艺考生专题讲义15 三角函数定义及同角三角函数-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义15 三角函数定义及同角三角函数-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共10页。试卷主要包含了把下列角度化成弧度，将下列角度与弧度进行互化.，若点在角的终边上，则的值是等内容，欢迎下载使用。
一．任意角
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．
(3)弧度制
①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝eq \f(l,r)，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③弧度与角度的换算：360°＝2π rad；180°＝π rad；1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \f(180,π)度．
二．任意角的三角函数
1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝eq \r(x2＋y2)>0)．
则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
2.三角函数在每个象限的正负如下表：
三．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1 (2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
四．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cs2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cs2α；cs2α＝1－sin2α；
(2)tan α＝eq \f(sin α,cs α)的变形公式：sin α＝cs_αtan_α；cs α＝eq \f(sin α,tan α).
精讲精练
题型一 角度制与弧度制的转换
【例1】填表(弧度数用含的代数式表示)，并在平面直角坐标系中作出角的终边.
【答案】填表见解析，作图见解析
【解析】如表，
如图：
对应的角的终边分别为图中的射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，OI.
【例2】把下列各弧度化为角度.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【解析】(1)；(2)；(3)；
；(5)；(6).
1．把下列角度化成弧度：
(1)； (2)； (3)； (4).
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)； (2)；
(3)； (4)．
2．(2020·全国课时练习)将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°；(2)－15°；(3)(4)－.
【答案】(1)20°＝；(2)－15°＝－；(3)＝105°；(4)－＝－396°.
【解析】(1)20°＝＝. (2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°. (4)－＝－×180°＝－396°.
题型二 三角函数定义
【例3】(1)已知角的终边经过点，则等于( )
A．B．C．D．
(2)已知角的终边上一点，则( )
A．B．C．D．
【答案】(1)A(2)D
【解析】(1)因为角的终边经过点，所以，所以，
故选：A
(2) 由三角函数的定义可得故选：D
【举一反三】
1．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，那么的值是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知，所以．故选：C．
2．角的终边过点，若，则的值为( )
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】由条件可知，
由三角函数的定义可知，，解得：.故选：B
3．若点在角的终边上，则的值是( )
A．-1B．1C．D．
【答案】B
【解析】据题意，得.故选：B.
题型三 三角函数正负判断
【例4】(1)已知，那么是( )
A．第一、二象限角B．第二、三象限角C．第三、四象限角D．第一、四象限角
(2)若是第二象限角，则点在 ( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】(1)A(2)D
【解析】(1)由可知同号，即，从而为第一、二象限角，故选：A
(2)因为是第二象限角，所以，所以点在第四象限，故选D
【举一反三】
1．已知 且，则角的终边所在的象限是( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，
所以终边在第二象限，故选B.
2．若，且，则角是( )
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【解析】，，又，则.
因此，角为第三象限角.故选：C.
3．已知，且，则角是( )
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【解析】由，可知，结合，得，
所以角是第四象限角，故选:D
4．(多选)对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为( )
A．①③B．①④C．④⑥D．②⑤
【答案】BC
【解析】若为第二象限角，则，，.
所以，为第二象限角或或.故选：BC.
题型四 同角三角公式
【例5】(1)已知α是第四象限角，cs α＝，则sin α等于( )
A．B．－
C．D．－
(2)已知，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】(1)B(2)A
【解析】由条件知α是第四象限角，所以，即sin α＝＝＝.
故选：B．
(2)且，，，
由得：.故选：.
【方法总结】
知弦求弦、知弦求切---平方关系，注意角象限对应函数值的正负
知切求弦---联立方程组即联立平方关系与商数关系
【举一反三】
1．已知α为第四象限的角，且，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】为第四象限的角，且，.
.故选：.
2．已知，且，那么( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，故， ，
又，解得：故选：B
3.已知tan α＝eq \f(4,3)，且α是第三象限角，求sin α，cs α的值．
【答案】见解析
【解析】由tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(4,3)，得sin α＝eq \f(4,3)cs α①又sin2 α＋cs2α＝1②
由①②得eq \f(16,9)cs2α＋cs2α＝1，即cs2α＝eq \f(9,25).又α是第三象限角，∴cs α＝－eq \f(3,5)，
sin α＝eq \f(4,3)cs α＝－eq \f(4,5).
题型五 弦的齐次
【例6】(1)已知tan α＝2，则eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)的值为 ．
(2)(2020·固原市五原中学高三)已知，则
【答案】(1)3(2)
(1)原式＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(2＋1,2－1)＝3.
(2)因为，
所以
故选：D.
【方法总结】
【举一反三】
1．已知，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得.故选：A.
2．已知，则等于( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】.
故选：D
3．，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，．故选：
4．(2020·江苏南京田家炳高级中学)已知，
求：(1)； (2).
【答案】(1) 4 (2)
【解析】(1)
(2)
题型六
【例7】(1)已知，则( )．
A．B．C．D．
(2)已知，其中，则( )
A．B．或C．D．
【答案】(1)A(2)D
【解析】.所以选A.
(2)由，平方可得，解得，
又由，
因为，可得，所以，
联立方程组，解得，所以.故选：D.
【方法总结】
【举一反三】
1．已知，，则 ________.
【答案】
【解析】依题意，两边平方得，
而，所以，
所以.
由解得，所以.故答案为：
2．已知，，则________.
【答案】
【解析】已知，平方得，得，
，，，
，，解得.
故答案为：
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三角函数
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sin α
＋
＋
－
－
cs α
＋
－
－
＋
tan α
＋
－
＋
－
度
弧度
度
弧度
0