艺考生专题讲义28 数列求和-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

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1.等差数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1d,2).
2.等比数列{an}的前n项和Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))
二．裂项相消求和
1.通项特征：通项一般是分式，分母为偶数个因式相乘，且满足a是常数，
2.解题思路
错位相减法
通项特征：一次函数*指数型函数
解题思路
分组转化求和
1.通项特征：或
2.解题思路
精讲精练
题型一 裂项相消求和
【例1】已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)∵，∴，解得，
当时，由①可得，②，
①－②：，
∵，∴，∴，即∴，
∴是以为首项，以为公差的等差数列，
∴
综上所述，结论是：.
(2)由(1)可得
∴，
综上所述，.
【方法总结】
裂项相消法求数列和的常见类型：
（1）等差型，其中是公差为的等差数列；
（2）无理型；
（3）指数型；
（4）对数型.
【举一反三】
1．已知，设，数列的前项和______.
【答案】
【解析】由，，
所以数列{}前项和为
.故答案为：.
2．已知数列满足，则数列的前n项和为______．
【答案】
【解析】当时，由，得，
两式相减，得，又，适合，所以
所以
所以．
故答案为：
3．已知等差数列的前项和为，，.
(1)求数列体的通项公式：
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)设数列的公差为，
∵，，∴，，解得，.
∴.
(2)由(1)得，，
∴.
题型二 错位相减求和
【例2】设数列､的前项和分别为､，且，，
(1)求数列､的通项公式；
(2)令，求的前项和.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)由得，
当时，，
当时，也适合，故.
由得，得，
当时，，得，
又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
综上所述：，.
(2)，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
【举一反三】
1．设数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由，①得，②
①②，得，所以，
又，，所以，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以.
(2)由(1)得，，
所以，③
，④
③④得，，所以.
2．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式.
(2)设，且，求的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由得，，，
故，，故，
即是为首项，公比为的等比数列，故；
(2)由(1)知，，设的前项和，
，
，
作差得， ，
即，
，化简得，故的前项和为.
3．已知数列的前n项和为，且
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，；(2).
【解析】(1)数列的前n项和为，且①，
当时，解得：，当时，②，
①-②得：，故：(常数)，
所以，数列是以1为首项，3为公比的等比数列.
所以，(首项符合通项)，故：.
(2)
所以，
，
两式相减得，，因此.
4．已知递增数列满足，，且是方程的两根，数列的前项和为，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)因为方程两根为或7，
又､是方程的两根，数列是递增的等差数列，
，，设公差为，则，解得，.
.
对于数列，，
当时，，解得；
当时，，
整理得，即，所以数列是等比数列，
(2)，
数列的前项和，，
两式相减可得，
.
题型三 分组求和
【例3】已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为2的等比数列，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；；(2).
【解析】(1)设等差数列的公差为，则，
∴数列的通项公式为，∴.
又，∴，
∵数列是公比为2的等比数列，
∴，∴；
(2)由题意得，
.
【举一反三】
1．设是公比为正数的等比数列， ，.
(1)求的通项公式；
(2)设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由题意设等比数列的公比为q，，
，，
，即，
的通项公式.
(2)是首项为1，公差为2的等差数列，
，
数列的前n项和.
2．已知等比数列中，且是和的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足求的前n项和
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)设等比数列的公比为，又则
由于是和的等差中项，
得，即，解得
所以，
(2)
3．在公差不为0的等差数列的前10项和为65，、、成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)设等差数列的公差为()，
因为前10项和为65，所以，
因为、、成等比数列，所以，即，
联立，解得，，
故.
(2)因为，，
所以，
则
，
故.
4．已知数列的前项和满足：.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)当时，，得.
当时，由，①
得，②
①-②，得，又，∴，∴，
∴是等比数列，∴
(2)由，则，
则
．
题型四 倒序相加求和
【例4】已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为( )
A．B．33C．D．34
【答案】A
【解析】函数满足，
①，
②，
由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前10项和为.
故选：A.
【举一反三】
1．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为( )
A．100B．105C．110D．115
【答案】D
【解析】函数满足，①，
②，
由①②可得，
，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为．
故选：D．
2．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为( )
A．100B．105C．110D．115
【答案】D
【解析】因为函数满足，
①，
②，
由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.
故选：D.
3．已知若等比数列满足则( )
A．B．1010C．2019D．2020
【答案】D
【解析】
等比数列满足
即2020故选：
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