辽宁省省重点中学协作校2025届高三(上)1月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省省重点中学协作校2025届高三(上)1月期末考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了 已知集合和集合，则， 学校运动会十名护旗手身高，5B， 若，则的值是， 函数，则函数的零点个数为， 已知焦点为的抛物线等内容，欢迎下载使用。
、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点所属象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】由题意得，
所以，即z的共轭复数在复平面内的点位于第一象限，
故选：A.
2. 已知集合和集合，则（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】由得，故，故，，
故，
故选：C.
3. 甲，乙，丙三人玩踢毽子游戏，每个人接到毽子都等可能地把毽子传给另外两个人中的一个人，从甲开始踢，则毽子第三次传递给甲的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设甲、乙、丙三人用，
由题意可知：经过三次踢毽子的所有情况有：，，，，，，，，
其中毽子第三次传递给甲的情况有：，，
故所求概率为.
故选：A.
4. 学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，176，则十名护旗手身高的分位数为（ ）
A. 177.5B. 178C. 178.5D. 179
【答案】C
【解析】将这10个数从小到大排列为174，175，175，176，176，177，178，178，179，180，则,故第分位数为，
故选：C.
5. 若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，则，①
，则，
故①式整理可得，，解得或（舍去），
故，所以.
故选：.
6. 函数，则函数的零点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】令得或，
解得或.
函数的零点即为方程的根.
或.
当时，由可得或；
由可得或（舍去）.
当时，由可得；
由可得.
综上，函数的零点个数为5个.
故选：C.
7. 椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆.则斜率为2的椭圆的切线被它的蒙日圆截得的弦长大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得椭圆的蒙日圆为，
设斜率为2的椭圆的切线方程为，
代入椭圆方程，整理得：，
由，解得，
则切线方程为，即，
因蒙日圆圆心到切线的距离为，
则切线被蒙日圆截得的弦长为.
故选：D.
8. 直三棱柱中，，侧棱长为2，该三棱柱的体积为，则三棱柱外接球的表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由三棱柱的体积为，可得,
所以，所以，
由余弦定理可得：
，
当且仅当时取等号，
设底面的外接圆半径为，
由正弦定理得，所以.
所以外接球半径为，所以求得表面积为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知平面向量满足，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则在上的投影数量为
B. 当时，则
C. 若的范围为
D. 当时，的最大值为3
【答案】AC
【解析】对于A，在上的投影数量为，故A正确；
对于B，当时，则，故，
因此，由于，则，故B错误；
对于C，若，
故，故C正确；
对于D，若，
故，取不到3，故D错误.
故选：AC.
10. 已知焦点为的抛物线.过焦点的直线交抛物线于两点，过两点分别作抛物线的切线交于点.已知当轴时，.则下列结论正确的有（ ）
A. 抛物线的方程是
B. 若直线的倾斜角为，则的面积是
C. 的最小值为
D. 若，则直线的倾斜角的余弦值为
【答案】ABC
【解析】当轴时，可知，所以，，A正确；
此时焦点坐标为：，由题意直线斜率不为0，故设直线方程为：，联立抛物线方程，消去可得：，设，不妨设在第一象限，
则，
所以，，
所以，
当直线的倾斜角为时，，，
由得：，由在第一象限，
故在的切线斜率为，
所以:，化简可得：，
同理可得所以方程：，
两方程相减可得：，此时代入第一个方程可得：，
由直线：，可得，
所以,此时到的距离为：，
所以的面积为，B正确；
，又，
所以，当且仅当取等号，C正确；
若，则，结合，
可得：，由，得，
所以，即，
所以直线的斜率，即，
当时，为锐角，即，结合，
可得；
当时，为钝角，即，结合，
可得，D错；
故选：ABC.
11. 已知数列满足，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B.
C. 数列的前40项和为840
D. 若，则数列的前项和为
【答案】ABD
【解析】对于A，当为奇数时，，，
两式相减得；
因为，又，
所以，故A正确；
对于B，，两式相加得，
所以，两式相减得，
由等差数列可知，
因为，所以，
所以，即，故B正确；
对于C，当为偶数时，，，
两式相加得.
所以
，故C错误；
对于D，因，
所以，
又因为，
所以，所以，
由B选项可知，当时，，
所以，所以，
即是一个以首项为2，公差为8的等差数列，
前n项和为，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 二项式的展开式中，项的系数为______.
【答案】
【解析】二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，故项的系数是.
故答案为：.
13. 直线的法向量，点在直线的第一象限内的部分上运动，则的最小值为______.
【答案】
【解析】因为直线l：的法向量，
所以，所以点满足，即，
且满足，
，
当且仅当时等号成立，
故答案为：.
14. 已知定义在上的偶函数，当时，.且时，恒成立，且，则时，不等式的解集为______.
【答案】
【解析】已知当时，，
将其变形为，
进一步整理得.
令，对求导， .
当时，，，
可得，所以在上单调递减.
因为是定义在上的偶函数，即.
那么，所以是奇函数.
所以在上也是单调递减.
已知，则.
当时，，则，
∴不等式可化为，即.
因为在上单调递减，则.
当时，；，得，则，
∴不等式可化为，即，则.
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 将两个完全相同的三角板按（图①）的方式进行拼接，将三角板沿折起，使到达点的位置（如图②），使二面角的平面角为，为中点.
（1）求证：平面；
（2）折起后，点是上靠近点的四等分点，求直线与平面所成角的正切值.
（1）证明：∵三角板和为两个完全相同的三角板，
拼接前有和，
折后不变，即和.
又，面，面，面.
（2）解：由①可知和，
二面角的平面角为，即.
又，为等边三角形，面，
面，面面，面面，
在平面中，过作，以为坐标原点，以为轴正方向，以为轴正方向，以为轴正方向，建立空间直角坐标系.
令，则，
则.
因为点是线段上的四等分点且靠近点，
所以，所以，
设平面的法向量为，
则即
令，则.
设直线与平面所成角为，则.
因为且为锐角，所以，又因为，
所以.
所以，直线与平面所成角的正切值为.
16. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若是的重心，求的面积.
解：（1）因为，则，可得，
又因为，则，
可得
由正弦定理可得，即，
可得，整理可得，
且，所以.
（2）方法一：在中，
，
则.
可得，
.
又因为为的重心，到边的距离为到的距离的倍，
所以；
方法二：因为
，
则，
且，可得，
延长，交于，
在中，由余弦定理可得，即，
可得，
由正弦定理得：，则
所以.
17. 已知函数满足.
（1）求与的值；
（2）判断函数零点的个数并证明；
（3）当时，证明：.
（1）解：
令，有.求得.
令，有.
求得.
（2）解：
有
.
令
所以在上单调递增.
故使
时，单调递减；
时，单调递增.
所以
又当时，
所以，，
故恒成立.在上无零点.
（3）证明：令
时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以
故有…………①
令
时，
在上单调递增，
故有……②
由①，②可得.
又时，恒成立
所以
即.
18. 为培养青少年航天科学素养，某航天科技馆组织中学生航天科技大赛，每个地区选派5名学生组队参赛，比赛分为二人组笔试航天知识问答和三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛两场.在笔试知识问答中每队有两名同学，只需抽一名选手参加，该选手答一道程序逻辑推理题目，若答对可以进入第二环节，在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中，规则是每组三个选手，先选派一人进行一次编程设计试验，若能运行成功记为通过.第一位选手通过，第二位选手则有三次上场机会，否则该组结束比赛.如果第二位选手通过一次及以上测试，则每次通过后得4分，并为第三位选手争取到两次上场机会，否则第二位选手不加分并结束该组比赛.第三位选手每次通过试验均加10分，不通过不加分.两位选手得分之和计为本场比赛总得分.
（1）已知在二人组笔试航天知识问答中，某地区A、B两人组队，A、B第一环节答对问题的概率分别是、，第二环节中共有6个题目，选手抽出三道题作答，答对一题得4分.已知6个题目中有4个题目A同学熟悉并能答对，有3个题目B同学熟悉并能答对.设选派A同学和B同学参赛得分分别为X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望；
（2）现某组决定选派甲、乙、丙三位选手参加“编程调试与仿真设计”实操测试比赛，先后进入三个环节，甲选手在第一个环节中通过测试的概率为，乙选手在第二个环节中通过每一次测试的概率均为，丙选手在第三个环节中通过每一次测试的概率均为.
①在甲选手通过测试的条件下，求该组乙选手得分的分布列；
②求该队在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中的总得分期望.
解：（1）同学参赛得分所有取值为0，4，8，12，
，，
，，
所以的分布列为
.
（2）①设乙选手在三次测试中得分为，则所有取值为0，4，8，12，
，，
，，
所以分布列为
②设该队在“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中总得分为，
则所有取值为0，4，8，12，14，18，22，24，28，32，
在甲选手已通过测试的条件下概率如下：
，，
，，
，，
，，
，，
所以的分布列为
由于甲选手通过测试概率为，所以总得分的期望为.
19. 已知双曲线的中心为坐标原点，与椭圆有共同的焦点，且点在双曲线上.过点作两条相互垂直的直线、，直线交渐近线于两点，直线交渐近线于两点，分别是线段和的中点
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线交轴于点，设.
（ⅰ）求；
（ⅱ）记，求数列的前项和.
解：（1）因为椭圆，所以椭圆的左右两个焦点坐标为
所以双曲线的焦点坐标也是，所以双曲线中，
设双曲线的方程是：
将点代入得：，
化简得：，
解得：或.
又因为，所以（舍）
所以双曲线的标准方程是：.
（2）（ⅰ）当直线中有一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，直线与轴重合，不符合题意；
当直线中有一条直线的斜率为2或-2，另一条直线的斜率为或时，
直线与渐近线无交点，不符合题意；
所以直线均存在且不和渐近线平行.
设的方程为：，
双曲线的渐近线方程为：和
由，得，所以，所以.
同理：.
所以.同理：
因为三点共线，所以，
所以，化简得：；
因为，所以；
（ⅱ）因为
所以.
所以
所以0
4
8
12
0
4
8
12
0
4
8
12
14
18
22
24
28
32