艺考生专题讲义17 诱导公式及恒等变换-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义17 诱导公式及恒等变换-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共11页。试卷主要包含了已知，则等内容，欢迎下载使用。
一．三角函数的诱导公式
统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，
对于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
二．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β (S(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β (S(α－β))
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β (C(α＋β))
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β (C(α－β))
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) (T(α＋β))
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) (T(α－β))
三．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcs α (S2α)
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α (C2α)
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α) (T2α)
四．公式的变形和逆用
在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下：
降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
升幂公式：1＋cs 2α＝2 cs2α，1－cs 2α＝2sin2α
1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)，1－cs α＝2sin2eq \f(α,2).
正切和差公式变形：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
配方变形：1＋sin α＝(sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2))2，1－sin α＝(sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2))2.
辅助角公式
asin α＋bcs α ＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
精讲精练
题型一 诱导公式
【例1】已知角的终边经过点.
(1)求，；
(2)求的值.
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)由题意可得：，
由角的终边上的点的性质可得，；
(2)由(1)可知，，再结合诱导公式得：
，所以
【方法总结】
一．奇变偶不变，符号看象限的理解
二．诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
三含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
【举一反三】
1．化简：.
【答案】.
【解析】.
2．若角的终边上有一点，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)点到原点的距离为，
根据三角函数的概念可得，解得，(舍去).
(2)原式，
由(1)可得，，所以原式.
3．已知角的终边经过点
(1)求的值；
(2)求的值
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由题意角的终边经过点，可得，
根据三角函数的定义，可得.
(2)由三角函数的诱导公式，可得
.
题型二 恒等变化
【例2】(1)等于( )
A．B．C．D．
(2)( )
A．B．C．D．
(3)若，则的值为( )
A．1B．3C．5D．7
【答案】(1)A(2)C(3)B
【解析】(1) .故选：A
(2)∵，
∴．故选C．
(3)由，
又，原式.故选：B.
【举一反三】
1．( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】。故选：C
2． =( )
A． B． C．D．
【答案】A
【解析】
3．下列各式中，化简结果等于的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于选项A, =,不合题意,
对于选项B, =,不合题意,
对于选项C,，符合题意,
对于选项D, = , 不合题意,故选C.
5．(2020·广西高三其他模拟(理))已知，，则＝______.
【答案】
【解析】因为，，所以，
所以，则，则.
6．若sin＝，则cs2x＝________.
【答案】
【解析】由诱导公式得sin＝－csx＝，故csx＝－.由二倍角公式得cs2x＝2cs2x－1＝.故答案为：．
7．已知，则________；________．
【答案】
【解析】因为，所以；
.故答案为：；.
题型三 角的拼凑
【例3】(1)已知α为钝角，sin＝，则sin＝__________.
(2)已知，则的值为_________
【答案】(1)－(2)
【解析】(1)因为α为钝角，所以cs＝－，
所以sin＝sin＝cs＝－.故答案为：．
(2)由，可得，
所以，
所以.故答案为：.
【方法总结】
【举一反三】
1．若，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.故选：C.
2．已知，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，
故．故选：B
3.已知，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】换元，可得，且，
所以，.故选：D.
4．若，则________．
【答案】
【解析】，．
，．
故答案为：
题型四 辅助角化一
【例4】将函数化一，则f(x)
【答案】
【解析】
【举一反三】
将下列式子化成y=Asin(wx+φ)+B或y=Acs(wx+φ)+B的形式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】见解析
【解析】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
题型五 综合运用
【例5】(1)若，且为第二象限角，则( )
A．B．C．D．
(2)设，则( )
A．B．C．3D．2
【答案】(1)A(2)D
【解析】由题意，得，又由为第二象限角，所以，所以．故选：A.
(2∵，∴，
故选：D.
【举一反三】
1．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，所以，则.故选：A.
2．如果，且，那么( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，由于，
所以，所以，
所以.故选：C
3．已知，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，即.
.故选：B
4．已知，则( )
A．B．-2 C．D．
【答案】B
【解析】由诱导公式得：，
因为，
所以.故选：
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公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
－α
π－α
π＋α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
sin α
－sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
cs α
－cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
－tan α
－tan α
tan α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限