北师大版（2024）九年级下册第三章 圆7 切线长定理一课一练

这是一份北师大版（2024）九年级下册第三章 圆7 切线长定理一课一练，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，与分别相切于点A，B，，则（ ）
A．B．2C．D．3
2．如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC＝（ ）
A．60°B．65°C．70°D．80°
3．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A．B．1C．D．a
4．图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
6．如图是的切线，切点分别为P，C，D．若，则的长是（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．2
7．下列说法中错误的是（ ）
A．切线与圆有唯一的公共点B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
C．垂直于切线的直线必经过切点D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
8．如图，圆的两条弦相交于点和DB的延长线交于点，下列结论中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（ ）
A．18B．16C．14D．12
10．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°﹣αB．αC．2αD．90°﹣α
11．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°.连结AC，则∠A的度数是( )
A．15°B．30°C．35°D．45°
12．如图，的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，已知的周长为36．，，则AF的长为（ ）
A．4B．5C．9D．13
二、填空题
13．《九章算术》中记载：“今有勾六步，股八步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为6步，股（长直角边）长为8步，则该直角三角形内切圆的直径是等于 步．
14．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，点C是劣弧AB上一点，过C的切线交PA，PB于M，N.若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PMN的周长为 .
15．已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ．
16．如图，是的两条切线，A、B是切点，若，，则的半径等于 ．
17．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50，则∠BOC为 度．
三、解答题
18．如图，已知，是的直径，，与的边，分别交于点，，连接并延长，与的延长线交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若的平分线交于点，连接交于点，求的值．
19．如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，，若，，，求的长．
20．如图，在中，，为边上一点，以为圆心，长为半径的与边相切于点，交于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求线段的长．
21．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，求AF、BD、CE的长．
22．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AD=12，AM=MC，求的值．
如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且 AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：
23．∠BOC的度数；
24．BE+CG的长；
25．⊙O的半径．
26．如图，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值．
《3.7切线长定理》参考答案
1．B
【分析】根据切线长定理得到，由此推出是等边三角形，即可得到答案．
【详解】解：∵与分别相切于点A，B，
∴，∵，
∴是等边三角形，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了切线长定理，等边三角形的判定和性质，熟记切线长定理是解题的关键．
2．D
【分析】根据三角形的内接圆得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度数即可；
【详解】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，
∵∠BIC＝130°，
∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠CIB＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝2×50°＝100°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝80°．
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心，掌握三角形的内心的性质是解题的关键.
3．B
【分析】连接OA、OB、OE、EB，通过证△EAC≌△OAB，得AE=OA，从而求出EA的长；
【详解】解：连接OA、OB、OE、EB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；
∵AB=BD，
∴，
∴∠AEB=∠BED；
∵∠AOB=2∠AEB；
∴∠AED=∠AOB；
∵BC=AB=BD，
∴∠D=∠BCD；
∵四边形EABD内接于⊙O，
∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；
又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，
∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；
在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，
则有∠ECA=∠OBA，
∵AC=AB，
∴△EAC≌△OAB；
∴AE=OA=1．
故选B．
【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键．
4．B
【分析】利用辅助线构造直角三角形和相似三角形进行边的求解和角的转化即可．
【详解】：如图，连接PO，AO，取PO中点G，连接AG，过点A作AH⊥PO于点H，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90º.
∵△PCD的周长等于3r，
∴PA=PB=.
∵⊙O的半径为r，
∴在Rt△APO中，由勾股定理得
∴.
∵∠OHA=∠OAP=90º,∠HOA=∠AOP,
∴△HOA∽△AOP.
∴,
即，
∴，
∴；
∵∠AGH=2∠APO=∠APB,
∴.
故选：B．
【点睛】本题考查了以下内容：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质；7.转换思想的应用；解决本题的关键是进行角的转化，得到与∠APB相等的角．
5．A
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，
∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴ABCA＝42，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，
∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，
故选：A．
6．B
【分析】利用切线长定理求解即可．
【详解】解：∵是的切线，切点分别为P，C，D，，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，熟知切线长定理是解题的关键．
7．C
【分析】根据圆的切线相关的概念辨析即可．
【详解】A、B、D说法均正确；
C、垂直于切线的直径必定过切点，但是垂直于切线的直线不一定过切点，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，及切线长定理，熟记基本概念并准确判断是解题关键．
8．D
【分析】根据相交弦定理和割线定理即可求解.
【详解】解：
由相交弦定理知，由割线定理知, 所以D正确，
故选D .
【点睛】本题考查了相交弦定理和割线定理，熟记定理是解题关键.
9．A
【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长．
【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，，，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：A．
10．D
【分析】根据切线性质，证得≌，通过等量代换得出，再根据等腰三角形的性质，由∠P＝α，求得即可．
【详解】解： ∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA=PB，
∴，即
在与中，
∵
∴≌（SAS），
∴，
在中，
,
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠P＝α，PA=PB，
∴
∴在中，，即，
∵，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，通过全等证明，等量代换求得是解题关键．
11．C
【分析】首先连接OC，由BD、CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°，利用四边形内角和定理，即可求得∠BOC的度数，再利用圆周角定理，即可求得答案．
【详解】
连接OC，
∵BD、CD分别是过⊙O上点B，C的切线，
∴OC⊥CD，OB⊥BD，
∴∠OCD=∠OBD=90，
∵∠BDC=110，
∴∠BOC=360−∠OCD−∠BDC−∠OBD=70，
∴∠A=∠BOC=35.
故选C.
【点睛】本题考查切线的性质.
12．A
【分析】由切线长定理可得，再分别设，，根据三角形的三边长度列出方程组求解未知数即可．
【详解】解：的周长为36．，，
∴,
由切线长定理可得，
，
设，，
解得：
∴；
故选：A．
【点睛】本题主要考查切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；熟练掌握圆的切线长定理是解决本题的关键．
13．4
【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，根据切线长定理结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
由题意可得、、与相切，，，
∴，，
∴四边形为矩形，，
又∵，
∴矩形为正方形，
设半径为，则，
∴，，
∴，
解得，
∴圆的直径为步，
故答案为：4．
14．4
【详解】【分析】连接PO，根据含有30°的直角三角形性质求出PO,再根据勾股定理求出PA，由切线性质推出△PMN的周长=PA+PB.
【详解】连接PO，
因为，PA,PB是⊙O的切线，∠P＝60°
所以，∠APO=∠P=30°，PA=PB,
所以，OP=2OA=2×2=4,
所以，在直角三角形APO中，PA=,
又因为MN与 ⊙O相切，
所以，MC=MA,NC=NB,
所以，△PMN的周长=PA+PB=43
【点睛】本题考核知识点：切线长. 解题关键点：熟记圆的切线长定理.
15．
【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．
【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：
∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2
∴∠C＝90°
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，
∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，
则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，
∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，
由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，
而AH+BH＝10，
∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，
∴AH＝6，IH＝2，
∴IA＝＝2，
∴点A到圆上的最近距离为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．1
【分析】根据切线的性质求得，，再由直角三角形的性质得．
【详解】解：∵是的两条切线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质和直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．
17．115
【详解】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣50°）=65°，
∴∠BOC=180°﹣65°=115°．
度答案是：115
18．（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）连接DF，由圆周角性质可得，则利用平行线的判定与性质可得，再根据等腰三角形性质及直角三角形性质可推出，即可证得结论；
（2）由相似三角形的判定可得，则推出，由得出，可利用勾股定理求得，即可求出的值；
（3）连接MN，并延长CO与AF，分别相交于点P，点Q，连接AQ，利用（2）所得结论及已知分别求得，，，，，，再由相似三角形的判定及性质可推出，代入求值后即可求得的值．
【详解】（1）证明：如图，连接DF，
∵是的直径，
∴．
∴DF∥AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥OC．
∴DF∥OC．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设，则．
由勾股定理得，
即，
解得，（不合题意，舍去）．
∴．
∵，
∴．
（3）解：连接MN，并延长CO与AF，分别相交于点P，点Q，连接AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，AB∥OC．
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∵
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵AB∥OC，
∴．
∴．
∵，
∴．
在Rt△APO中，由勾股定理得．
∴．
在Rt△APH中，由勾股定理得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题属于圆的综合问题，考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质及求角的三角函数值等知识，熟练掌握圆的相关知识及相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据切线的性质定理得到，平分．根据等腰三角形的性质即可得到于，即．
（2）连接、．根据等腰三角形的性质和平角的性质得到．进而得到．在中，解直角三角形即可.
【详解】（1）证明：∵、与相切于、．
∴，平分．
在等腰中，，平分．
∴于，即．
（2）解：连接、．
∵
∴
∴
同理：
∴．
在等腰中，．
∴．
∵与相切于．
∴．
∴．
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形等，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，题中已知，所以，切于点B，同时切于点，即可求证；
（2）连接，可得，由（1）得，根据各个角之间的关系可得，所以，依据正切定义可得，再根据三角形相似判别及性质，对应边成比例，即可得出答案．
【详解】（1）证明：
∵，
∴，
又∵经过半径的外端点，
∴切于点，
与边相切于点，
∴．
（2）解：连接，∵为的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴（舍去），．
即线段的长为．
【点睛】题目主要考查切线长定理、圆内三角形基本性质、三角函数、相似三角形的判别及性质等知识点，难点在于对定理得熟练掌握理解和对这些知识点的融会贯通．
21．AF=8cm，BD=10cm，CE=18cm
【分析】由切线长定理可得AE=AF，BF=BD，CE=CD，由线段的数量关系列出方程，即可求解．
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，
∴AE=AF，BF=BD，CE=CD，
∵AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，
∴AF+BF=18cm，BD+CD=28cm，AE+CE=26cm，
∴
∴
∴AF=8cm，BD=10cm，CE=18cm．
【点睛】本题考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程组是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）欲证明PD是⊙O的切线，只要证明OD⊥PA即可解决问题；
（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，由AM=MC，推出AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，可得R2+122=9R2，推出R=3，推出OD=3，MC=6，由，可得DP=6，再利用相似三角形的性质求出MD即可解决问题.
【详解】解：（1）如图，连接OD、OP、CD，
∵，∠A=∠A，
∴△ADM∽△APO，
∴∠ADM=∠APO，
∴MD∥PO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OM，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∵OP=OP，OD=OC，
∴△ODP≌△OCP，
∴∠ODP=∠OCP，
∵BC⊥AC，
∴∠OCP=90°，
∴OD⊥AP，
∴PD是⊙O的切线；
（2）如图，连接CD，由（1）可知：PC=PD，
∵AM=MC，
∴AM=2MO=2R，
在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，
∴R2+122=9R2，
∴R=3，
∴OD=3，MC=6，
∵，
∴DP=6，
∵O是MC的中点，
∴，
∴点P是BC的中点，
∴BP=CP=DP=6，
∵MC是⊙O的直径，
∴∠BDC=∠CDM=90°，
在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，
∴BM=6，
∵△BCM∽△CDM，
∴，即，
∴MD=2，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题是关键．
23．∠BOC=90° 24．10cm 25．
【分析】（1）连接OF，根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；再根据平行线性质得到∠BOC为直角；
（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；
（3）由三角形面积公式即可求得OF的长．
23．连接OF；
根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°；
24．由（1）得，∠BOC=90°
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得BC=10cm，
∴BE+CG=BF+CF=BC=10cm．
25．

即
【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理以及平行线的性质，熟练掌握并能够灵活运用知识点是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=900，从而可判断AC是⊙O的切线;
（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，从而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长.
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）∵BD=5，CD=4，
∴BC=9，
∵△ADC∽△BAC（已证），
∴,即AC2=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt△ACD中，AD= ,
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2，
在Rt△AFD中，AF= .
【点睛】考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
B
A
B
C
D
A
D
题号
11
12








答案
C
A