴BF=DF，
∴BF=DF=AE,
∴四边形AFDE的周长等于AE+DE+DF+AF=BF+AF+BF+AF=2AB．
故选：A
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟知相关定理是解题关键．
9．A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的周长为40，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：A
10．C
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【详解】解：“若实数a、b满足，则a、b中至少有一个是0．”第一步应假设：a、b都不等于0．
故选：C．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
11．B
【分析】作辅助线（延长AD至点E，使AD=ED）构建平行四边形，然后利用三角形成立的条件即可求出范围．
【详解】解：延长至点E，使，连接、．
∵点D是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴（平行四边形的对边相等），
在中，AE=AD+DE=2AD，，即，
．
故选择：B．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、三角形的三边关系．掌握平行四边形的判定及其性质、会利用三角形的三边关系求范围是解题关键．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．
12．B
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、平行四边形是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、等腰梯形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、直角梯形不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
13．
【分析】先依据平行四边形的对角线互相平分得到OA的长，BD=2OB，在三角形ABO中运用三角形三边关系得到OB的范围，再结合BD=2OB，运用不等式基本性质可得解答.
【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，，
∴，,
∵在中，，，,
∴,
∴,
∴,
故答案为：.
【点睛】本题结合平行四边形的性质，考查了三角形三边关系的应用，将已知条件和待求线段集中在中，是解题的关键.
14．
【分析】先利用为等边三角形得到，DC=CE，再根据平行四边形的性质得到CD=AB=5，，接着根据折叠的性质得AB=A=5，，CAB，则可以判断为等边三角形，利用CE==5，让后计算出AC=后利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，DC=CE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=5，，
∵沿对角线AC对折得到，
∴AB=A=5，，CAB，
∴为等边三角形，
∴C，
而CE=CD=AB=5，
∴=5，
在Rt中，
，
∴()．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形得性质和等边三角形得判定与性质，解决本题的关键是熟练并运用以上的性质．
15．答案不唯一，如AD//BC，OA＝OC等
【详解】试题分析：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．故答案为答案不唯一，如：AD∥BC．
考点：平行四边形的判定．
16．AD=BC
【解析】略
17．8
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
又是的中线，
∴与的面积相等，
∴，
故答案为：8．
18．B(5，0)，C(8，)，D(0，)
【分析】先根据勾股定理得到OD的长，即可得到点D的坐标，再根据平行四边形的性质即可得到点B、点C的坐标．
【详解】解：在Rt△ADO中，AD=6，AO=3，，
∴OD==，
∴D(0，)，
∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD=8，
∴B(5，0)，C(8，)．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．
19．见解析
【分析】先根据题意画出图形，写出已知、求证、证明过程．作于点，交的延长线于，再根据四边形是平行四边形，求证，得出，，由勾股定理得，
【详解】已知：如图，在平行四边形中，，是其两条对角线，
求证：．
证明：作于点，交的延长线于，
则．
四边形是平行四边形
，，
，
，
，．
在和中，由勾股定理，得
，
，
．
又，
即：．
，，
【点睛】本题是一个文字命题的证明题，先根据题意画出图形，写出已知、求证、证明过程．此题主要考查学生对勾股定理，平行四边形的性质的理解和掌握，灵活运用勾股定理表示线段之间的平方关系并进行代换变形是解题的关键．
20．证明见解析
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，AD=BC，由平行线的性质得出∠E=∠DCE，由已知条件得出BE=BC，由等腰三角形的性质得出∠E=∠BCE，得出∠DCE=∠BCE即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，
∴∠E=∠DCE，
∵AE+CD=AD，
∴BE=BC，
∴∠E=∠BCE，
∴∠DCE=∠BCE，
∴CE平分∠BCD．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．
21．（1）见解析；（2）；；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分
【分析】（1）依题意尺规补全作图，作线段相等；
（2）根据作图，以及平行四边形的判定与性质补全证明过程．
【详解】（1）作图如下：
（2）∵由作图，，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∵和交于点D，
∴（平行四边形的对角线互相平分）
∴为边上的中线．
故答案为：；；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分．
【点睛】本题考查了尺规作图，作线段等于已知线段，三角形的中线的性质，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
22．(1)12.5
(2)
(3)不是，，
【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形的面积，从而可以得到四边形的面积；
（2）由勾股定理可得，由配方法可求解；
（3）由平行四边形的性质可得，，由勾股定理可求，由配方法可求的最小值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
则的面积，
即四边形的面积为，
故答案为：12.5；
（2）解：，
，
，
，
当时，取最小值，最小值为2；
（3）解：如图，过点B作于H，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
当时，有最小值，即的最小值为，
此时：，，
是等边三角形，
．
综上可知，不是定值，的最小值为，此时平行四边形的面积为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
23．(1)A（8，0） ，B（0，6）；
(2)
(3)存在，N（5，6）或（-5，6）或（11，-6）
【分析】（1）先根据非负性求得OA、OB的长可确定A、B的坐标，然后运用勾股定理求得AB的长，根据折叠可知BP=AB,然后求得OP的长，即可确定P点坐标；
（2）先求得M点的坐标，然后再运用待定系数法求解即可；
（3）分四边形AMBN、四边形MABN、四边形ABMN是平行四边形三种情况，分别根据平行四边形性质和点的坐标变化关系求得N点坐标即可．
【详解】（1）（1）∵
∴OA=8，OB=6
∴A（8，0）、B（0，6），
∴AB=
∵将△ABM沿着直线BM折叠，点A恰好落在y轴上的点P处．
∴BP=AB=10
∴OP=BP-AB=4
∴．
（2）解：设OM=x，则MP=MA=8-x，OP=4
由勾股定理可得：OM2+OP2=MP2,即x2+42=（8-x）2，解得x=3
∴OM=3,即M（3,0）
设直线BM的解析式为：y=kx+b

解得
∴直线BM的解析式为．
（3）解：①四边形BMAN是平行四边形
∴0+（8-3）=5，
∴.N（5，6），
②四边形MABN是平行四边形，
∵0-（8-3）=-5，
∴N（-5，6）
③四边形BMNA是平行四边形
∵3+8=11，0-6=-6，
∴N（11，-6）．
综上所述：N（5，6）或（-5，6）或（11，-6）．
【点睛】本题主要考查了绝对值和算术平方根非负性、求一次函数的解析式、平行四边形的性质、折叠性质、勾股定理等知识点，根据平行四边形性质和点的坐标变化特征求点的坐标是解答本题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）60°．
【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可．
（2）延长AB、FG交于H，连接HD．根据AD∥GF，AB∥DF易得四边形AHFD为平行四边形，由∠ABC=120°，AF平分∠BAD，易得△DAF为等腰三角形，进而推出AD=DF=HF=AH，得出△ADH，△DHF为全等的等边三角形；根据SAS判定△BHD≌△GFD，推出∠BDH=∠GDF，根据∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG进而求解即可．
【详解】（1）∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形，
∴AD=HF， AH=DF，
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，
∴∠DAH=∠HFD=60°，
∴△DAF为等腰三角形，
∴AD=DF=HF=AH，
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°．
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF，
在△BHD与△GFD中，
∵，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF，
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．
【点睛】本题考查了四边形的综合问题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
C
B
C
D
A
A
C
题号
11
12








答案
B
B