艺考生专题讲义27 递推公式求通项-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义27 递推公式求通项-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共9页。试卷主要包含了使用特征，解题思路等内容，欢迎下载使用。
公式法求通项
使用特征：前n项和与项数或项的关系
公式为：通项=前n项和-前n-1项和
解题思路
累加法求通项
1.使用特征：
2.解题思路
累乘法求通项
1.使用特征：
2.解题思路
构造法求通项
倒数法求通项
精讲精练
题型一 公式法求通项
【例1】(1)数列的前n项和，则它的通项公式是__________.
(2)设是数列的前n项和，且，则的通项公式为__________．
(3)已知数列满足，则________，________．
【答案】(1)(2)(3)3
【解析】(1)时，；
且时，，易见，也适合该式.故.故答案为：.
(2)当时，
当时，，∴，∴，
∵，∴，∴．故答案为：.
(3)当时，，
当时，由题意可得：
，
，
两式作差可得：，
故，
因为，不满足，所以.
故答案为：3；.
【方法总结】
数列的前n项和，当已知求时，按照两者关系，由计算，当也适合通项公式时，合并作答，否则写出分段形式.
【举一反三】
1．已知数列的前项和，则＝________.
【答案】
【解析】由于数列的前项和.
当时，；
当时，.
满足.因此，对任意的，.故答案为：.
2．数列的前项和为，则_________________.
【答案】
【解析】当时，;
而不适合上式，.故答案为：.
3．已知数列的前项和为，，，则______.
【答案】
【解析】因为，故，故即.
又，故当时，，
故.故答案为：.
4．若数列的前项和，则的通项公式是________．
【答案】
【解析】当时，，，
当时，，，
∴，是首项为，公比为的等比数列，．故答案为：
5．若数列是正项数列，且，则_______．
【答案】
【解析】数列是正项数列，且所以，即
时
两式相减得，
所以( )当时，适合上式，所以
题型二 累加法求通项
【例2】设数列满足，，则数列的通项公式为
【答案】
【解析】，所以当时，，，，，
将上式累加得：，
，即，
又时，也适合，．
【举一反三】
1．已知数列满足：，，则
【答案】
【解析】∵数列满足：，，∴，
∴当n≥2时，an＝a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1＝ =，
2．)已知在数列的前项之和为，若，则_______．
【答案】
【解析】 .
.
3．已知数列满足，，则 。
【答案】
【解析】由，可得，
所以
，
题型三 累乘法求通项
【例3】设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，则an＝________.
【答案】
【解析】∵an＋1＝an，a1＝2，∴an≠0，∴.
∴当n≥2时，an＝，a1＝2也符合上式，则an＝.
故答案为：.
【举一反三】
1．已知在数列中，，则=
【答案】
【解析】，即，
，
2．已知，，则数列的通项公式是
【答案】
【解析】由得：，即，
则，，，……..，，
由累乘法可得，又因为，所以.
题型四 构造法求通项
【例4】若，，则_______________.
【答案】
【解析】原式可化为()，
因为，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即.故答案为：.
【举一反三】
1．已知数列中，，(且)，则数列通项公式为
【答案】
【解析】由，知：且()，而，，
∴是首项、公比都为3的等比数列，即，
2．已知数列满足，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
所以数列是一个以为首项，以2为公比的等比数列，
所以.所以数列的通项公式为.故答案为：
3．若数列满足，，则数列的通项公式________.
【答案】
【解析】由，可得，设
则，则
所以是以1为首项，3为公比的等比数列.
则，则，所以
故答案为：
题型五 倒数法求通项
【例5】已知数列满足：，．则
【答案】
【解析】因为，所以两边取倒数得，则，
所以数列为等比数列，则，
【举一反三】
1．在数列中，已知，，，则等于
【答案】
【解析】 ，
所以是以 为首项，公差为的等差数列， ，
2．若数列满足(，)，且，则
【答案】
【解析】当且，在等式两边取倒数得，
，且，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
因此，.
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