艺考生专题讲义26 等比数列-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义26 等比数列-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共13页。试卷主要包含了等比数列的有关概念，等比数列的有关公式，等比数列的性质，在正项等比数列中，，则的值是等内容，欢迎下载使用。
1．等比数列的有关概念
(1)定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，eq \f(an＋1,an)＝q．
说明：等比数列中没有为0的项，其公比也不为0.
(2)等比中项：
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab⇒G＝± eq \r(ab) ．
说明：任何两个实数都有等差中项，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项．两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,r)；
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
精讲精练
题型一 等比数列基本运算
【例1】(1)设等比数列{an}的前n项和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，则S6＝
(2)等比数列中，．记为的前项和.若，=________．
(3)已知数列是正项等比数列，且，又，，成等差数列，则的通项公式为
【答案】(1)﹣63(2)6(3)
【解析】(1)设公比为，则，即，解得，所以，
所以，故选:A.
(2)设的公比，由可得，
当时，所以，即，此时方程没有正整数解；
当时，所以，即，解得.故答案为：6.
A．B．C．D．
(3)由题意，设数列的公比为，
因为，所以，解得(负值舍去)；
又，，成等差数列，
所以，即，
则，解得， .
【方法总结】
（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
【举一反三】
1．设等比数列满足，，则公比______．
【答案】
【解析】由于数列是等比数列，故由，可得，
，两式作比可得：，解得，即.故答案为：
2．已知等比数列满足且，则________.
【答案】
【解析】因为，所以.故由等比数列的通项公式得.故答案为：
3．已知在等比数列中，，，则数列的通项公式为_______.
【答案】或
【解析】设等比数列的公比为q，因为，所以，解得，
所以，解得或.
当时， ，所以， 即有；
当时， ，所以， 即有．
故答案为：或.
4．数列中，数列前项和为，若，，则________.
【答案】1023
【解析】因为，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.故答案为：.
题型二 等比数列中项性质
【例2】(1)已知等比数列，，，则( )
A．B．C．D．1
(2)等比数列中，，，则与的等比中项是( )
A．B．4C．D．
(3)已知各项不为0的等差数列{an}满足，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11等于( )
A．1B．2C．4D．8
【答案】(1)D(2)A(3)D
【解析】(1)由题意得：，由，得，故，
故选：D.
(2)∵，，∴.又.∴与的等比中项是.
故选：A.
(3)因为{an}是各项不为0的等差数列，由可得：．解得，所以，所以，关系存在D
【举一反三】
1．若数列是等比数列，且，则( )
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】因为数列是等比数列，由，得，所以，因此.
故选：C.
2．正项等比数列满足，则( )
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】根据题意，等比数列满足，则有，即，
又由数列为正项等比数列，故．故选：C．
3．公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则( )
A．2B．4C．8D．16
【答案】D
【解析】等差数列中,,故原式等价于解得或
各项不为0的等差数列,故得到，数列是等比数列，故=16.故选：D.
4．等比数列的各项均为正数，且.则( )
A．3B．505C．1010D．2020
【答案】C
【解析】由，
所以.故选：C
5．在正项等比数列中，，则的值是( )
A．10B．1000C．100D．10000
【答案】D
【解析】正项等比数列中，因为，所以，即，，故，.故选：D.
6.在等比数列中，是方程的根，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意：，，故，，
故，则.故选：A.
7．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是( )
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】在等差数列中，由，得，，
在等比数列中，由，得，，，
则．故选：D．
题型三 等比数列的前n项和性质
【例3】(1)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则t＝( )
A．1B．﹣1C．﹣3D．﹣9
(2)等比数列的前n项和为，若，则为( )
A．18B．30C．54D．14
(3)在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．135B．100
C．95D．80
(4)已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则( ).
A．11B．12C．13D．14
【答案】(1)C(2)B(3)A(4)B
【解析】(1)因为等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则a1＝S1＝33+3t＝27+3t，
a2＝S2﹣S1＝(34+3t)﹣(33+3t)＝54，a3＝S3﹣S2＝(35+3t)﹣(34+3t)＝162，
则有(27+3t)×162＝542，解得t＝﹣3，故选：C.
(2)是等比数列，则也成等比数列，
，，，则，，则.故选：B.
(3)由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，
其首项为40，公比为，所以a7＋a8＝.故选：A
(4)由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴，
设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即，
∴，∵,∴解得，
又前3项之积，解得，∴.故选:B.
【举一反三】
1．已知等比数列的前项和为，若，则( )
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】B
【解析】，所以，解得.故选：
2．设等比数列的前项和为，若，，则( )
A．31B．32C．63D．64
【答案】C
【解析】因为为等比数列的前项和，所以，，成等比数列，
所以，即，解得.故选：C
3．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=
A．40B．60
C．32D．50
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可知，数列S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9是等比数列，即数列4,8，S9−S6，S12−S9是等比数列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，选B．
4．已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，设，则，
所以，，故，故选D.
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6：S3=1：2，则S9：S3=( )
A．1：2B．2：3C．3：4D．1：3
【答案】C
【解析】∵{an}为等比数列则S3，S6-S3，S9-S6也成等比数列
由S6：S3=1：2令S3=x，则S6=x, ,则S3：S6-S3=S6-S3：S9-S6=-1：2
则S9-S6=x则S9=则S9：S3=：x=3：4故选C．
6．设，.若是与的等比中项，则的最小值为( )
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】∵是与的等比中项，∴，∴.
∵，.∴，
当且仅当时取等号.∴的最小值为.故选：D.
7．已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，对任意的，，
由等比中项的性质可得，可得，则.
由等差中项的性质可得.故选：A.
8．已知各项为正数的等比数列满足﹐则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】已知各项为正数的等比数列满足，由等比中项的性质可得，，
由对数的运算性质可得.故选：D.
题型四 等比数列的定义运用
【例4】已知等差数列的前项和为，，，数列满足，.证明：数列是等比数列，并求数列与数列通项公式；
【答案】证明见解析；；，
【解析】，
所以数列是首项为，公比等比数列，
所以，即，；
由，解得，，所以
【方法总结】
等比数列的判定方法
定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
【举一反三】
1．已知数列满足，，证明：是等比数列；
【答案】见解析；
【解析】由题意，数列满足，所以
又因为，所以，即，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列．
2．在数列中，，，求证数列为等比数列，并求关于的通项公式；
【答案】证明见解析；
【解析】，
∴为等比数列且首项为，公比为2，
∴，.
3．已知正项数列满足：，，，判断数列是否是等比数列，并说明理由；
【答案】答案不唯一，具体见解析；
【解析】∵，
又是正项数列，可得，∴，
∴当时，数列不是等比数列；
当时，易知，故，
所以数列是等比数列，首项为，公比为2.
4．已知数列满足：=1，.求证：数列是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】设，则，
∴
∵，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列是等比数列
题型五 历史中的数列
【例5】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯( )
A．3盏B．9盏C．27盏D．81盏
【答案】C
【解析】根据题意，设塔的底层共有盏灯，则每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，
则有，解可得：，所以中间一层共有灯盏.故选：C
【举一反三】
1．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为( )
A．3B．12C．24D．48
【答案】C
【解析】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，则有，解得，中间层灯盏数，故选：C.
2．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题(意为)：“有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”那么，此人第天和第天共走路程是( )
A．里B．里C．里D．里
【答案】A
【解析】设这个人第天所走的路程为里，可知是公比的等比数列，
由，得，解得，
.所以此人第天和第天共走了里.故选：A.
3．)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为( )
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【解析】设该女子第一天织布尺，则5天共织布，解得尺，在情境模拟下，设需要天织布总尺数达到165尺，则有整理得，解得.故选：D．
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