山东省临沂市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

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2025.1
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知直线 与 平行，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
3. 已知数列 为等比数列，若 ， ，则 （ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
4. 已知双曲线 （ ， ）的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知空间向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 在等差数列 中，若 ，则 （ ）
A. 24 B. 28 C. 32 D. 36
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7. 已知圆 与圆 交于 ， 两点，当弦 最长时，实
数 的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
8. 已知空间直角坐标系中， 、 、 ，点 空间中任意一点，若
， ， ， 四点共面，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 为 上的任意一点，则（ ）
A. 椭圆 的长轴长为 3 B. 椭圆 的离心率为
C. 的最大值为 5 D. 存在点 ，使得
10. 已知圆 ： ， 是直线 ： 上的一动点，过点 作直线 ， 分别
与 相切于点 ， ，则（ ）
A. 存在圆心在 上的圆与 相内切 B. 四边形 面积的最小值为
C. 的最小值是 D. 点 关于 的对称点在 内
11. 如图，该几何体是四分之一圆柱体（点 ， 分别是上、下底面圆的圆心），四边形 是正方形，
点 是圆弧 的中点，点 是圆弧 上的动点（含端点），则（ ）
A. 存在点 ，使得
B. 存在点 ，使得直线 ∥平面
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C. 存在点 ，使得平面 平面
D. 存在点 ，使得直线 与平面 的所成角的余弦值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 抛物线 的焦点坐标是______.
13. 若数列 满足 （其中 ， ， 为常数， ），则称 是以 为周期，
以 为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列” 的前 4 项为 1，1，2，2，周期为 4，周
期公差为 2，则 的前 16 项和为_____.
14. 已知双曲线 ： （ ， ） 右焦点为 . 为坐标原点，若在 的左支上存在关
于 轴对称的两点 ， ，使得 ，且 ，则 的离心率为_____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 已知圆 ： ，点 .
（1）若直线 与 相切，切点为 ，求 ；
（2）已知直线 过点 ，若圆 上恰有三个点到 的距离都等于 1，求 的方程.
16. 已知抛物线 ： （ ）， 是 的焦点， 为 上的一动点，且 的最小值为 1.
（1）求 方程；
（2）直线 （不过坐标原点 ）交 于 、 两点，且满足 ，证明 过定点，并求出该定点的坐
标.
17. 已知等差数列 满足 ， 的前 项和为 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18. 若 为平面 的一条斜线， 为斜足， 为 在平面 内的射影， 为平面 内的一条直线，
其中 为 与 所成的角， 为 与 所成的角， 为 与 所成的角，那么
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，简称三余弦定理.如图，直三棱柱 中， ，
， （ ）.
（1）求 的余弦值；
（2）当点 到平面 距离最大时，求 的值；
（3）在（2）的条件下，求平面 与平面 夹角的大小.
19. 已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ， 的面积
为 ，直线 与 的斜率之积为 .
（1）求 的方程；
（2）已知点
（ⅰ）若直线 过点 且与 交于 、 两点，求 的最大值；
（ⅱ）若直线 过点 且与 交于 ， 两点，求证： .
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