第一章直角三角形的边角关系巩固练习 北师大版数学九年级下册

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第一章直角三角形的边角关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（      ）．A． B． C． D．2．如图，小诚在距离旗杆底部B点的A处测得旗杆顶部C的仰角为，则旗杆BC的高为（   ）A． B． C． D．3．如图，已知的三个顶点均在以正方形组成的表格的格点上，则的值是（    ）A． B． C． D．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（　　）A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，点D是AB边的中点，以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE，使∠CDE＝∠A，则的值为（　　）A． B． C． D．26．如图，在中，，，，则的长为（    ）  A．2 B．4 C．6 D．87．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，若，则等于（    ）A． B． C． D．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，∠A＝60°，则BC的长是(    )A．5 B．5 C．5 D．109．已知为锐角，且tan2－(1＋)tan＋1=0，则的度数为(    )A．30° B．45° C．30°或45° D．45°或60°10．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则(    )A．x–y2=3 B．2x–y2=9 C．3x–y2=15 D．4x–y2=2111．如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连接DD′，则DD′的长度为（　　）A． B． C．+1 D．212．如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点A的高AE＝a米，水平赛道BC＝b米，赛道AB，CD的坡角均为θ，则点D与点A的水平距离DE为(   )A．米 B．( b)米 C．(a-b)sinθ米 D．(a﹣b)cosθ米二、填空题13．计算： ．14．如图所示的网格是边长为1的正方形网格，，，是网格线交点，则 ．15．如图，在一街道的两旁有甲、乙两幢建筑物，某广告公司在甲建筑物上悬挂一条广告条幅，现在乙建筑物的顶部测得条幅顶端A的仰角为，条幅底端B的俯角为，已知街道宽，则广告条幅AB的长是 ．（结果保留根号）16．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A（-4，0），与轴夹角为，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为 ．17．如图，一艘船向正北航行，在处看到灯塔在船的北偏东的方向上，航行12海里到达点，在处看到灯塔在船的北偏东的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔的最近距离是 海里（不近似计算）．  三、解答题18．某地一人行天桥如图所示，天桥高6 m，坡面BC的坡比为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡比，使新坡面AC的坡比为1∶． (1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8 m处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除．请说明理由．19．襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：，，）20．中，．(1)如果，，求的长；(2)如果，，求的长．21．(1)用计算器求图中∠A的正弦值、余弦值、正切值.(2)已知sin A=0.328 6,tan B=10.08,利用计算器求锐角A,B．(结果精确到0.01°)22．如图所示,一幢楼房AB背后有台阶CD,台阶每层高0.2米,且AC=17.2米,设太阳光线与水平地面的夹角为α,当α=60°时,测得楼房在地面上的影长AE=10米,现有一只小猫睡在台阶MN上晒太阳.(1)求楼房的高度约为多少米?(结果精确到0.1米)(2)过了一会儿,当α=45°时,小猫还能不能晒到太阳?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)23．如图所示，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为30°和60°，A，B两地相距100 m．当气球沿与BA平行地方向飘移10 s后到达C′处时，在A处测得气球的仰角为45°.(1)求气球的高度(保留根式)；(2)求气球飘移的平均速度(保留根式)．24．鹏鹏在端午假期和父母一起出去游玩，如图,他走到景点处发现景点位于北偏东65度方向，他沿正东方向走了900米到达景点处时发现景点位于北偏东方向（点在同一平面内）．你能求出景点与景点之间的距离吗（结果精确到1米）？（参考数据：，）《第一章直角三角形的边角关系》参考答案1．A【分析】过顶点A作底边BC的垂线AD，垂足是D点，构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，运用三角函数的定义，则可以求得底角的余弦cosB的值．【详解】解：如图，作AD⊥BC于D点．则CD=5cm，AB=AC=13cm．∴底角的余弦=．故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质：等腰三角形顶角平分线、底边上的高，底边上的中线重合．2．B【分析】利用的正切求解即可．【详解】解：由题意得，，，∵，∴．故选B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．3．B【分析】根据图像和勾股定理得出AB2，AC2，BC2的值，进而得出△ABC是等腰直角三角形，即可得出结果．【详解】解：设每个小正方形的边长为1，由网格构造直角三角形可得，AC2＝12＋32＝10，AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，∵AB2＝AC2＋BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠C＝45°，∴sinA＝sin45°＝．故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数．由网格构造直角三角形，并求出AB2，AC2，BC2的值是解决本题的关键．4．B【详解】试题分析：根据直角三角形的三角函数可得：sinA=，cosA=bc，tanA=，故选B．5．A【分析】根据cosA＝，求出AB=3AC，由直角三角形斜边上的中线可得CD＝AD＝DB＝AB，然后证明△ECD∽△DAC，从而可得，整理即可得到解答．【详解】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，∴，即AB=3AC，∵∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，∴CD＝AD＝DB＝AB，∴∠A＝∠DCA，∵∠CDE＝∠A，∴∠DCA＝∠CDE，∵△CDE是等腰三角形，CE=DE，∴∠ECD=∠EDC，∴∠ECD=∠A，∴△ECD∽△DAC，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，灵活选用相似三角形是解题的关键．6．C【分析】本题利用正弦三角函数的定义即可直接作答．【详解】∵，，，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查三角函数，解题关键在于按照定义找准对应边，其次注意计算仔细即可．7．C【分析】连接BD，根据三角形中位线定理求出EF，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC=90°，根据正弦的定义计算即可．【详解】连接，∵E，F分别是的中点，∴，∵，∴，又∵，∴，∴△BCD是直角三角形，，∴．故选：C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理、解直角三角形的知识，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．8．A【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，AC=5，∠A=60°，∴tanA=，∴BC=AC=5.故选A.9．C【分析】首先解一元二次方程求得tanα的值，再根据特殊角的正弦值求出α的度数.【详解】∵3tan2α－(1＋3)tanα＋1＝0，∴(tanα−1)(tanα−1 )=0，解得tanα=或tanα=1.则α=30°或45°.故选C．【点睛】本题考查了解一元二次方程以及特殊角的正弦值，正确解出方程并熟记特殊角的正弦值是解答本题的关键.10．B【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理即可得.【详解】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，∴BD=DE=x，∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，∴=y，BQ=CQ=6，∴AQ=6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM=QM=CQ=3，∴EM=3y，∴DM=12-3-x=9-x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9-x）2，即2x-y2=9，故选B．11．A【分析】先求出∠ABD=60°，利用旋转的性质即可得到AB=AB′，进而得到△ABB′是等边三角形，于是得到∠BAB′=60°，再次利用旋转的性质得到∠DAD′=60°，结合AD=AD′，可得到△ADD′是等边三角形，最后得到DD′的长度．【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，∴AD=BC=，∴tan∠ABD==，∴∠ABD=60°，∵AB=AB′，∴△ABB′是等边三角形，∴∠BAB′=60°，∴∠DAD′=60°，∵AD=AD′，∴△ADD′是等边三角形，∴DD′=AD=BC=，故选A．12．B【分析】如图，过B作，过C作，解直角三角形，根据进行计算即可．【详解】解：过B作，过C作由题意得：，，∴，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加合适的辅助线构造直角三角形．13．【分析】根据实数的性质进行化简即可求解．【详解】=2-2+2×=，故答案为：．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．14．【分析】作AD⊥BC于D点，在Rt△ABD中根据余弦的定义求解即可．【详解】如图，作AD⊥BC于D点，则△ABD为直角三角形，其中，AD=3，BD=4，由勾股定理可得AB=5，∴，故答案为：．【点睛】本题考查求余弦值，根据余弦的定义构造合适的直角三角形是解题关键．15．/【分析】过点作于点，根据，得出，即可得出，根据等腰三角形的判定，得出，在中，根据正切函数，得出，即可得出结果．【详解】解：过点作于点，如图所示：∵，，∴，∴，∴，∵在中，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数的定义，记住特殊角的三角函数值，是解题的关键．16．【分析】设点的坐标为，过点作轴，作轴，根据折叠的性质可得，，，用锐角三角函数的定义求出，的长，则求出点的坐标，即可得出的值．【详解】解：设点的坐标为，如图，过点作轴，作轴，将沿直线翻折，，，，∴∠CAD=60°， ∠ACD=30°，，，，，，点在第二象限，，点恰好落在双曲线上，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数的知识，反比例函数的解析式的求法，理解翻折的性质，求出点的坐标是解答本题的关键．17．【分析】过作的垂线，设垂足为．根据三角形外角的性质，易证．在中，运用正弦函数求出的长．【详解】解：过作于．  ，，，即．．中，，，（海里）．即船继续沿正北方向航行过程中距灯塔的最近距离是海里．故答案为：．【点睛】本题主要考查了方向角含义，能够发现是等腰三角形，并正确的运用三角函数解直角三角形是解决本题的关键．18．(1)α＝30°；(2)文化墙PM不需要拆除，理由见解析．【分析】（1）由新坡面的坡度为1：3 ，由特殊角的三角函数值，即可求得新坡面的坡角；（2）过点C作CD⊥AB于点D，由坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：3 ．即可求得AD，BD的长，继而求得AB的长，则可求得答案．【详解】（1）∵新坡面的坡度为1：，∴tanα=tan∠CAB=，∴∠α=30°．答：新坡面的坡角a为30°；（2）文化墙PM不需要拆除．过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：，∴BD=CD=6，AD=6，∴AB=AD﹣BD=6﹣6＜8，∴文化墙PM不需要拆除．【点睛】此题考查了坡度坡角的知识．注意根据题意构造直角三角形是关键．19．点E与点D间的距离是358.4米．【分析】由，根据三角形外角的性质可得，故为直角三角形，根据的余弦值即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，即，解得（米），答：点E与点D间的距离是358.4米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、三角形外角的性质等内容，解题的关键是得到为直角三角形．20．(1)(2)【分析】（1）根据正弦函数的定义和60度角的正弦值求解即可；（2）根据余弦函数的定义和勾股定理求解即可．【详解】（1）解：在中，，∴，∵，，∴，∴；（2）解：中，，∴，则可设，，∵，∴，解得：，（负值舍去），∴．【点睛】本题考查解直角三角形，理解锐角三角函数定义，分清对应锐角三角函数是哪两条对应边的比值是解答的关键．21．(1)sin A≈0.868 2,cos A≈0.496 1,tan A=1.75.(2)∠A≈19.18°,∠B≈84.33°.【详解】【试题分析】（1）先利用勾股定理得AB=，再分别根据正弦，余弦，正切的定义，可得in A≈0.868 2,cos A≈0.496 1,tan A=1.75；(2)利用计算器计算即可.【试题解析】（1）由题意得：AB= ，则sin A ≈0.868 2，cos A= ≈0.496 1，tan A== 1.75；（2）利用计算器计算可得：∠A≈19.18°,∠B≈84.33°.22．（1）楼房的高度约为17.3米；（2）当α=45°时,小猫还能晒到太阳.【分析】（1）在Rt△ABE中，由tan 60°=，即可求出AB的长；（2）假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H．由∠BFA=45°，可得AF=AB=17.3米，那么CF=AF-AC=0.1米，CH=CF=0.1米，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，故小猫仍可以晒到太阳．【详解】解:(1)当α=60°时,在Rt△ABE中,∵tan 60°=,∴AB=10·tan 60°=103≈10×1.73=17.3米.∴楼房的高度约为17.3米.(2)当α=45°时,小猫还能晒到太阳.理由:假设没有台阶,当α=45°时,从点B射下的光线与地面AD的交点为F,与MC的交点为H.∵∠BFA=45°,∴tan 45°==1,此时的影长AF=AB=17.3米,∴CF=AF-AC=0.1米,∴CH=CF=0.1米,∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上,∴小猫还能晒到太阳.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．23．（1）CD＝50 m.（2）（15－5） m/s.【分析】（1）分别过C、C′作AB的垂线，设垂足为D、E；在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用所给角的三角函数分别用BD表示出CD，联立两式即可求出CD、BD的长．（2）直角梯形ADCC′中，已知了BD、AB的长，即可求出AD的长；而AE的长可在Rt△AEC′中利用已知角的三角函数求出，即可得出ED、CC′的长，也就得出了气球10秒漂移的距离，根据速度=路程÷时间，即可得解．【详解】解：（1）如答图所示，作CD⊥AB，C′E⊥AB，垂足分别为D，E.∵CD＝BD·tan60°，CD＝(100＋BD)·tan30°，∴(100＋BD)·tan30°＝BD·tan60°，∴BD＝50(m)，CD＝50(m)，∴气球的高度约为CD＝50m.（2）∵BD＝50 m，AB＝100 m，∴AD＝150 m，又∵AE＝C′E＝50m，∴DE＝（150－50）m，（150－50）÷10＝（15－5）(m/s)．∴气球飘移的平均速度约为（15－5） m/s.【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．24．景点与景点之间的距离约为1861米．【分析】作交的延长线于点，设，利用锐角三角函数将AD、BD也用x表示，再根据AB=900列方程求出x的值．【详解】如图，作交的延长线于点，则，在和中，设，则，解得（米），答：景点与景点之间的距离约为1861米．【点睛】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是利用方程思想结合锐角三角函数列式求解．题号12345678910答案ABBBACCACB题号1112        答案AB