广东省佛山市2024-2025学年高三上学期教学质量检测（一）数学试题（Word版附解析）

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2025.1
本试卷共4页，19小题．满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法可求.
【详解】因为，故，
故选：B.
2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此求得取值范围.
【详解】当时，，满足，
当时，，由，
可知，
综上所述，.
故选：D
3. 等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比中项可判断两者之间的条件关系.
【详解】因为为等比数列，故为等比数列，且三者同号，
若，则由可得，故甲是乙的充分条件；
若，则由及可得，故甲是乙的必要条件；
故甲是乙的充要条件，
故选：C.
4. 函数在区间上的零点个数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式可得或，故可求零点个数.
【详解】令，则，
故或，而，
所以或或或或，
故共有5个零点，
故选：B.
5. 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，某景区的旅游人数大约每年以的增长率呈指数增长，那么至少经过多少年后，该景区的旅游人数翻一倍？（参考数据：，）（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件列不等式，由此quiet正确答案.
【详解】设经过年后，人数翻一倍，
则，
两边取以为底的对数得，
所以，
所以至少经过年后，该景区的旅游人数翻一倍.
故选：B
6. 在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆与圆的位置关系来求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以不等式组表示的区域是圆与圆公共的内部区域，
画出图象如下图所示，，两圆半径都是，
设两个圆相交于两点，则，
由于，，
所以是圆的切线，是圆的切线，
同理是圆的切线，是圆的切线，
，所以四边形是正方形，
所以区域面积为.
故选：D
7. 若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值.
【详解】设直线与曲线的切点为.
对求导，根据，可得.
因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知，
在切点处，即.
又因为切点既在直线上又在曲线上，
所以且，即.
将代入可得：，即.
将代入可得：
，
所以当，时，取得最小值为.
故选：A
8. 已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，设与的夹角为，与的夹角为，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】把直线和平面放置在锥体中，然后利用异面直角夹角定义，结合三余弦定理及余弦函数的单调性得，根据二面角平面角的定义，结合最大角定理及正弦函数单调性得，即可得解.
【详解】如图，设斜线为直线，平面为平面，且，
由图可知，当恰为时，此时与的夹角为；
当为时，，
由于，知，
故由在上单调递减得，知.综上可知；
由于，故是二面角所成角，即，，
由于，则，
故由在上单调递增得，即，可知.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 有一组成对样本数据，，，，设，，由这组数据得到新成对样本数据，下面就这两组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算经验回归直线，最后计算出残差平方和，则（ ）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．相关系数．
A. 两组数据的相关系数相同B. 两组数据的残差平方和相同
C. 两条经验回归直线的斜率相同D. 两条经验回归直线的截距相同
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用公式求相关系数，通过对公式的理解，可以作出判断.
【详解】由于新成对样本数据，
其平均数分别为，
同理，
这样根据公式，
用样本数据减去平均数得与新成对数据，
用样本数据减去平均数得与新成对数据，
即它们每一个对应数据的差值都是一样的，
这就说明两条经验回归直线的斜率相同，两组数据的相关系数相同， 故A、C正确；
由于回归直线经过样本数据的样本点为，而新数据的样本点为，
即样本数据的回归直线方程为，而新数据的回归直线方程为，
故两条经验回归直线的截距不相同，故D错误；
由于样本数据回归直线和新数据回归直线是平行关系，所以实际值与估计值的差的平方和应该是相同的，即两组数据的残差平方和相同，故B正确；
故选：ABC.
10. 在中，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 在方向上的投影向量为D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项对题干条件直接根据数量积定义，化简成，然后根据边角转化求解；B选项利用两角和的正切公式求解；C选项结合正弦定理，投影向量公式求解；D选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解.
【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，，
即，即，由正弦定理，，
即，则为锐角，由，
解得，，A选项正确，
B选项：由A选项和题干可知，，
，故，B选项错误.
C选项：在方向上的投影向量为，
由B知，，，且，解得，
由正弦定理，，则，C选项正确.
D选项：由正弦定理，，即，解得，
于是，，D选项错误.
故选：AC
11. 已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（ ）
A. 为偶函数B. 为周期函数
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值等操作来分析函数的性质，并结合导数来判断各个选项的正确性，从而确定正确答案.
【详解】令，代入可得：
，即，所以，
令，则，即，
令得，
以替换，则，
以替换，则，所以函数是周期为的周期函数.
令，则，即，
所以是偶函数，A选项正确.
因为是周期为的周期函数，对两边求导得：
，即.
替换，则.
以替换，则，
所以是周期为的周期函数，B选项正确.
由的周期为，且，，，.
，C选项错误.
因为的周期为，，所以.
又，两边求导得，即，
所以
而，令，
可得，即，.
对两边求导得，令，得.
对两边对求导，
得，
即
令，
可得，所以，则，D选项正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：
对于抽象函数性质的研究，赋值法是一种重要手段，通过合理选取赋值，能够挖掘出函数的奇偶性、周期性等关键性质.
函数与其导函数之间存在紧密联系，对函数等式两边求导，能从函数的性质推导出导函数的性质，反之亦然.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式可求的系数.
【详解】的展开式的通项公式为，
的展开式的通项公式为，
令，则的展开式中的系数为，
的展开式中的系数为，
故的展开式中的系数为，
故答案为：.
13. 记的内角的对边分别为且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】切化弦后结合正余弦定理可得，故可求.
【详解】因，
故，
所以，
整理得到：，故，
故答案为：.
14. 直线过双曲线的左焦点，交的渐近线于两点．若，且，则的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】先判断出直线的斜率，由此求得直线的方程，通过联立方程求得两点的坐标，再根据比例列方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线的左焦点F-c,0，到渐近线的距离为
所以直线与渐近线垂直，所以直线的斜率为，
直线的方程为，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立，消去并化简得点横坐标为.
联立，消去并化简得点横坐标.
因为，所以.
即，，
，.
，
，
，
，
，，
又因为，
所以双曲线的离心率.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
利用双曲线焦点到渐近线的距离与已知条件建立联系，确定直线与渐近线的位置关系，进而得到直线方程，这是解决本题的关键之一.
通过联立直线与渐近线方程求出交点坐标，再结合向量关系列出等式，最后利用双曲线的基本性质和离心率公式求解离心率，这是处理此类双曲线与直线、向量综合问题的常见方法.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，直三棱柱的体积为，侧面是边长为1的正方形，，点分别在棱上．
（1）若分别是的中点，求证：平面；
（2）若，，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，可得，根据线面平行的判定定理可证平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的垂直表示可求的坐标，从而可求.
【小问1详解】
如图，连接，则彼此平分，而为的中点，
故为的中点，而为的中点，故，
而平面，平面，故平面.
【小问2详解】
由直三棱柱的体积为可得，
而，故，而为三角形内角，故，
故即，结合直三棱柱可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，，
则，而，
由，可得，解得.
故，故
16. ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”．
（1）证明：；
（2）若，，求和．
【答案】（1）证明见解析
（2）,
【解析】
【分析】（1）根据条件概率的意义可证明；
（2）利用（1）中的结果可求，结合全概率公式可得，利用构造法可求.
【小问1详解】
若第次为甲发球条件下第次还是甲发球，
则第次甲没有发出ACE球，故此时，
若第次不是甲发球的条件下第次是甲发球，
（1）乙发ACE球，则第次是甲发球；
（2）乙没有发出ACE球，则有的概率第次是甲发球；
故，
故.
【小问2详解】
，,
故，所以即，
所以，
故
而，故为等比数列，
故即.
17. 已知函数，其中．
（1）当时，讨论关于的方程的实根个数；
（2）当时，证明：对于任意的实数，都有．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数研究的单调性，结合图象确定正确答案.
（2）将要证明的不等式进行转化，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立.
【小问1详解】
当时，
方程解的个数，转化为与y=fx有交点的个数，
y=fx的定义域为，
令f'x>0得，令f'x