数学七年级下册（2024）6.1 平方根、立方根教案设计

这是一份数学七年级下册（2024）6.1 平方根、立方根教案设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
立方根

一、教学目标
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.
2.会用立方运算求一个数的立方根；了解开立方与立方互为逆运算.
3.了解立方根的性质，能区分立方根与平方根的不同.
4.通过观察、比较、分析等活动，提高学生的数学探究能力和抽象概括能力，并体会类比的数学思想.

二、教学重难点
重点：会用立方运算求一个数的立方根.
难点：立方根的概念和性质.

三、教学过程
（一）创设情境
情境：问题:要做一个容积是64dm3的正方体木箱，如图6-4，
问它的棱长是多少?
师生活动：教师展示问题，请学生独立思考，尝试求该正方体木箱的棱长.
设计意图：通过实际情境引入，让学生体会生活中的数学，并从实际问题中抽象出由已知一个数的立方，求这个数的问题.，进而引入本节课题，如何求一个数的立方根.
（二）探究新知
任务一：请你结合情境，运用所学知识，尝试求出正方体木箱的棱长.
师生活动：教师组织学生先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间3分钟.教师可适当提示上面所提出的问题，实质上就是要找一个数x，这个数x的立方等于64.即x3=64，因为43＝64，所以正方体的棱长应为4dm.
待学生充分探究交流后，教师选学生展示并讲解自己的解题思路，以及具体解题过程.
任务二：探究立方根的相关概念.
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间5分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
总结：（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作3a ，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数.
（2）求一个数的立方根的运算叫做开立方.
（3）开立方与立方互为逆运算.根据这种关系，可求出一些数的立方根.
设计意图：组织学生合作探究，重视概念的生成，让学生了解立方根的记作和写作，同时让学生进一步理解被开方数、根指数以及开立方等基本概念.特别是在探究立方根概念时让学生体会类比的数学思想.
（三）应用新知
例1：求下列各数的立方根:(1)27;(2) -64; (3)0.
预设答案：解：(1)因为33＝27，所以27的立方根是3，
即 327 = 3.
(2)因为（−4）3=-64 ，所以-64的立方根是-4，
即 3−64 = -4.
(3)因为03=0，所以0的立方根是0，
即 30 = 0.
总结：
（1）正数有一个正的立方根；
（2）负数有一个负的立方根；
（3）0的立方根是0.
设计意图：通过求出一些数的立方根，进一步理解开立方与立方互为逆运算.在解题过程中掌握立方根的性质并体会“分类”的数学思想.
例2：用计算器求下列各数的立方根(精确到0.01):
2; (2) 7.797; (3) -17.456; (4) 398137​
预设答案：解：(1)在计算器上依次按键 显示结果
是1.25992105，精确到0.01，得32​32≈1.26.
（2） 37.797​≈1.98.
请同学们自己算出第(3)(4)题的结果.
师生活动：注意学生使用的计算器品牌，不同的计算器功能、方法不尽相同，教师要给予指导和必要的说明.
设计意图：让学生掌握通过利用计算器可以求一个数的立方根或它的近似值.
例4 3−a = —3a 吗？
分析：因为任何数都只有一个立方根，正数或负数的立方根的符号与原数符号相同，
，所以3−a = −3a 对的.
解：因为​3−a = -a， −3a= -a .
所以​ ​3−a = −3a= .
总结：
（1）正数有一个正的立方根；
（2）负数有一个负的立方根；
（3）0的立方根是0.
设计意图：让学生理解开立方与开平方的不同.在解题过程中掌握立方根的性质的灵活运用，
例4 已知a3+27 +（b−1）2 = 0，求a+2b的立方根
分析：开平方的被开方数为非负数，一个数的平方也是非负数，然后根据非负数的性质和立方根的概念进行求解.
解：由非负数的性质得：a3+27=0，b-1=0
所以a3=−27，b-1=0.
解得：a=−3，b=1.
a+2b=−3+2×1=−1
又−1的立方根为−1
故a+2b的立方根为−1
总结：
（1）两个非负数之和等于0，则每一个加数都为0 .
（2）负数有一个负的立方根.
设计意图：通过前面所学知识和求立方根相结合，来培养学生的综合应用能力.
例5 已知5x3=135，y=61求3x+y​的值.
分析：先解关于x的方程，然后再求 3x+y​的值.
解：由题意得 x3 =27
解得 x=3
又 y=61
所以x+y=64
故3x+y​= 364 = 4.
总结：
（1）先解关于x的方程再求解.
（2）注意做题格式 .
设计意图：通过前面所学知识和求立方根相结合，来培养学生的综合应用能力.
（四）巩固新知
1. （−8）2的立方根是 . .
答案：4
知识点：立方根.
[分析]先进行平方运算，然后再根据立方根的定义进行求解即可.
[详解] 因为 （−8）2= 64，64 的立方根是4.
所以 （−8）2的立方根是4.
2.若3b−a与32b−a互为相反数，则a，b之间的关系是 ____.
答案：3b-2a=0或3b=2a或b=23a
知识点：立方根，相反数.
解析：因为3b−a与32b−a互为相反数，
所以b-a与2b-a也互为相反故，
即(b- a)+(2b- a)=0，整理得3b-2a=0.故3b-2a=0或3b=2a或b=23a
3.若x3-27=0则x =____.
答案：3
知识点：立方根，解方程.
[分析] 本题主要考查求一个数的立方根，解题关键在于掌握立方根的定义，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.解答此题，首先根据x3-27=0可得x3=27，再根据立方根的定义解答即可.
[详解] 因为 x3-27=0. x3=27.所以x =3.
4.计算3−27=____.
答案：-3
知识点：立方根.
[分析] 本题主要考查求一个数的立方根，解题关键在于掌握立方根的定义，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.解答此题.
[详解] 因为（-3）3=-27， 所以3−27=-3
5.下列说法中正确的是( )
①立方根是它本身的数只有3个； ②127的立方根是13-与-13-；③-81无立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.
A① ② B① ③ C ① ④ D ② ④
答案：C
知识点：立方根.
解析：立方根等于它本身的数有0，1，-1 故说法①正确；
因为一个数的立方根只有一个所以说法②错误；
虽然-81没有平方根，但它有立方根，所以说法③错误；
因为3−a = —3a 所以说法④正确.故选C .
6.下列式子表达不正确的是( )
A38=2 B-100=-10 C 327 = ±3 D 3−64 =-4
答案：C
知识点：平方根、立方根.
解析：A 38=2 正确，不符合题意.； B -100=-10 正确，不符合题意. ；
C 327 = ±3 不正确，符合题意.； D 3−64 =-4 正确，不符合题意.
故选C
7.下列说法正确的是( ).
A. 一个数总大于它的立方根. B.非负数才有立方根.
C . 任何数的符号和它的立方根的符号相同. D.任何数都有两个立方根.
答案：C
知识点：立方根.
解析：
A.0的立方根等于它本身，-27小于它的立方根-3，故此选项错误;
B.任何一个数都有立方根，故此选项错误;
C.正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，故此选项正确;
D.任何数的立方根都只有一个，故此选项错误.
故选C
8..下列计算正确的是( ).
A.318=±12 B 3（−8）2 = 4 C 3（−3）3 = 3 D -3−23 = -2
答案：B
知识点：立方根.
解析：A.318= 12 故此选项错误；
B 3（−8）2 =364 = 4故此选项正确.
C 3（−3）3 =3−27 =- 3 故此选项错误；
D -3−23 = -3−8=-（-2）= 2 故此选项错误.
9.如果2x-1的平方根是±3，x+y是18的立方根，那么3x+4y的值是多少？
答案：-3
知识点：平方根、立方根.
[分析] 本题考查的是平方根和立方根的概念，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根、如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根。根据平方根和立方根的概念列出方程，解方程求出x，y的值即可解答.
[详解] 解: 因为2x-1的平方根是±3，
所以2x-1=9解得x=5；
因为x+y是18的立方根
所以x+y=12 即y= 12 - 5 = - 92
所以3x+4y=3×5+4×（ - 92 ）=-3
10.如果b+4a−3b为a-3b的算术平方根，a+21−a2为1-a2的立方根，求2a-3b的立方根
答案：2
知识点：立方根、算术平方根.
[分析] 本题考查了算术平方根和立方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.由于算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3，由此可以列出关于a、b的方程，解方程即可求出a、b，然后即可求出题目结果.
[详解] 解::由题意，有b +4=2，a+2=3，解得a=1，b= -2
得: 2a -3b=2×1-3×（-2）=8.
所以 2a-3b 立方根是38 = 2 故2a-3b的立方根为2.
（五）课堂总结
1.本节课学习了立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.
2.会用立方运算求一个数的立方根；了解开立方与立方互为逆运算.
3.了解立方根的性质.
① 正数有一个正的立方根；
② 负数有一个负的立方根；
③0的立方根是0.
4.会区分立方根与平方根的不同.
5.通过观察、比较、分析活动，提高学生的探究能力和抽象概括能力，并体会类比的数学思想.