数学华东师大版（2024）1. 反比例函数练习

这是一份数学华东师大版（2024）1. 反比例函数练习，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于，两点，则通过图象可求不等式的解集，其所用到的数学思想方法是（ ）
A．转化思想B．类比思想C．方程思想D．数形结合思想
2．已知ab＞0，一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．当时，反比例函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
4．一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（2，1），B（，n）两点，则n﹣k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．6D．﹣6
5．已知反比例函数（k为常数）的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，由此观察k₁，k₂，k₃的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
8．若反比例函数的图象经过点，则a的值为（ ）．
A．B．C．D．
9．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A(2，m)，过点A作y轴的垂线交y轴于点B．当点C在x轴正半轴上运动时△ABC的面积为（ ）
A．3B．6
C．12D．先变大后减小
10．运用你学习函数的经验，判断以下哪个函数的图像如图所示（ ）
A．B．C． D．
11．如果a和b+3成反比例，且当b=3时，a=1，那么当b=0时，a的值是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
12．若函数为反比例函数，则＝（ ）
A．1B．0C．0或﹣1D．﹣1
二、填空题
13．点，在反比例函数的图象上，若，则 ．
14．如果直线y＝mx与双曲线y＝kx的一个交点A的坐标为(3，2)，则它们的另一个交点B的坐标为 ．
15．下列函数：①y=2x-1；②；③y=x2+8x-2；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号）
16．如图，点A为反比例函数y＝（k＜0．x＜0）图象上的动点，过点A分别作x轴，y轴的平行线交反比例函数y＝于点B、点C，若AB•AC＝9，则k的值为 ．
17．正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，则代数式的值是 ．
三、解答题
18．下列函数中，哪些是反比例函数？是反比例函数的，指出其比例系数和自变量的取值范围．
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
19．定义：已知反比例函数与，如果存在函数，则称函数为这两个函数的中和函数．
（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为，并且其中一个函数满足：当时，y随x的增大而增大；
（2）函数和的中和函数的图像和函数的图像相交于两点，试求当的函数值大于的函数值时x的取值范围．
20．如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38．
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值．
21．已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点．
(1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
(2)求当，且时自变量x的取值范围．
22．如图，已知反比例函数的图象经过第二象限内的点，轴于点，的面积为2．若直线经过点，并且经过反比例函数的图象上另一点．
（1）求直线的解析式；
（2）设直线与轴交于点，求的长；
（3）在双曲线上是否存在点，使得的面积为8？若存在请求点坐标；若不存在请说明理由．
23．如图，P是反比例函数（x＞0）的图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1，一次函数y＝x＋b的图象经过点P．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设直线y＝x＋b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的时，直接写出点Q的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)点是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接，，求的面积．
《17.4反比例函数》参考答案
1．D
【分析】本题考查数学思想，利用图象法求不等式的解集，体现了数形结合的思想，判断即可．
【详解】解：图象法求不等式的解集，体现了数形结合的思想；
故选D．
2．A
【分析】由于ab＞0，那么a、b同号，当a＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、二象限；当a＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，利用这些结论即可求解．
【详解】解：∵ab＞0，∴a、b同号，
当a＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，
当a＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，
A、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故A选项正确；
B、图中直线经过直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故B选项错误；
C、图中直线经过直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，故C选项错误；
D、图中直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故D选项错误．
故选：A．
【点睛】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．直线y=kx+b、双曲线y=当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限．
3．C
【分析】本题考查的是反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键，根据反比例函数的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴
∴反比例函数的图象在第一、三象限，
故选C．
4．C
【分析】把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出n的值，把A、B的坐标代入一次函数y＝kx+b即可求出k的值．
【详解】解：∵把A（2，1）代入y＝ 得：m＝2，
∴反比例函数的解析式是y＝，
∵B（，n）代入反比例函数y＝得：n＝4，
∴B的坐标是（，4），
把A、B的坐标代入一次函数y1＝kx+b，得，
解得：k＝﹣2，
∴n﹣k＝4+2＝6，
故选：C．
【点睛】本题是一次函数和反比例函数的综合题，解答关键是应用待定系数法确定函数关系式．
5．D
【分析】根据反比例函数的性质，即可求出答案．
【详解】图象位于第一、三象限，
．
故选D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象位于第一、三象限，则，是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据图象所在的象限，判断出，再根据的图象在的图象的上方，得到，即可．掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键．
【详解】解：∵的图象在第二象限，，的图象在第一象限，且的图象在的图象的上方，
∴，
∴；
故选C．
7．B
【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可．
【详解】解：∵反比例函数，
∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，
∵，
∴a-1＞a+1，
此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，
∵，
∴，
解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
综上，的取值范围是．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
8．C
【分析】把点的坐标代入函数解析式，解方程即可．
【详解】解：把代入，得，
解得，，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标，解题关键是明确反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式．
9．A
【分析】先求出点A、B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：把x＝2代入y＝得：y＝3，
∴A（2，3），
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴B（0，3），即OB＝3，
∴S△ABC＝AB•OB＝×2×3＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征、坐标与图形、平行线之间的距离相等，熟练掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是解答的关键．
10．C
【分析】根据图象可知x无论取任何数y始终大于0，且在时有最大值，再逐项判断即可．
【详解】A．当时，，故与题干中图象不符，该选项不合题意；
B．当时，无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意；
C．当自变量x取其相反数时，，且当时，为最大值，与题干中图象相符，该选项符合题意；
D．当时，无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意．
故选C．
【点睛】本题考查识别函数图象，解题的关键是根据图象得出该函数的性质．
11．C
【分析】设a=（k≠0），然后把b=3，a=1代入可得k的值，进而得到函数解析式，然后再代入b=0求出a即可．
【详解】解：设a=（k≠0），
∵当b=3时，a=1，
∴1=
解得：k=6，
∴a=
把b=0代入a=中得：a=2，
故选C．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，解题关键是掌握用待定系数法求反比例函数的解析式的步骤．
12．D
【分析】根据反比例函数的定义解答即可．
【详解】∵函数为反比例函数，
∴，
解得：或，
又∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握此定义是解题的关键．
13．0
【分析】将点代入，即用和k表示出，和k表示出．再将和相加整理可得，再结合题意即可求出．
【详解】∵点在反比例函数的图象上，
∴，，
∴．
∵，
∴，即．
故答案为：0．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．
14．（﹣3，﹣2）
【详解】因为直线y=mx过原点,双曲线y=kx的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称,A的坐标为(3,2),另一个交点B的坐标为(−3,−2).
故答案为(-3,-2 ).
15．②⑤．
【详解】反比例函数的定义．
【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：
①y=2x﹣1是一次函数，不是反比例函数；②是反比例函数；
③y=x2+8x﹣2是二次函数，不是反比例函数；④不是反比例函数；
⑤是反比例函数；⑥中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数．
故答案为②⑤．
16．﹣1或﹣4．
【分析】根据反比例函数y＝解析式设点A的坐标为（m，），根据点A、B、C的关系及反比例函数y＝，求得B（，），C（m，），根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：设点A的坐标为（m，），
∵过点A分别作x轴，y轴的平行线，交反比例函数y＝于点B、点C，
∴B（，），C（m，），
∴AB＝−m，AC＝−，
∵AB∙AC＝9，
∴（−m）（−）＝9，
∴k＝−1或k＝−4，
故答案为：−1或−4．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意列出关于k的等式是解题的关键．
17．-2
【分析】联立方程组，用含k的式子表示，再代入求解即可．
【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
∴
解得：或，
∴，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题和解二元一次方程组，联立方程组求解是解题的关键．
18．(1)不是反比例函数
(2)是反比例函数，比例系数是，自变量的取值范围是
(3)是反比例函数，比例系数是，自变量的取值范围是
(4)不是反比例函数
【分析】根据反比例函数的定义：形如的函数，进而可依此进行求解．
【详解】（1）不是反比例函数．
（2）是反比例函数，比例系数是，自变量的取值范围是．
（3）是反比例函数，比例系数是，自变量的取值范围是．
（4）不是反比例函数．
【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
19．（1）答案不唯一，如与；（2）或
【分析】（1）根据中和函数的定义，写出满足条件的函数即可；
（2）先根据中和函数的定义，求出中和函数的解析式，求出交点坐标，然后根据函数图象即可求解．
【详解】（1）∵中和函数为，
∴ ，即 ，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴可写与；
（2）∵ ，
∴和的中和函数为，
∵中和函数的图像和函数的图像相交于两点，
则联立方程组
解得两个函数图像的交点坐标为或，
结合图象得到当的函数值大于的函数值时x的取值范围是或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，理解新定义中和函数的含义是解题的关键．
20．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再利用四边形的面积为38．求出，进一步利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）平移一次函数与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：，联立，解得：，进一步求出：，即，连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，根据以及点的坐标即可求出的面积．
【详解】（1）解：∵在上，
∴，即反比例函数解析式为：，
设，
∵四边形的面积为38．
∴，整理得：，
解得：（舍去），，
∴，
将和代入可得：解得：，
∴一次函数解析式为：．
（2）解：平移一次函数到第三象限，与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，
设平移后的一次函数解析式为：，联立可得：，整理得：，
∵有唯一交点P，
∴，解得：或（舍去），
将代入得：，解得：
经检验：是分式方程的根，
∴，
连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，
则：，
∵，，，
∴，
，
，
∴．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握平行线之间的距离，解分式方程，解一元二次方程知识点．
21．(1)，见解析
(2)或
【分析】（1）将图中给出的点代入反比例函数表达式，即可求出解析式，并画出图象；
（2）当时，，解得，结合图象即可得出x的取值范围．
【详解】（1）解：（1）把点代入表达式，
得，
∴，
∴反比例函数的表达式是．
反比例函数图象的另一支如图所示．
（2）当时，，解得．
由图象可知，当，且时，
自变量x的取值范围是或．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
22．（1）；（2）；（3）存在(−，8)或(，-8)．
【分析】（1）根据△ABO的面积即可求出k的值，将A（-1，m），C（n，-2）分别代入解析式求A（-1，4），C（2，-2），代入y=ax+b即可求出a、b的值，从而得到直线解析式；
（2）先求得点M的坐标，利用勾股定理即可求解；
（3）利用三角形面积公式求得点P的纵坐标，代入求解即可．
【详解】解：（1）∵ΔAOB的面积为2，
∴=2，
又∵函数图象在二、四象限，
∴k