艺考生专题讲义46 定点、定值、定直线-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义46 定点、定值、定直线-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共13页。试卷主要包含了参数法，由特殊到一般发等内容，欢迎下载使用。
求定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
二．直线定点问题的求解的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
三．解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量(通常为变量)；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
精讲精练
题型一 定值
【例1】(2024·北京丰台区·高三一模)已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点.
(ⅰ)求证：直线的斜率之积为定值；
(ⅱ)判断三点是否共线，并说明理由.
【答案】(1)；(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)是，理由见解析.
【解析】(1)由题意得，
所以，
所以椭圆C的方程为.
(2)(ⅰ)证明：设，
因为在椭圆上，所以.
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以直线的方程为.
所以点的坐标为.
所以直线的斜率为.
所以直线的斜率之积为：
.
(ⅱ)三点共线.
设直线斜率为，易得.
由(ⅰ)可知直线斜率为，所以直线的方程为.
联立可得.
解得点的纵坐标为，
所以点的坐标为.
所以，直线的斜率为，直线的斜率为.
因为直线的斜率等于直线的斜率，
所以三点共线.
【举一反三】
1．(2024·陕西宝鸡市·高三二模(文))已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)因为的周长为，
所以，即.
又离心率，解得，，
.
∴椭圆的方程为.
(2)设，，，
将代入
消去并整理得，
则，，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，得，
将点坐标代入椭圆方程得，
点到直线的距离为，，
∴平行四边形的面积为
.
故平行四边形的面积为定值为.
2．(2024·四川遂宁市·高三二模(文))如图，已知椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，且时，.
(1)求的值；
(2)设线段，的延长线分别交椭圆于，两点，当变化时，直线与直线的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】(1)；(2)为定值5.
【解析】(1)设，则，由题意得焦点为
所以，.
当时，有.
联立得，，从而.
将代入，得，
所以，故.
(2)由(1)知，，椭圆：.
设：，代入椭圆：，
得.
而，即，
从而.
同理：，.
从而.
于是.
所以，的斜率之比为定值5.
题型二 定点
【例2】(2024·河南月考(文))已知椭圆的两焦点为，，点在椭圆上，且的面积最大值为．
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)点为椭圆的右顶点，若不平行于坐标轴的直线与椭圆相交于两点(均不是椭圆的右顶点)，且满足，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析，定点坐标为．
【解析】(Ⅰ)由椭圆的对称性可知：当点落在椭圆的短轴的两个端点时的面积最大，此时，解得：．
由得：．
椭圆的标准方程为．
(Ⅱ)设，，直线的方程为，
联立得：，
则，即，
，．
．
椭圆的右顶点为，，，
，即，
．
整理可得：，
解得：，，(，均满足)．
当时，的方程为，直线过右顶点，与已知矛盾；
当时，的方程为，过定点，
直线过定点，定点坐标为
【举一反三】
1．(2024·黑龙江大庆市·高三一模(理))已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1)；(2)证明见解析，.
【解析】(1)由得，
所以椭圆的标准方程为.
(2)当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意.
所以直线斜率存在，设直线的方程为.
设、，
由得，
所以，.
因为，
所以，
即，整理得
化简得，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
2．(2024·全国高三月考(文))已知斜率为的的直线与椭圆交于点，线段中点为，直线在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点，设直线的斜率分别为，，线段的中点分别为，判断直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.
【答案】(1)；(2)过定点，.
【解析】设，
则，
且
两式相减得
即，
即，
所以
又直线的方程为，
令，得
所以，
所以椭圆的方程为.
(2)由题意得，直线的方程分别为，
设，联立，
得，
所以，
则
同理
所以
由
得，
所以直线的方程为
整理得，
所以直线过定点.
题型三 定直线
【例3】(2024·深圳实验学校高中部)如图，已知抛物线直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点.
(1)证明：；
(2)设抛物线C在点A处的切线为，在点B处的切线为，证明：与的交点M在一定直线上.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】1)设，，
把代入，得.
由韦达定理得，.
.
所以
(2)，，
故经过点的切线的方程为：，
即，①
同理，经过点的切线的方程为：，②
，得.
即点M在直线上.
【举一反三】
1．(2024·浙江温州市)已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点.
(i)求证：点在一条定直线上；
(ii)求面积的取值范围.
【答案】(1)；(2)(i)证明见解析；(ii).
【解析】(1)抛物线的焦点到准线的距离为2，
可得，所以抛物线的标准方程为.
(2)联立方程组消去得，，
∴，
由得，，所以切线方程为
切线方程为
联立直线､方程可解得，.
(i)所以点的坐标为.
所以点在定直线上
(ii)点到直线的距离为.
所以
的面积为
所以当时，有最小值.
面积的取值范围是.
2．(2024·云南昆明市·昆明一中高三月考(理))已知点P是抛物线上的动点，且位于第一象限．圆，点P处的切线l与圆O交于不同两点A，B，线段的中点为D，直线与过点P且垂直于x轴的直线交于点M．
(1)求证：点M在定直线上；
(2)设点F为抛物线C的焦点，切线l与y轴交于点N，求与面积比的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)设，其中，显然切线l的斜率存在且不为零，
由，求导得：，所以切线l的斜率为m，
因为D是弦的中点，所以，所以直线方程：，
联立方程，得，所以点M在定直线上．
(2)由(1)知切线l的方程：，化简得：，
令，得，又，，
联立方程，得，
而，，
所以，令，得，
则，所以与面积比的取值范围为
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