广东省梅州市兴宁市五校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题

这是一份广东省梅州市兴宁市五校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合P={x|x0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与E的右支交于点P，Q设△PF1F2与△QF1F2的内切圆圆心分别是M，N，直线OM，ON的斜率分别是k1，k2，则k1k2=2 2−3，则双曲线E的离心率为( )
A. 2 2B. 2+1C. 2D. 62
8.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)ex的解集为( )
A. (6,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,0)D. (0,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论正确的是( )
A. d=15B. 此人第三天行走了一百二十里
C. 此人前七天共行走了九百一十里D. 此人有连续的三天共行走了三百九十里
10.某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图(如图所示)，下列说法正确的是( )
A. 这11个月甲企业月利润增长指数的平均数超过82%
B. 这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82%
C. 这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定
D. 在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为411
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，若点M在线段BC1上运动，则下列结论正确的为( )
A. 直线A1M可能与平面ACD1相交
B. 三棱锥A−MCD与三棱锥D1−MCD的体积之和为定值
C. 当CM⊥MD1时，CM与平面ACD1所成角最大
D. 当△AMC的周长最小时，三棱锥M−CB1D1的外接球表面积为16π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线f(x)=x+lnx在x=1处的切线方程是______.
13.抛物线E：y=2px(p>0)的焦点为F，点A是E的准线与坐标轴的交点，点P在E上，若∠PAF=30∘，则sin∠PFA=______.
14.函数y=[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.已知数列{an}满足a3=3，且an=n(an+1−an)，若bn=[lgan]，则数列{bn}的前2025项和为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知btanA+btanB= 3ccsA.
(1)求∠B的大小；
(2)若a=4，c=3，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且PQ把△ABC的面积分成相等的两部分，求|PQ|的最小值.
16.(本小题15分)
在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列.
17.(本小题15分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，AB⊥B1C.
(Ⅰ)求证：AO⊥平面BB1C1C：
(Ⅱ)设∠B1BC=60∘，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45∘，求二面角A1−B1C1−B的余弦值．
18.(本小题17分)
已知f(x)=ex+x2−x，g(x)=x2−ax−b，a，b∈R.
(1)若f(x)与g(x)在x=1处的切线重合，分别求a，b的值.
(2)若∀b∈R，f(b)−f(a)≥g(b)−g(a)恒成立，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知在曲线C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点M(x0,y0)处的切线l0为xx0a2+yy0b2=1.若过右焦点F的直线l交椭圆C:x24+y23=1于P，Q两点，已知在点P，Q处切线相交于G.
(1)求G点的轨迹方程；
(2)若过点F且与直线l垂直的直线(斜率存在且不为零)交椭圆C于E，H两点，证明1|PQ|+1|EH|为定值.
(3)在(2)的条件下，四边形EQHP的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若无说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
由已知结合集合的交集运算即可求解．
【解答】
解：P={x|x0}，
则P∩Q=(0,2).
故选：C.
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，z=3−4i，则|z|= 9+16=5，
zi=(3−4i)i=4+3i，
则|z|+zi=9+3i，
故选：C.
根据题意，求出|z|和zi的值，计算可得答案．
本题考查复数的计算，注意复数的模，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅(3x)6−r⋅(−1 x)r=C6r⋅36−r⋅(−1)rx6−3r2，
令6−3r2=0，解得r=4，则展开式的常数项为C64×32×(−1)4=135，
故选：D.
求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0，即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，该纸片扫过的区域形成的几何体如图，
四边形ABCD为正方形，其面积S1=4，
同理，四边形AEFD的面积S2=4，
上底面CDF是扇形，其面积S3=12×2×2×π4=π2，
同理，下底面ABE的面积S4=π2，
曲面BEFC，其面积为S5=π42π×(2π×2×2)=π，
则几何体的表面积S=4+4+π2+π2+π=8+2π，
故选：C.
根据题意，得到该纸片扫过的区域形成的几何体，然后求出各个面的面积即可．
本题考查旋转体的表面积，关键是分析几何体的几何结构，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：设直线(a+1)x−ay−1=0(a∈R)为直线l，
∵直线(a+1)x−ay−1=0，即a(x−y)+x−1=0，
∴直线恒过定点D(1,1)，
∵圆x2+y2=4，
∴圆心C(0,0)，半径r=2，D在圆的内部，
当直线CD⊥l时，弦|AB|最短，
∵|CD|= 12+12= 2，
∴|AB|=2 r2−|CD|2=2 2，
当直线l过圆心时，弦|AB|最长小于2r=4，
故|AB|的取值范围为[2 2,4).
故选：D.
根据已知条件，先求出定点D，再结合两点之间的距离公式，以及垂径定理，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由图形可知T2=43−13=1，所以T=2，
所以2πω=2，所以ω=π，
所以f(x)=sin(πx−φ)，又函数f(x)过点(56,1)，
所以sin(5π6−φ)=1，所以5π6−φ=π2+2kπ，k∈Z，
所以φ=π3−2kπ，所以f(x)=sin(πx−π3)，
由2kπ−π2≤πx−π3≤2kπ+π2，可得2k−16≤x≤2k+56，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[2k−16,2k+56]，k∈Z，
故选：D.
由图可得T=2，可求ω，又函数过点(56,1)，可求φ，从而可求函数解析式，可求单调递增区间．
本题考查由函数图象求解析式，求单调递增区间，属基础题．
7.【答案】C
【解析】解：如图所示，设△PF1F2的内切圆和三边分别相切于点G，D，E，
则|PF1|−|PF2|=|F1G|−|F2E|=|F1D|−|F2D|=2a，且F1D|+|F2D|=2c，
∴|F2D|=c−a，∴|OD|=a，设直线PQ的倾斜角为α，
则∠MF2D=π−α2，∴|MD|=|F2D|tanπ−α2=(c−a)tanπ−α2，∴k1=|MD||OD|=(c−a)tanπ−α2a，
同理∠NF2D=α2，|ND|=|F2D|tanα2=(c−a)tanα2，k2=−|ND||OD|=−(c−a)tanα2a，
∴k1k2=(c−a)2tan(π2−α2)tanα2a2=−(c−a)2a2，又k1k2=2 2−3，
∴(c−a)2a2=3−2 2，c−aa= 2−1，∴e=ca= 2.
故选：C.
设△PF1F2的内切圆和三边分别相切于点G，D，E，可得|OD|=a，设直线PQ的倾斜角为α，可得k1=|MD||OD|=(c−a)tanπ−α2a，k2=−|ND||OD|=−(c−a)tanα2a，计算可求双曲线E的离心率．
本题考查双曲线的离心率的求法，考查运算求解能力，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为f(x+3)为偶函数，f(x+1)−12为奇函数，
所以f(x+3)=f(−x+3)，f(x+1)+f(−x+1)−1=0.
所以f(x)=f(−x+6)，f(x)+f(−x+2)=1，所以f(−x+6)+f(−x+2)=1.
令t=−x+2，则f(t+4)+f(t)=1.
则f(t)+f(t−4)=1，所以f(t+4)=f(t−4).
则f(t)=f(t+8)，所以f(x)=f(x+8)，
所以f(x)为周期为8的周期函数．
因为f(x+1)−12为奇函数，所以f(x+1)+f(−x+1)=1，
令x=0，得f(1)+f(1)=1，
所以f(1)=12，所以f(9)+f(8)=32，即为f(1)+f(0)=32，
所以f(0)=1，
因为f′(x)1，
即为g(x)>g(0)，所以x