艺考生专题讲义35 特征数与抽样方法-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义35 特征数与抽样方法-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共13页。试卷主要包含了概念，最常用的简单随机抽样的方法，适用范围是，5，56，5，64，3=600等内容，欢迎下载使用。

一．三种抽样方法
(一)简单随机抽样
1.概念：一般地，从元素个数为N的总体中逐个不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2.最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法(重点掌握随机数表法的读数)
3.适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小.
(二)系统抽样
1.概念及步骤：假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，
第一步，先将总体的N个个体编号；
第二步，确定分隔间距，对编号进行分段，当eq \f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝eq \f(N,n)；当eq \f(N,n)(n是样本容量)不是整数时，先用简单随机抽样剔除eq \f(N,n)-[eq \f(N,n)]个个体，取k＝[eq \f(N,n)]；
第三步，在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l≤k)；
第四步，按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号，再加k得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．
系统抽样的适用范围是：元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等.
特征：等间隔抽样，每组抽一个号码，号码数符合等差数列的通项公式
三．分层抽样
1.概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不交叉的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．
2.应用范围是：总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．
3.特征：等比例抽样
二．频率分布直方图(表)
1.频率分布直方图基础概念
①纵轴表示eq \f(频率,组距)，
②频率：数据落在各小组内的频率用各长长方形的面积表示
③各小长方形的面积总和等于1．
④分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体的分布规律．
2.频率分布直方图的步骤如下
(ⅰ)求极差；(ⅱ)确定组距和组数；(ⅲ)将数据分组；(ⅳ)列频率分布表；
(ⅴ)画频率分布直方图．频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状．
三．样本的数字特征
精讲精练
题型一 抽样方法
【例1】(1)(2024·全国高三专题练习)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从，，，…，，这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的个号码，选取方法是从第行第列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为( )
A．B．C．D．
(2)(2024·全国高三专题练习)某校高一、高二、高三共有2800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层抽样的方法抽取一个容量为56人的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19人，则该校高二学生人数为( )
A．900B．950C．1000D．1050
(3)(2024·云南省保山第九中学高三月考)某一考场有64个试室，试室编号为001﹣064，现根据试室号，采用系统抽样法，抽取8个试室进行监控抽查，已抽看了005，021试室号，则下列可能被抽到的试室号是( )
A．029，051B．036，052C．037，053D．045，054
(4)(2024·全国高三专题练习)某中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1,2，…，300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1,2，…，300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：
①7,37,67,97,127,157,187,217,247,277；
②5,9,100,107,121,180,195,221,265,299；
③11,41,71,101,131,161,191,221,251,281；
④31,61,91,121,151,181,211,241,271,299．
关于上述样本的下列结论中，正确的是( )
A．②④都不能为分层抽样B．①③都可能为分层抽样
C．①④都可能为系统抽样D．②③都不能为系统抽样
【答案】(1)C(2)B(3)C(4)B
【解析】(1)被选中的红色球的号码依次为，，，，，，所以第四个被选中的红色球的号码为.故选：C.
(2)由高一、高二、高三共有2800名学生，用分层抽样的方法抽取一个容量为56人的样本，
因为从高二学生中抽取的人数为19人，可得高二学生的人数为人.故选：B.
(3)每八个抽取一个，第一个是，故后面编号为，当时，编号为037当时，编号为.故选：C.
(4)若采用简单随机抽样，根据简单随机抽样的特点，1~300之间任意一个号码都有可能出现；
若采用分层抽样，则1~120号为一年级，121~210为二年级，211~300为三年级.且根据分层抽样的概念，需要在1~120之间抽取4个，121~210与211~300之间各抽取3个；
若采用系统抽样，根据系统抽样的概念，需要在1~30，31~60，61~90，91~ 120，121~150，151~180，181~210，211~240，241~270，271~300之间各抽一个.
①项，1~120之间有 4个，121~210之间有 3个，211~300之间有 3个，并且满足系统抽样的条件，所以①项为系统抽样或分层抽样；
②项，1~120之间有 4个，121~210之间有 3个，211~300之间有 3个，可能为分层抽样；
③项，1~120之间有 4个，121~210之间有 3个，211~300之间有 3个，并且满足系统抽样的条件，所以③项为系统抽样或分层抽样；
④项，第一个数据大于30，所以④项不可能为系统抽样，并且④项不满足分层抽样的条件.
综上所述，B选项正确.故选：B.
【举一反三】
1．(2024·全国高三专题练习)某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是( )
0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410
9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179
A．36B．16C．11D．14
【答案】C
【解析】利用随机数表，从第一行第3列开始，由左至由一次读取，即47开始读取，在编号范围内的提取出来，可得，则选出来的第5个零件编号是.故选：C.
2．(2024·全国高三专题练习)某学校从编号依次为，，…，的个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个容量为样本，已知样本中的有个编号为，则样本中最大的编号为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意知系统抽样的组距为，为第二组的编号，即，所以第一组抽取的编号为，则样本中最大的编号即第20组的编号为:.故选：C.
4．(2024·舒兰市实验中学校高三学业考试)某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽出容量为的样本，样本中型产品有件，那么样本容量为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，解得.故选：C.
5．(2024·全国高三专题练习)已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户.若政府计划援助这三个社区中90户低收入家庭，现采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则甲社区中接受援助的低收入家庭的户数为( )
A．20B．30C．36D．40
【答案】D
【解析】每个个体被抽到的概率等于
甲社区有低收入家庭360户，故甲社区中接受援助的低收入家庭的户数故选：D.
6．(2024·湖南长沙市·长郡中学高三其他模拟)要完成下列三项调查：①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品；②某酒厂从某白酒生产线上抽取40瓶进行塑化剂检测：③某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况.适合采用的抽样方法依次为( )
A．①用简单随机抽样：②③均用系统抽样
B．①用抽签法；②③均用系统抽样
C．①用抽签法：②用分层抽样：③用系统抽样
D．①用随机数表法；②用系统抽样；③用分层抽样
【答案】D
【解析】对于①,所收集的数据没有明显差异,且数量较少,应用抽签法;对于②,所收集的数据没有明显差异,且数量较多,应用系统抽样;对于③,所收集的数据差异明显,应用分层抽样;故选:D.
题型二 频率分布直方图(表)
【例2】(1)(2024·全国高三专题练习)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄在17～18岁的男生的体重(千克)，将他们的体重按[54.5，56.5)，[56.5，58.5)，…，[74.5，76.5]分组，得到频率分布直方图如图所示．由图可知这100名学生中体重在[56.5，64.5)的学生人数是( )
A．20B．30
C．40D．50
(2)(2024·全国高三专题练习)某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额(单位:元)，并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知a,b,c成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为( )
A．600B．30C．60D．300
【答案】(1)C(2)A
【解析】(1)由频率分布直方图可得体重在[56.5，64.5)的学生频率为(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2＝0.4，
则这100名学生中体重在[56.5，64.5)的学生人数为100×0.4＝40.故选：C.
(2)因为成等差数列，所以，
由频率分布直方图可得，即，
所以.故消费金额超过150元的频率为，
故该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为2000×0.3=600.故选：A．
【举一反三】
1．(2024·全国高三专题练习)为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取500名客户的评分，评分均在区间上，分组为，，，，其频率分布直方图如图所示.规定评分在60分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这500名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为( )
A．15B．16C．17D．18
【答案】A
【解析】由频率分布直方图可知，评分在区间上的频率，
所以评分在区间上的客户有(人)，即对该公司的服务质量不满意的客户有15人.
故选：A
2．(2024·天津高三其他模拟)某校对高三年级学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照，，，，，，分组后得到的频率分布直方图如图所示.现从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取80名同学的试卷进行分析，则从成绩在内的学生中抽取的人数为( )
A．24B．36C．20D．28
【答案】A
【解析】，解得.
所以成绩在内的学生中抽取的人数为.故选：A
3．(2024·全国高三专题练习)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜.截至2019年8月28日，该射电望远镜已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星.脉冲星是20世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是一定的，最小的小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某一天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图所示的频率分布直方图.在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的颗数大约为( )
A．47B．86C．79D．70
【答案】C
【解析】由频率分布直方图可知，自转周期在0至2秒的频率为，
自转周期在10至12秒的频率为，
所以自转周期在2至10秒的频率为，
所以自转周期在2至10秒的颗数大约为，故选：C.
题型三 特征数的计算
【例3-1】(1)(2024·全国高三专题练习)甲､乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲､乙的平均数､方差､极差及中位数中相同的是( )
A．极差B．方差
C．平均数D．中位数
(2)(2024·全国高三专题练习)已知一组数据，，的平均数是5，方差是4则由，，，11这4个数据组成的新的一组数据的方差是( )
A．16B．14C．12D．8
【答案】(1)C(2)C
【解析】(1)由茎叶图可得：甲的数据更集中，乙的数据较分散，所以甲与乙的方差不同；
甲的极差为；乙的极差为，所以甲与乙的极差不同；
甲的中位数为，乙的中位数为，所以中位数不同；
甲的平均数为，
乙的平均数为，所以甲､乙的平均数相同；故选：C.
(2)由已知得，，
则新数据的平均数为，
所以方差为
，故选:C
【例3-2】(2024·全国高三专题练习)某市有100万居民，政府为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照分成9组，制成了如下的频率分布直方图：

(1)求直方图中的值；
(2)估计居民月均用水量的众数、中位数(精确到0.01)．
【答案】(1)；(2)众数2.25吨，中位数约为2.06吨．
【解析】(1)由频率分布直方图得：
，
解得．
(2)由频率分布直方图估计居民月均用水量的众数为：
．，的频率为：，，的频率为：，
中位数为：
【方法总结】
直方图的主要性质有：
直方图中各矩形的面积之和为；
组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；
每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；
（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.
【举一反三】
1．(2024·湖北高三学业考试)为做好精准扶贫工作，需关注贫困户的年收入情况.经统计，某贫困户近5年的年收分别为，，，，.下面给出的指标可以用来评估该贫困户年收入的稳定程度( )
A．，，，，的平均数B．，，，，的标准差
C．，，，，的最大值D．，，，，的中位数
【答案】B
【解析】标准差反映了各数据对平均数的偏离，反映了一组数据的离散程度，在本题中即稳定程度，
而其他的统计量则不能反映稳定程度，故选：B
2．(2024·全国高三专题练习)已知数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为( )
A．和B．和
C．和D．和
【答案】B
【解析】因为数据的平均数为，方差为，
所以，，…，的平均数和方差分别为和故选：B
3．(2024·广东江门市·高三月考)某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，.由此估计该班学生此次测试的平均分为_________.
【答案】68
【解析】由频率分布直方图可得平均数为.
故答案为：68.
4．(2024·全国高三月考)为了调查某阶层月工资收入，某地政府对该阶层1000人进行了调查，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，则这1000人的月工资收入的中位数为______.(百元)
【答案】24
【解析】前2组的频率为，前3组的频率为，故中位数在第三组中，设中位数为，则，解得.
故答案为：24．
题型四 统计图解读
【例4】(2024·江苏海门市·高三月考)2019年1月到2019年12月某地新能源汽车配套公共充电桩保有量如下：
则下列说法正确的是( )
A．2019年各月公共充电桩保有量一直保持增长态势
B．2019年12月较2019年11月公共充电桩保有量增加超过2万台
C．2019年6月到2019年7月，公共充电桩保有量增幅最大
D．2019年下半年各月公共充电桩保有量均突破45万台
【答案】A
【解析】对于A，2019年各月公共充电桩保有量逐步增加，故一直保持增长态势，故A正确.
对于B，2019年12月较2019年11月公共充电桩保有量增加量为：，故B错.
对于C，2019年6月到2019年7月，公共充电桩保有量增幅约，
而2019年2月到2019年3月，公共充电桩保有量增幅约，故C错误；
2019年7月公共充电桩保有量小于45万台，故D错误.故选：A.
【举一反三】
1．(2024·全国高三专题练习)湖上升明月是中国第一座“露天博物馆”，它的建设目标是创建国家5A级风景旅游区，建成后对丰富皖北旅游资源，完善安徽省旅游战略格局，具有重要意义，建成后它将是国内规模最大、建筑类型最多、文化内涵丰富、服务设施完善的古名居博览园，如图是市旅游局为做好开园迎客准备，查阅资料时查到的安徽某景区近几年的游客人数变化情况的柱状图：以下说法错误的是( )

A．与上一年比2018年增幅最大
B．从2016年开始，游客人数明显增多
C．近8年游客人数的平均数大于2016年游客人数
D．该景区游客人数逐年上升
【答案】A
【解析】对于A，从图中可得，2018年增加210万人次，而2019年增加230万人次，所以2019年增幅最大，所以A错误；
对于B，从图中的数据可看出，从2016年开始，游客人数明显增多，所以B正确；
对于C，近8年游客人数的平均数为，即近8年游客人数的平均数大于2016年游客人数，所以C正确；
对于D，从柱状图可看出，该景区游客人数逐年上升，所以D正确，
故选：A
2．(2024·全国高三专题练习)为了解大学生对体育锻炼的兴趣，某高校从4万多名在校大学生中抽取了男､女生各200名进行了调查，得到如下统计图：
对比两图中信息并进行分析，下列说法正确的是( )
A．大量出汗并感到很疲乏的男生人数是女生人数的2倍
B．男生中运动时间超过1小时的超过
C．女生的平均运动强度高于男生的平均运动强度
D．运动时间在小时内的男生人数与运动时间在小时内的女生人数相同
【答案】D
【解析】对于A，大量出汗并感到很疲乏的男生超过110人，而女生约50人，因此大量出汗并感到很疲乏的男生人数比女生人数的2倍还要多，因此A不正确；
对于B，男生中运动时间在小时内的超过70人，占所有男生的比例超过，因此男生中运动时间超过1小时的占比没达到，因此B不正确；
对于C，由图易知男生的平均运动强度高于女生的平均运动强度，因此C不正确；
对于D，运动时间在小时内的男生人数有50人，运动时间在小时内的女生人数也有50人，因此D正确.故选：D.
3．(多选)(2024·福建厦门市·厦门双十中学高三月考)某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面结论中正确的是( )
A．该教师退休前每月储蓄支出2400元
B．该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍
C．该教师退休工资收入为6000元月
D．该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少
【答案】ACD
【解析】退休前工资收入为8000元月，每月储蓄的金额占，则该教师退休前每月储蓄支出元，故A正确；
该教师退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，
则该教师退休后每月储蓄的金额为900元，设该教师退休工资收入为元月，则，即元月，故C正确；
该教师退休前的旅行支出为元，退休后的旅行支出为元，
该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 倍，故B错误；
该教师退休前的其他支出为元，退休后的其他支出为元，
该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故D正确．故选：ACD
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特征数
具体数字算法
频率分布直方图(表)
众数
次数出现最多的数字
频率最大或最高组的中间值
中位数
样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数
频率等于0.5时的横坐标
平均数
所有数字之和除以总个数
每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
方差
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \(x,\s\up6(－)))2]．
平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定